Fonction BESSELJ ExcelGuide Complet 2026
La fonction BESSELJ te permet de calculer la fonction de Bessel de première espèce Jn(x). Tu travailles en acoustique, en optique, en ingénierie RF ou en traitement du signal ? BESSELJ résout les équations différentielles liées aux phénomènes vibratoires et ondulatoires avec symétrie cylindrique. C'est l'outil mathématique indispensable pour modéliser la résonance des membranes, la diffraction de la lumière ou la propagation dans les guides d'ondes.
Syntaxe de la fonction BESSELJ
La syntaxe de BESSELJ est simple : tu fournis la valeur x pour laquelle tu veux calculer la fonction, et l'ordre n de la fonction de Bessel.
=BESSELJ(x; n)Comprendre chaque paramètre de la fonction BESSELJ
x
(obligatoire)C'est la valeur pour laquelle tu veux calculer la fonction de Bessel. Elle peut être positive, négative ou nulle. En pratique, x représente souvent une fréquence normalisée, un rayon normalisé, ou un paramètre sans dimension dépendant de ton problème physique. Plus x est grand, plus la fonction de Bessel oscille rapidement.
Conseil : En acoustique, x correspond souvent au produit kr, où k est le nombre d'onde et r le rayon. Pour un tambour de 0,3 m à 440 Hz, x vaut environ 2,4 au premier mode.
n
(obligatoire)C'est l'ordre de la fonction de Bessel. Il doit être un entier positif ou nul (0, 1, 2, 3...). L'ordre correspond au mode de vibration ou au type de symétrie : n=0 pour le mode radial pur, n=1 pour le premier mode azimutal, etc. Plus n est élevé, plus le nombre de lobes ou de nodales augmente.
Astuce : Pour un tambour circulaire, n=0 donne le mode fondamental (vibration symétrique), n=1 donne le premier mode asymétrique avec un diamètre nodal, n=2 avec deux diamètres nodaux, etc.
Comprendre la fonction de Bessel
La fonction de Bessel Jn(x) apparaît naturellement quand tu résous l'équation de Helmholtz ou l'équation des ondes en coordonnées cylindriques. Voici ses propriétés essentielles :
Propriétés clés de BESSELJ
- •À l'origine : J0(0) = 1, et Jn(0) = 0 pour n supérieur à 0
- •Oscillations : Pour x grand, Jn(x) oscille avec une amplitude décroissante proportionnelle à 1/sqrt(x)
- •Zéros : Jn(x) s'annule en des points précis (racines) qui définissent les fréquences de résonance
- •Symétrie : Jn(-x) = (-1)^n × Jn(x)
Attention : Si n est négatif ou si n n'est pas un entier, Excel retournera l'erreur #NOMBRE!. Assure-toi que ton ordre est toujours un entier positif ou nul.
Exemples pratiques pas à pas
Exemple 1 – Ingénieur acoustique : modes de résonance d'un tambour
Tu es ingénieur acoustique et tu conçois un tambour circulaire. Tu veux déterminer les fréquences de résonance des premiers modes de vibration. Les zéros de la fonction BESSELJ te donnent ces fréquences. Pour le mode fondamental (n=0), le premier zéro est à x ≈ 2,405.
Aux zéros de BESSELJ, la fonction s'annule. Ces points définissent les fréquences de résonance du tambour.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Mode (n) | Valeur x | J_n(x) | Description |
| 2 | 0 | 2.405 | =BESSELJ(B2;A2) | Premier zéro - mode fondamental |
| 3 | 1 | 3.832 | =BESSELJ(B3;A3) | Premier zéro n=1 - un diamètre nodal |
| 4 | 2 | 5.136 | =BESSELJ(B4;A4) | Premier zéro n=2 - deux diamètres nodaux |
| 5 | 0 | 5.520 | =BESSELJ(B5;A5) | Deuxième zéro n=0 - harmonique |
| 6 | 1 | 7.016 | =BESSELJ(B6;A6) | Deuxième zéro n=1 |
=BESSELJ(2.405;0)En pratique, pour un tambour de rayon R, la fréquence f du mode (n,m) est donnée par f = (c × z_n,m) / (2π × R), où z_n,m est le m-ième zéro de Jn, et c la vitesse du son dans la membrane. BESSELJ te permet de vérifier ces zéros et de modéliser la réponse acoustique complète.
Exemple 2 – Physicien : diffraction de la lumière par une ouverture circulaire
Tu es physicien ou ingénieur optique. Tu étudies la diffraction d'un faisceau laser par une ouverture circulaire (tache d'Airy). L'intensité lumineuse en fonction de l'angle suit un motif proportionnel à [2×J1(x)/x]², où x dépend de l'angle et de l'ouverture.
J1(0) = 0, mais la limite de 2J1(x)/x quand x tend vers 0 vaut 1, donnant le pic central de la tache d'Airy.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | x (kr sin θ) | J1(x) | Intensité normalisée | Remarque |
| 2 | 0 | =BESSELJ(A2;1) | 1 | Maximum central |
| 3 | 1 | =BESSELJ(A3;1) | =PUISSANCE((2*C3/A3);2) | Forte intensité |
| 4 | 2 | =BESSELJ(A4;1) | =PUISSANCE((2*C4/A4);2) | Intensité modérée |
| 5 | 3.832 | =BESSELJ(A5;1) | 0 | Premier minimum (zéro de J1) |
| 6 | 5 | =BESSELJ(A6;1) | =PUISSANCE((2*C6/A6);2) | Lobe secondaire faible |
=BESSELJ(0;1)Le premier zéro de J1(x) à x ≈ 3,832 définit le rayon angulaire de la tache d'Airy. C'est ce qui limite la résolution optique de ton télescope ou microscope. En utilisant BESSELJ, tu peux tracer le profil complet de diffraction et optimiser ton système optique.
Exemple 3 – Ingénieur RF : conception d'une antenne circulaire
Tu es ingénieur RF (radiofréquences) et tu conçois une antenne patch circulaire. Le diagramme de rayonnement et l'impédance d'entrée dépendent des fonctions de Bessel. Tu dois calculer la distribution de courant sur le patch, qui suit J0 pour le mode fondamental.
La distribution de courant sur l'antenne suit J0. Au bord (premier zéro), le courant s'annule.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Rayon normalisé (r/a) | J0(kr) | Amplitude relative (%) | Zone |
| 2 | 0 | =BESSELJ(0;0) | 100% | Centre du patch |
| 3 | 0.3 | =BESSELJ(0.72;0) | =B3*100&"%" | Zone intermédiaire |
| 4 | 0.5 | =BESSELJ(1.20;0) | =B4*100&"%" | Mi-rayon |
| 5 | 0.7 | =BESSELJ(1.68;0) | =B5*100&"%" | Proche du bord |
| 6 | 1 | =BESSELJ(2.405;0) | 0% | Bord (premier zéro) |
=BESSELJ(0;0)En calculant BESSELJ pour différentes positions radiales, tu peux déterminer la fréquence de résonance, l'impédance, et le diagramme de rayonnement de ton antenne. Le premier zéro de J0 à x ≈ 2,405 te donne la condition aux limites pour dimensionner le rayon du patch en fonction de la fréquence cible.
Les erreurs fréquentes et comment les éviter
Utiliser un ordre n négatif
Le paramètre n doit être un entier positif ou nul. Si tu utilises un n négatif, Excel retournera l'erreur #NOMBRE!. Pour les ordres négatifs, utilise plutôt la relation Jn(-x) = (-1)^n × Jn(x) si nécessaire.
Utiliser un ordre n non entier
BESSELJ n'accepte que des ordres entiers. Si tu passes 1,5 ou 2,3 comme ordre, Excel retournera #NOMBRE!. Les fonctions de Bessel d'ordre non entier existent mathématiquement, mais Excel ne les gère pas avec BESSELJ.
Confondre BESSELJ et BESSELY
BESSELJ calcule la fonction de Bessel de première espèce Jn(x), finie partout. BESSELY calcule la fonction de deuxième espèce Yn(x), qui diverge en x=0. Si ton problème physique implique une singularité à l'origine (guide d'ondes creux), utilise BESSELY. Sinon (membrane, disque plein), utilise BESSELJ.
Combiner BESSELJ avec d'autres fonctions
BESSELJ devient encore plus puissante quand tu la combines avec d'autres fonctions Excel pour résoudre des problèmes complexes. Voici des cas d'usage avancés :
BESSELJ + PUISSANCE : Calculer l'intensité lumineuse (tache d'Airy)
=SI(A1=0;1;PUISSANCE((2*BESSELJ(A1;1)/A1);2))Cette formule calcule l'intensité normalisée de la tache d'Airy en fonction de x. Le SI gère le cas x=0 (limite).
BESSELJ + VALEUR.CIBLE : Trouver les zéros (fréquences de résonance)
=BESSELJ(A1;0) puis utiliser VALEUR.CIBLE sur cette celluleTu peux utiliser l'outil Valeur cible pour trouver les valeurs de x qui annulent Jn(x), c'est-à-dire les zéros.
BESSELJ + GRAPHIQUE : Tracer le profil de diffraction ou de vibration
Colonne A : séquence de x (0 à 10 par pas de 0,1) | Colonne B : =BESSELJ(A:A;0)Crée un graphique XY pour visualiser Jn(x) et identifier visuellement les zéros et extrema.
Astuce pro : Pour trouver automatiquement les zéros de Jn, génère un tableau de valeurs de BESSELJ pour x variant de 0 à 20, puis utilise une formule avec SIGNE() pour détecter les changements de signe (indicateurs de zéros).
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une fonction de Bessel ?
Les fonctions de Bessel sont des solutions d'équations différentielles qui apparaissent dans de nombreux problèmes de physique et d'ingénierie impliquant des symétries cylindriques ou sphériques. BESSELJ calcule la fonction de Bessel de première espèce Jn(x), utilisée notamment pour modéliser les vibrations, les ondes et la diffraction.
Quelle est la différence entre BESSELJ et BESSELY ?
BESSELJ calcule la fonction de Bessel de première espèce Jn(x), tandis que BESSELY calcule la fonction de Bessel de deuxième espèce Yn(x). Les deux sont solutions de la même équation différentielle mais avec des comportements différents. BESSELJ est finie à l'origine, tandis que BESSELY diverge. Utilise BESSELJ pour les problèmes avec des conditions régulières à l'origine.
Quelles valeurs peut prendre le paramètre n ?
Le paramètre n (ordre de la fonction) doit être un entier positif ou nul (0, 1, 2, 3...). Si n est négatif, Excel retournera l'erreur #NOMBRE!. Les ordres les plus courants sont 0, 1 et 2, correspondant à différents modes de vibration ou de propagation dans les systèmes physiques.
BESSELJ peut-elle gérer des valeurs négatives de x ?
Oui, BESSELJ accepte des valeurs négatives pour x. Pour un ordre n pair, Jn(-x) = Jn(x) (fonction paire). Pour un ordre n impair, Jn(-x) = -Jn(x) (fonction impaire). Excel gère ces cas automatiquement selon les propriétés mathématiques des fonctions de Bessel.
Dans quels domaines utilise-t-on BESSELJ ?
BESSELJ est utilisée en acoustique (modes de vibration de membranes circulaires), optique (diffraction par des ouvertures circulaires), électromagnétisme (propagation d'ondes dans les guides d'ondes), traitement du signal (filtres de Bessel), mécanique (vibrations de structures cylindriques), et même en finance pour certains modèles d'options exotiques.
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