Qu'est-ce que la fonction LOI.
LOI.BINOMIALE.N te sert dès qu'un résultat se limite à deux issues, succès ou échec, répétées plusieurs fois, et que tu veux chiffrer la chance d'un scénario précis avant de trancher : combien de pièces défectueuses tolérer sur un lot, combien de conversions espérer sur un envoi d'emails. Elle transforme une intuition sur le hasard en pourcentage exploitable dans un rapport.
Que tu sois en contrôle qualité, marketing ou analyse de données, cette fonction te permet de quantifier les probabilités dans des scénarios binaires : quelle chance d'avoir au plus 2 défauts dans un lot de 100 pièces avec un taux de défaut de 2 %, quelle probabilité d'obtenir exactement 50 conversions sur 1 000 emails envoyés, ou encore combien de fois une pièce peut tomber face sur 10 lancers.
Syntaxe
=LOI.BINOMIALE.N(nombre_succès; essais; probabilité_succès; cumulative)Clique sur un argument pour aller à son explication.
La formule mathématique sous-jacente est P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k), où C(n, k) est le coefficient binomial « n parmi k ». Excel tronque les valeurs décimales pour nombre_succès et essais : 3,7 est traité comme 3.
Comprendre chaque paramètre de la fonction LOI.BINOMIALE.N
Les quatre arguments se lisent comme une phrase : combien de succès tu vises, sur combien d'essais, avec quelle chance à chaque coup, et enfin comment compter. Tous sont obligatoires, y compris ce dernier cumulative que beaucoup oublient alors qu'il change tout le résultat.
C'est lui le vrai pivot : FAUX te donne la probabilité d'avoir exactement k succès, VRAI celle d'en avoir k ou moins. Te tromper de booléen ne déclenche aucune erreur, juste un chiffre faux.
nombre_succès
: le nombre de succès recherché, noté k dans la formule mathématiqueDoit être un entier compris entre 0 et le nombre d'essais inclus. C'est la valeur cible que tu cherches à probabiliser.
Par exemple, si tu veux savoir quelle est la chance d'obtenir exactement 3 faces sur 10 lancers, nombre_succès vaut 3.
essais
: le nombre total d'essais indépendants, noté n dans la formule mathématiqueDoit être un entier positif ou nul. Chaque essai est indépendant des autres et a exactement la même probabilité de succès.
Si tes essais ne sont pas indépendants (tirage sans remise, par exemple), la loi binomiale n'est plus adaptée : utilise à la place la loi hypergéométrique.
Attention : Pour que la loi binomiale soit valide, les essais doivent être indépendants et la probabilité de succès doit être identique à chaque essai. Un sondage sans remise sur un petit échantillon ne remplit pas ces conditions.
probabilité_succès
: la probabilité de succès à chaque essai, notée p dans la formule mathématiqueValeur comprise entre 0 et 1 inclus. Par exemple, une pièce équilibrée a p = 0,5, un taux de défaut de 2 % correspond à p = 0,02.
Cette probabilité doit être stable et identique à chaque essai pour que le modèle binomial soit pertinent.
cumulative
: valeur logique qui détermine le type de probabilité calculéFAUX donne la probabilité ponctuelle P(X = k) : exactement k succès. VRAI donne la probabilité cumulative P(X ≤ k) : k succès ou moins.
Pour calculer la probabilité d'obtenir au moins k succès, utilise la complémentaire : =1 - LOI.BINOMIALE.N(k-1; n; p; VRAI).
Exemples pratiques pas à pas
Comment calculer la probabilité d'un nombre exact de succès avec la fonction LOI.BINOMIALE.N
Une pièce équilibrée est lancée 10 fois de suite, et la série est rejouée tirage après tirage. La question posée à chaque ligne est la même : quelle chance y a-t-il de tomber sur ce nombre de faces précis, ni un de plus ni un de moins ? L'intuition se trompe presque toujours ici, parce qu'elle confond le résultat le plus probable avec un résultat probable, et qu'elle oublie que 10 lancers offrent onze issues possibles à se partager. La fonction LOI.BINOMIALE.N donne la probabilité exacte de chacune.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.BINOMIALE.N(. - 2En 1er argument : clique sur la cellule du nombre de faces visé,
B2, qui affiche3pour le tirageT-01. C'est la seule référence qui bouge quand tu recopies la formule vers le bas, et c'est elle qui balaie toute la distribution. - 3En 2ᵉ argument : saisis le nombre de lancers,
10. Il s'écrit en dur parce que le protocole ne change pas d'un tirage à l'autre, et il doit toujours rester supérieur ou égal au premier, faute de quoi la fonction renvoie#NOMBRE!. - 4En 3ᵉ argument : saisis la chance de faire face à chaque lancer,
0,5pour une pièce équilibrée. Elle s'écrit en décimal et doit rester identique à chaque essai, ce qui est le cas d'une pièce mais ne l'est plus dès que les essais s'influencent entre eux. - 5En 4ᵉ argument : saisis la valeur qui réclame la probabilité exacte,
FAUX. C'est elle qui demande exactement3faces plutôt que3faces ou moins, et se tromper de booléen ne déclenche aucune erreur, juste un chiffre qui répond à une autre question. - 6Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
=LOI.BINOMIALE.N(B2; 10; 0,5; FAUX)3 faces sur 10 lancers d'une pièce équilibrée arrive dans 11,7 % des cas. Le mot « exactement » est tout le sujet : demander 3 faces ou moins, en passant VRAI au dernier argument, donnerait 17,2 % sur la même ligne. La colonne recopiée dessine la distribution entière et sa symétrie saute aux yeux, 3 faces et 7 faces tombant à 11,7 % toutes les deux, tandis que le 10 sur 10 du tirage T-14 s'écrase à 0,1 %.
Comment calculer la probabilité d'atteindre au moins un nombre de succès avec la fonction LOI.BINOMIALE.N
Le tableau des probabilités exactes répond à la mauvaise question dès qu'on passe à un pari : personne ne mise sur exactement 3 faces, on mise sur au moins 3 faces. Or la fonction ne propose que deux modes, la valeur exacte et le cumul vers le bas, et aucun des deux ne dit « au moins ». Le raisonnement à tenir est celui du complément, en calculant la probabilité de rater l'objectif puis en la retranchant de 1. La fonction LOI.BINOMIALE.N fournit cette probabilité de ratage en mode cumulé.
- 1Dans une cellule, écris
=1-. Ce complément est tout le raisonnement de l'exemple, car la fonction ne sait dire que « exactementk» ou « au plusk», jamais « au moinsk» : on calcule donc la probabilité de manquer l'objectif pour la retrancher de la certitude. - 2Écris
LOI.BINOMIALE.N(juste après, puis :- aEn 1er argument : saisis non pas le seuil visé mais ce seuil diminué de
1,A2-1, soit1lorsque tu vises2faces. Ce décalage d'une unité est le cœur de la technique et l'endroit exact où l'on se trompe, car le contraire de « au moins2» est « au plus1», et non « au plus2». - bEn 2ᵉ argument : saisis le nombre de lancers,
10. Il reste écrit en dur car il décrit le protocole, identique sur toutes les lignes. - cEn 3ᵉ argument : saisis la chance de faire face à chaque lancer,
0,5pour la pièce équilibrée. Elle aussi reste constante d'une ligne à l'autre. - dEn 4ᵉ argument : saisis la valeur qui réclame le cumul,
VRAI. Elle additionne toutes les issues jusqu'àA2-1incluse, ce qui donne la probabilité de manquer l'objectif.
- aEn 1er argument : saisis non pas le seuil visé mais ce seuil diminué de
- 3Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée. La soustraction retourne alors la réponse cherchée, puisque manquer et atteindre couvrent tous les cas possibles et que retrancher l'un de
1donne l'autre.
=1-LOI.BINOMIALE.N(A2-1; 10; 0,5; VRAI)2 faces sur 10 lancers est presque acquis avec 98,9 %, alors qu'en atteindre au moins 8 ne survient que dans 5,5 % des cas. La fonction ne sait pas répondre à « au moins » : elle ne calcule que « exactement » ou « au plus », d'où le détour par le complément. Le tableau montre aussi où bascule la pièce, la barre des 50 % se franchissant entre 5 et 6 faces, ce qui est bien le comportement attendu d'un tirage équilibré.
Comment construire la distribution complète des probabilités avec la fonction LOI.BINOMIALE.N
Les probabilités calculées une par une ne disent jamais si le modèle tient debout, et une erreur de paramètre passe inaperçue tant qu'on ne regarde qu'une ligne. La parade consiste à étaler toutes les issues possibles, de 0 à 10 faces, et à vérifier que le total retombe sur 100 %. Le tableau devient alors à la fois un contrôle de cohérence et une vraie lecture de la distribution, celle qui montre d'un coup d'œil où se concentre la masse et à quel point les extrêmes sont rares. La fonction LOI.BINOMIALE.N remplit chaque ligne en mode exact.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.BINOMIALE.N(. - 2En 1er argument : clique sur la cellule du nombre de faces,
A2, qui vaut0sur la première ligne. Cette référence balaie la colonne des issues de0à10, et le0a toute sa place puisque n'obtenir aucune face est un résultat comme un autre, dont l'oubli fait manquer0,1 %au total. - 3En 2ᵉ argument : saisis le nombre de lancers,
10. C'est lui qui commande la hauteur du tableau, car une distribution sur10lancers compte onze lignes et non dix, l'issue0s'ajoutant aux dix autres. - 4En 3ᵉ argument : saisis la chance de faire face à chaque lancer,
0,5. C'est cette valeur qui rend la colonne symétrique,0et10partageant la même probabilité comme3et7, et la remplacer par0,3suffirait à faire pencher toute la distribution vers le haut du tableau. - 5En 4ᵉ argument : saisis la valeur qui réclame la probabilité exacte,
FAUX. La passer àVRAItransformerait la colonne en escalier montant vers100 %et le contrôle par la somme n'aurait plus aucun sens, chaque ligne comptant alors les précédentes. - 6Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
=LOI.BINOMIALE.N(A2; 10; 0,5; FAUX)100 % très exactement, et pas à 99,9 % : la colonne épuise toutes les issues possibles, ce qui en fait le meilleur contrôle de cohérence disponible. Une somme différente de 100 % signale une plage incomplète ou un essais qui ne colle pas au nombre de lignes. Le pic est à 24,6 % pour 5 faces, ce qui remet à sa place une intuition tenace : le résultat le plus probable d'une pièce équilibrée reste minoritaire, il sort moins d'une fois sur quatre.
Les erreurs fréquentes avec la fonction LOI.BINOMIALE.N
Deux choses font dérailler LOI.BINOMIALE.N, et elles ne se ressemblent pas. La visible, c'est le #NOMBRE! : il tombe dès qu'un paramètre sort de ses bornes, par exemple un nombre_succès plus grand que le nombre d'essais ou une probabilité au-delà de 1.
L'autre est sournoise parce qu'elle ne dit rien : confondre VRAI et FAUX te rend un résultat parfaitement valide en apparence, mais qui répond à une autre question que la tienne.
Erreur #NOMBRE! sur les paramètres
Cette erreur apparaît si nombre_succès est négatif ou supérieur à essais, si essais est négatif, ou si probabilité_succès est hors de l'intervalle [0 ; 1].
Solution : Vérifie que tous les paramètres respectent leurs contraintes : 0 ≤ nombre_succès ≤ essais, essais ≥ 0, et 0 ≤ probabilité_succès ≤ 1. Si les valeurs viennent de cellules, protège avec MAX(0; ...) ou un test SI.
Confusion entre VRAI (cumulatif) et FAUX (ponctuel)
Confondre VRAI (P ≤ k) et FAUX (P = k exactement) est une erreur classique qui donne un résultat numériquement différent, sans message d'erreur.
Solution : Rappelle-toi : FAUX = exactement k succès, VRAI = k succès ou moins. Pour « au moins k », utilise la complémentaire : =1 - LOI.BINOMIALE.N(k-1; n; p; VRAI).
Questions fréquentes
Utilise FAUX quand tu veux la probabilité exacte d'obtenir k succès et pas un de plus. Utilise VRAI quand tu veux la probabilité d'obtenir au plus k succès (k ou moins).
Pour calculer la probabilité d'obtenir au moins k succès, calcule la complémentaire : 1 - LOI.BINOMIALE.N(k-1; n; p; VRAI).
Les deux fonctions donnent des résultats identiques. LOI.BINOMIALE est la version héritée d'Excel 2007 et antérieur. LOI.BINOMIALE.N est la version moderne, avec une syntaxe plus cohérente avec les autres fonctions statistiques. Pour toute nouvelle feuille de calcul, préfère LOI.BINOMIALE.N : elle est mieux maintenue et sa présence dans une formule signale que la feuille cible Excel 2010+.
Utilise la différence des cumulatives : =LOI.BINOMIALE.N(b; n; p; VRAI) - LOI.BINOMIALE.N(a-1; n; p; VRAI). Cela donne la probabilité d'avoir entre a et b succès inclus.
Par exemple, la probabilité d'obtenir entre 3 et 7 faces sur 10 lancers : =LOI.BINOMIALE.N(7; 10; 0,5; VRAI) - LOI.BINOMIALE.N(2; 10; 0,5; VRAI).
Excel tronque les valeurs décimales à l'entier inférieur. Par exemple, 3,7 sera traité comme 3. Pour des résultats explicites et prévisibles, arrondis tes valeurs en amont avec ENT() ou ARRONDI().
Oui, si l'échantillonnage est avec remise, ou si l'échantillon est petit par rapport à la population (moins de 10 %). Sinon, les essais ne sont plus indépendants et la loi hypergéométrique est plus précise. En pratique, pour les grands panels de consommateurs (N > 10 000, échantillon de 500 par exemple), la loi binomiale reste une très bonne approximation.
Pour aller plus loin
Continue sur ta lancée après la fonction LOI.BINOMIALE.N : la leçon associée, un modèle prêt à l'emploi et le guide pour progresser.
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