Fonction BESSELY ExcelGuide Complet 2026
La fonction BESSELY te permet de calculer la fonction de Bessel de deuxième espèce Yn(x), essentielle pour résoudre des problèmes avancés en ingénierie et en physique. Que tu analyses des vibrations cylindriques, des ondes dans des guides circulaires ou des phénomènes acoustiques, BESSELY te donne accès à des calculs mathématiques puissants qui vont bien au-delà des fonctions classiques.
Syntaxe de la fonction BESSELY
La syntaxe de BESSELY nécessite deux arguments : la valeur x (strictement positive) pour laquelle tu veux calculer la fonction, et l'ordre n de la fonction de Bessel. BESSELY retourne la valeur de Yn(x).
=BESSELY(x; n)Comprendre chaque paramètre de la fonction BESSELY
x
(obligatoire)La valeur strictement positive pour laquelle tu veux calculer la fonction de Bessel Y. Ce paramètre représente généralement une distance radiale, une fréquence normalisée ou un paramètre sans dimension dans tes équations physiques. Attention : x doit être strictement positif (x supérieur à 0), car la fonction Y présente une singularité en x=0.
Astuce : En acoustique et en mécanique vibratoire, x représente souvent le produit (k × r) où k est le nombre d'onde et r le rayon. Plus x est grand, plus tu explores des modes à haute fréquence.
n
(obligatoire)L'ordre de la fonction de Bessel, qui doit être un entier positif ou nul (0, 1, 2, 3...). L'ordre n correspond au mode ou à l'harmonique que tu étudies : n=0 est le mode fondamental, n=1 le premier mode, n=2 le deuxième mode, etc. En physique, n représente souvent le nombre de variations angulaires dans un système à symétrie cylindrique.
Astuce : Pour la plupart des applications pratiques, tu utiliseras des ordres n compris entre 0 et 5. Les ordres plus élevés correspondent à des modes de plus haute fréquence, souvent moins importants en pratique.
Attention : Si x est négatif ou nul, ou si n est négatif, Excel retournera l'erreur #NOMBRE!. La fonction de Bessel Y n'est définie que pour x strictement positif. Si n n'est pas un entier, Excel le tronque automatiquement.
Comprendre la fonction de Bessel Y
La fonction de Bessel Yn(x) est la deuxième solution linéairement indépendante de l'équation différentielle de Bessel. Contrairement à Jn(x) qui est régulière en x=0, Yn(x) présente une singularité logarithmique en x=0 (elle tend vers moins l'infini). Voici ses propriétés essentielles :
Comportement en x=0
Yn(x) tend vers moins l'infini quand x tend vers 0
Comportement pour x grand
Yn(x) oscille avec une amplitude décroissante
Relation avec la fonction J
La solution générale de l'équation de Bessel s'écrit : f(x) = A·Jn(x) + B·Yn(x)
où A et B sont des constantes déterminées par les conditions aux limites de ton problème physique. En général, Jn représente les ondes régulières et Yn les ondes singulières.
Exemples pratiques pas à pas
Exemple 1 – Ingénieur mécanique : vibrations d'un cylindre creux
Tu es ingénieur en mécanique et tu analyses les vibrations d'un cylindre creux. Les modes de vibration sont décrits par une combinaison des fonctions de Bessel J et Y. Tu veux calculer Y0(x) et Y1(x) pour différentes valeurs de x correspondant aux fréquences normalisées.
Pour x=2,4 (première résonance), Y0(2,4) ≈ 0,510. Cette valeur sert à calculer les fréquences propres du cylindre.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | x | Y0(x) | Y1(x) | Interprétation |
| 2 | 0,5 | =BESSELY(A2;0) | =BESSELY(A2;1) | Basse fréquence |
| 3 | 2,4 | =BESSELY(A3;0) | =BESSELY(A3;1) | Première résonance |
| 4 | 5,5 | =BESSELY(A4;0) | =BESSELY(A4;1) | Deuxième résonance |
| 5 | 10 | =BESSELY(A5;0) | =BESSELY(A5;1) | Haute fréquence |
=BESSELY(2,4;0)En combinant les valeurs de BESSELJ et BESSELY, tu peux déterminer les fréquences de résonance exactes de ton cylindre creux en appliquant les conditions aux limites aux rayons intérieur et extérieur.
Exemple 2 – Physicien : propagation d'ondes dans un guide circulaire
Tu es physicien ou ingénieur en télécommunications et tu modélises la propagation d'ondes électromagnétiques dans un guide d'onde circulaire. Tu dois calculer les fonctions de Bessel Y pour différents ordres n afin de caractériser les modes TE et TM.
Pour le mode TM01 avec x=3,832, Y1(3,832) ≈ 0,403. Ce calcul intervient dans la détermination de la fréquence de coupure.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | x | n | Yn(x) | Mode |
| 2 | 3,832 | 0 | =BESSELY(A2;B2) | TE01 |
| 3 | 3,832 | 1 | =BESSELY(A3;B3) | TM01/TE11 |
| 4 | 7,016 | 0 | =BESSELY(A4;B4) | TE02 |
| 5 | 7,016 | 2 | =BESSELY(A5;B5) | TE21 |
=BESSELY(3,832;1)Ces valeurs sont essentielles pour calculer les fréquences de coupure et les diagrammes de dispersion des différents modes de propagation dans ton guide d'onde. Chaque mode a ses propres caractéristiques de transmission.
Exemple 3 – Acousticien : modes propres d'un résonateur cylindrique
Tu es acousticien ou ingénieur du son et tu conçois un résonateur cylindrique. Tu dois calculer les modes propres de résonance en utilisant les fonctions de Bessel Y pour modéliser les conditions aux parois.
Pour f=1000 Hz et r=0,05 m, k×r ≈ 0,917 et Y0(0,917) ≈ -0,881. Cette valeur caractérise le mode fondamental.
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Rayon r (m) | Fréquence f (Hz) | k×r | Y0(k×r) | Y1(k×r) |
| 2 | 0,05 | 1000 | =2*PI()*B2/343*A2 | =BESSELY(C2;0) | =BESSELY(C2;1) |
| 3 | 0,05 | 2000 | =2*PI()*B3/343*A3 | =BESSELY(C3;0) | =BESSELY(C3;1) |
| 4 | 0,05 | 3000 | =2*PI()*B4/343*A4 | =BESSELY(C4;0) | =BESSELY(C4;1) |
=BESSELY(0,917;0)En analysant les zéros et les extrema de Yn(k×r), tu peux identifier les fréquences de résonance optimales de ton résonateur. Cette approche est fondamentale en design acoustique pour maximiser l'efficacité de tes systèmes.
Les erreurs fréquentes et comment les éviter
Utiliser x = 0 ou x négatif
La fonction de Bessel Y présente une singularité en x=0. Si tu essaies de calculer BESSELY(0; n) ou BESSELY(valeur négative; n), Excel génère l'erreur #NOMBRE!.
Confondre BESSELY et BESSELJ
Ne confonds pas Y (deuxième espèce) et J (première espèce). BESSELJ est régulière partout tandis que BESSELY présente une singularité en x=0. Dans la plupart des problèmes de physique bornés (comme un disque plein), on utilise uniquement J car Y diverge au centre.
Utiliser un ordre n trop élevé sans nécessité
Pour des valeurs de x proches de 0 et des ordres n élevés, les valeurs de Yn(x) deviennent extrêmement grandes (en valeur absolue négative). Cela peut créer des problèmes numériques. Dans la plupart des applications pratiques, les premiers ordres (n=0, 1, 2) suffisent.
Cas d'usage de BESSELY en pratique
La fonction BESSELY n'est pas un simple outil théorique. Elle a des applications concrètes dans plusieurs domaines de l'ingénierie et de la physique :
Vibrations de structures cylindriques
En ingénierie mécanique, BESSELY modélise les vibrations de cylindres creux, de tuyaux et de résonateurs. La combinaison J+Y permet de satisfaire les conditions aux limites aux deux rayons.
Guides d'ondes électromagnétiques
En télécommunications et en photonique, BESSELY caractérise les modes de propagation dans les guides d'ondes circulaires et les fibres optiques, notamment pour les modes TE et TM.
Acoustique et propagation sonore
En acoustique, BESSELY modélise les champs sonores dans les résonateurs cylindriques, les conduits et les cavités annulaires. Elle est essentielle pour le design de silencieux et d'instruments de musique.
Transfert thermique radial
En thermique, BESSELY apparaît dans les solutions de l'équation de la chaleur pour les géométries cylindriques creuses, comme les tuyaux isolés ou les échangeurs de chaleur annulaires.
Diffraction et diffusion d'ondes
En optique et en physique des ondes, BESSELY modélise la diffraction par des obstacles cylindriques et la diffusion d'ondes planes par des objets circulaires.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que la fonction de Bessel Y ?
La fonction de Bessel Y (ou fonction de Bessel de deuxième espèce) est une solution de l'équation de Bessel qui apparaît dans de nombreux problèmes de physique mathématique, notamment pour modéliser les vibrations cylindriques, les ondes dans les guides circulaires et les phénomènes de diffraction.
Quelle différence entre BESSELY et BESSELJ ?
BESSELJ calcule la fonction de Bessel J (première espèce) tandis que BESSELY calcule la fonction de Bessel Y (deuxième espèce). La fonction J est régulière en x=0, alors que Y tend vers l'infini négatif en x=0. En physique, J représente les ondes régulières et Y les ondes singulières.
Pourquoi BESSELY génère une erreur pour x=0 ?
La fonction de Bessel Y présente une singularité en x=0 (elle tend vers moins l'infini). Par conséquent, BESSELY(0; n) génère toujours une erreur #NOMBRE!. Tu dois utiliser des valeurs strictement positives pour x.
Dans quels domaines utilise-t-on BESSELY ?
BESSELY est couramment utilisée en ingénierie mécanique (vibrations de structures cylindriques), en acoustique (modes propres de résonateurs), en physique (propagation d'ondes électromagnétiques dans les guides d'ondes circulaires), et en traitement du signal.
Comment interpréter l'ordre n de la fonction ?
L'ordre n correspond au mode ou à l'harmonique que tu étudies. n=0 est le mode fondamental, n=1 le premier mode, etc. En acoustique, n représente le nombre de variations angulaires du champ dans un résonateur cylindrique.
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