BESSELK calcule la fonction de Bessel modifiée de seconde espèce Kn(x), un outil mathématique indispensable pour les ingénieurs et physiciens qui résolvent des équations différentielles en coordonnées cylindriques. Contrairement aux fonctions de Bessel oscillantes classiques, BESSELK décroît exponentiellement à mesure que x grandit, ce qui la rend particulièrement adaptée aux problèmes à conditions aux limites extérieures.
Concrètement, c'est elle qu'on retrouve dans la diffusion de chaleur dans les conduites, les potentiels électrostatiques avec écrantage, l'atténuation d'un blindage radiologique ou l'écoulement de fluides en milieu poreux. Sur une géométrie cylindrique avec source externe, elle donne la solution analytique exacte que ne capture pas une simple exponentielle.
Syntaxe de la fonction BESSELK
=BESSELK(x; n)BESSELK n'est disponible que dans Excel (pas Google Sheets). x doit être strictement positif : la fonction diverge ou n'est pas définie pour x <= 0, ce qui génère une erreur #NOMBRE!. De même, n doit être un entier non négatif.
Comprendre chaque paramètre de la fonction BESSELK
BESSELK attend ses deux arguments dans un ordre précis : d'abord x, le point où tu évalues la fonction, puis n, l'ordre de la courbe. Les deux sont obligatoires, mais leurs contraintes ne se ressemblent pas : x doit être un réel strictement positif (la fonction explose en 0 et n'existe pas pour les négatifs), alors que n doit être un entier à partir de 0. Dans la grande majorité des cas cylindriques simples, tu laisses n à 0 et tu ne fais varier que x.
x
: la valeur positive pour laquelle tu calcules la fonction de Bessel modifiéeCe paramètre doit être strictement supérieur à 0. Il représente généralement une distance radiale adimensionnelle, un paramètre de diffusion combinant distance, temps et diffusivité, ou tout autre grandeur physique sans dimension dans tes calculs d'ingénierie.
Plus x est grand, plus la valeur de BESSELK décroît rapidement vers zéro. À x = 5, BESSELK(5; 0) vaut environ 0,0037, soit moins de 0,4 % de la valeur en x = 1.
Astuce : Pour des problèmes de diffusion thermique, x représente souvent le paramètre sans dimension r * sqrt(k/D) où r est la distance radiale, k un coefficient et D la diffusivité. Plus x est grand, plus la température décroît rapidement : la décroissance est exponentielle, pas linéaire.
n
: l'ordre de la fonction de Bessel modifiéeCe paramètre doit être un entier non négatif (0, 1, 2, 3...). L'ordre correspond généralement au mode de vibration, à la symétrie angulaire du problème, ou à l'ordre de dérivation dans l'équation différentielle que tu résous.
Pour la plupart des problèmes à symétrie cylindrique simple, n = 0 (K0) est l'ordre utilisé. K1 intervient dans les problèmes avec gradient radial ou flux. Les ordres supérieurs (K2, K3...) apparaissent dans des géométries cylindriques avec modes angulaires.
Astuce : K0 et K1 sont les deux ordres les plus courants. K0 apparaît dans les solutions de diffusion radiale pure (température, concentration). K1 intervient quand tu calcules un flux ou un gradient radial, car K1(x) = -K0'(x) au signe près.
Exemples pratiques pas à pas
Ingénieur thermique : diffusion de chaleur dans un cylindre
Tu modélises la diffusion de chaleur dans un cylindre avec une source externe. La solution analytique fait intervenir K0(x) où x dépend de la distance radiale r et de la diffusivité thermique. Tu calcules K0 pour différentes positions radiales adimensionnelles afin de tracer le profil de température.
Les valeurs de K0 montrent la décroissance exponentielle de la température : à x = 0,5, K0 vaut environ 0,924 (température encore significative), mais à x = 5, K0 vaut environ 0,004 (température quasi nulle). K1 est utilisé pour calculer le flux thermique radial, proportionnel à -K1(x). Cette approche donne la solution exacte là où une simple exponentielle ne capture pas la courbure radiale correctement.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Position x | K0(x) | K1(x) | Température relative |
| 2 | 0,5 | =BESSELK(A2;0) | =BESSELK(A2;1) | =B2/B$2 |
| 3 | 1 | =BESSELK(A3;0) | =BESSELK(A3;1) | =B3/B$2 |
| 4 | 2 | =BESSELK(A4;0) | =BESSELK(A4;1) | =B4/B$2 |
| 5 | 5 | =BESSELK(A5;0) | =BESSELK(A5;1) | =B5/B$2 |
=BESSELK(1;0)Astuce de pro : La relation K0'(x) = -K1(x) te permet de calculer le flux thermique directement : =BESSELK(x;1) te donne le gradient radial (au signe près) sans dérivation numérique approximative.
Physicien : potentiel électrostatique avec écrantage
Tu calcules le potentiel électrostatique autour d'un conducteur cylindrique chargé dans un milieu avec écrantage (équation de Yukawa). La solution utilise K0(λr) où λ est la longueur d'écrantage inverse et r la distance radiale. L'écrantage fait décroître le potentiel bien plus vite qu'une loi en 1/r classique.
La colonne K1 te donne le champ électrique radial E = -dV/dr, qui est proportionnel à K1 puisque la dérivée de K0 est -K1. Cette relation différentielle directe entre K0 et K1 rend BESSELK particulièrement pratique pour les calculs électrostatiques en milieu dissipatif.
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | λr | K0(λr) | K1(λr) | Potentiel (V) | Champ E (V/m) |
| 2 | 0,1 | =BESSELK(A2;0) | =BESSELK(A2;1) | =100*B2 | =100*C2*A2 |
| 3 | 0,5 | =BESSELK(A3;0) | =BESSELK(A3;1) | =100*B3 | =100*C3*A3 |
| 4 | 1 | =BESSELK(A4;0) | =BESSELK(A4;1) | =100*B4 | =100*C4*A4 |
| 5 | 2 | =BESSELK(A5;0) | =BESSELK(A5;1) | =100*B5 | =100*C5*A5 |
=BESSELK(0,5;0)Ingénieur nucléaire : atténuation du rayonnement dans un blindage cylindrique
Tu conçois un blindage radiologique cylindrique et tu calcules l'efficacité de l'atténuation du flux de neutrons en fonction de l'épaisseur. L'atténuation fait intervenir K0(x) où x combine l'épaisseur de blindage et le coefficient d'atténuation du matériau.
Les résultats montrent l'efficacité croissante du blindage : à x = 1, il reste 42 % du flux initial. À x = 3, seulement 3,5 %, soit une atténuation de 96,5 %. À x = 5, moins de 0,4 % du flux passe. BESSELK modélise précisément la pénétration exponentielle du rayonnement dans un milieu absorbant cylindrique, ce qui est indispensable pour dimensionner des protections radiologiques conformes aux normes.
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Épaisseur x | K0(x) | K1(x) | Flux relatif | Atténuation |
| 2 | 1 | =BESSELK(A2;0) | =BESSELK(A2;1) | =B2 | =1-D2 |
| 3 | 2 | =BESSELK(A3;0) | =BESSELK(A3;1) | =B3 | =1-D3 |
| 4 | 3 | =BESSELK(A4;0) | =BESSELK(A4;1) | =B4 | =1-D4 |
| 5 | 5 | =BESSELK(A5;0) | =BESSELK(A5;1) | =B5 | =1-D5 |
=BESSELK(3;0)Envie de t'entraîner sur de vrais exercices Excel ?
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Les erreurs fréquentes avec la fonction BESSELK
Avec BESSELK, les blocages tournent presque toujours autour du domaine de définition. Un #NOMBRE! signale soit un x à zéro ou négatif (la fonction y diverge ou n'existe pas), soit un n qui n'est pas un entier positif. Le troisième écueil n'est pas une erreur d'Excel mais de choix : prendre BESSELK quand ton problème appelait BESSELI, ou l'inverse, car ces deux sœurs se comportent à l'opposé selon que la solution doit décroître à l'infini ou rester finie au centre.
Erreur #NOMBRE! avec x nul ou négatif
BESSELK n'est définie que pour des valeurs de x strictement positives. En x = 0, K0 diverge logarithmiquement (la valeur tend vers l'infini). En x négatif, la fonction n'est mathématiquement pas définie dans le domaine réel.
Solution : Vérifie que x > 0 avant d'appeler la fonction. Si x provient d'un calcul, protège-toi avec =SIERREUR(BESSELK(MAX(x;0.0001);n);"x doit être > 0"). Pour les très petites valeurs de x, attention : K0(0,001) vaut environ 6,9, les valeurs divergent vite.
Erreur #NOMBRE! avec un ordre n non entier ou négatif
L'ordre n doit être un entier non négatif (0, 1, 2...). Si tu passes n = 1,5 ou n = -1, Excel génère une erreur car ces ordres ne correspondent pas aux fonctions de Bessel discrètes implémentées.
Solution : Assure-toi que n est bien un entier non négatif. Si n provient d'un calcul en virgule flottante, utilise ENT(n) pour tronquer : =BESSELK(x; ENT(n)). Rappelle-toi que n = 0 couvre la majorité des problèmes à symétrie cylindrique simple.
Confusion entre BESSELK et BESSELI dans le choix de la fonction
BESSELK et BESSELI sont toutes deux des fonctions de Bessel modifiées, mais avec des comportements opposés : BESSELI croît exponentiellement (utile pour les solutions à l'intérieur d'un domaine borné), tandis que BESSELK décroît exponentiellement (utile pour les solutions en domaine extérieur ou infini).
Solution : Choisis la fonction selon les conditions aux limites de ton problème. Si tu as une source à l'intérieur d'un cylindre et que la solution doit être finie à l'origine, c'est BESSELI. Si la solution doit tendre vers zéro à l'infini (domaine extérieur, diffusion), c'est BESSELK.
Questions fréquentes sur la fonction BESSELK
Quelle est la différence entre BESSELK et les autres fonctions de Bessel d'Excel ?
BESSELK calcule la fonction modifiée de seconde espèce Kn(x), qui décroît exponentiellement. BESSELI calcule la modifiée de première espèce In(x), croissante exponentiellement. BESSELJ calcule Jn(x) et BESSELY calcule Yn(x), qui sont toutes deux des fonctions oscillantes non modifiées. BESSELK est la seule à tendre vers zéro à l'infini, ce qui la rend adaptée aux domaines extérieurs.
Pourquoi x doit-il être strictement positif ?
Les fonctions Kn(x) ne sont définies que pour des valeurs positives de x. En x = 0, K0 diverge logarithmiquement. Pour x négatif, la fonction sort du domaine réel. Ces restrictions viennent directement de la définition mathématique des fonctions de Bessel modifiées.
Comment choisir l'ordre n dans BESSELK ?
L'ordre n correspond à la symétrie angulaire du problème ou à l'ordre de dérivation. Pour un problème cylindrique sans symétrie angulaire, utilise n = 0. Pour des modes avec symétrie angulaire d'ordre 1 (flux, gradient), utilise n = 1. Pour des modes d'ordre supérieur, n = 2, 3, etc. L'ordre n doit être un entier non négatif.
Quand utiliser BESSELK plutôt qu'une exponentielle décroissante simple ?
Une exponentielle décroissante (exp(-x)) est une approximation valable pour les grandes valeurs de x, mais elle ne capture pas la dépendance radiale correcte en coordonnées cylindriques. BESSELK est nécessaire quand tu résous des équations différentielles avec des termes de dérivées radiales (Laplacien cylindrique), ce qui est le cas pour la diffusion thermique, les potentiels électrostatiques ou la propagation d'ondes dans des géométries cylindriques.
BESSELK peut-elle gérer de très grandes valeurs de x ?
Pour x très grand, BESSELK décroît si vite qu'elle tend vers des valeurs proches de zéro, parfois en dessous de la précision numérique d'Excel. Pour x supérieur à environ 100, les valeurs peuvent être arrondies à zéro. L'approximation asymptotique Kn(x) ≈ sqrt(π / (2x)) × exp(-x) est utilisable dans ce régime.
Y a-t-il une relation entre K0 et K1 que je peux exploiter dans Excel ?
Oui : la dérivée de K0 est égale à -K1, soit K0'(x) = -K1(x). Cette relation te permet de calculer des flux ou des gradients radiaux directement avec =BESSELK(x;1) sans passer par une dérivation numérique. La relation de récurrence générale est Kn-1(x) - Kn+1(x) = -2 × Kn'(x), ce qui permet de relier les ordres consécutifs.
Pour aller plus loin
Les fonctions similaires : BESSELI, BESSELJ, BESSELY, COMPLEXE.MODULE, EXP
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