Qu'est-ce que la fonction BESSELY ?
BESSELY te permet de calculer la fonction de Bessel de deuxième espèce Yₙ(x). Si tu travailles en ingénierie mécanique sur des cylindres creux, en acoustique pour les résonateurs cylindriques, ou en électromagnétisme pour les guides d'ondes circulaires, BESSELY te donne accès à des calculs mathématiques avancés directement dans Excel sans logiciel spécialisé.
Contrairement à BESSELJ (première espèce) qui est finie partout y compris en x=0, la fonction de Bessel Y (Neumann function en anglais) diverge vers l'infini négatif quand x tend vers 0. Cette singularité est précisément ce qui la rend utile pour les géométries creuses : résonateurs annulaires, guides d'ondes cylindriques creux, tuyaux. Combinée avec BESSELJ, elle complète la solution générale de l'équation de Bessel.
Syntaxe
Clique sur un argument pour aller à son explication.
Si x est nul ou négatif, BESSELY retourne #NOMBRE! car la fonction présente une singularité logarithmique en x=0. Si n est négatif, Excel retourne aussi #NOMBRE!. Les valeurs non entières de n sont tronquées à l'entier inférieur.
Comprendre chaque paramètre de la fonction BESSELY
BESSELY attend deux arguments dans cet ordre, tous les deux obligatoires : d'abord x, la valeur où tu évalues la fonction, ensuite n, l'ordre du mode. x doit rester strictement positif (la fonction explose en x=0) et n un entier positif ou nul. Si tu lui passes un décimal, Excel le tronque sans broncher.
x
: la valeur strictement positive pour laquelle tu veux calculer la fonction de Bessel YCe paramètre représente généralement une distance radiale normalisée, un produit kr (nombre d'onde × rayon) ou un paramètre sans dimension dans tes équations physiques.
Contrairement à BESSELJ, BESSELY n'est pas définie en x=0 : la fonction diverge vers l'infini négatif quand x tend vers 0. Pour de très petites valeurs proches de 0, les résultats peuvent être très grands en valeur absolue. Pour de grandes valeurs de x, la fonction oscille avec une amplitude décroissante, similaire à un sinus ou cosinus amorti.
Attention : Utilise uniquement des valeurs strictement positives pour x. Toute valeur nulle ou négative provoque l'erreur #NOMBRE!. Protège tes formules avec SIERREUR ou un test SI(A1>0; BESSELY(A1; n); "Indéfini").
n
: l'ordre de la fonction de Bessel, qui doit être un entier positif ou nul (0, 1, 2, 3...)L'ordre n correspond au mode ou à l'harmonique que tu étudies : n=0 est le mode fondamental (symétrie cylindrique pure), n=1 le premier mode azimutal, n=2 le deuxième, etc.
En physique, n représente souvent le nombre de variations angulaires dans un système à symétrie cylindrique. Les ordres supérieurs (au-delà de 5) correspondent à des modes de haute fréquence rarement utilisés en pratique.
Exemples pratiques pas à pas
Comment calculer la fonction de Bessel de deuxième espèce Y0 avec la fonction BESSELY
Le banc d'essai fait vibrer une série de cylindres et chaque point de mesure a déjà été réduit au produit du nombre d'onde par le rayon, rangé en colonne B. Sur une géométrie creuse, la solution ne se referme pas sans la fonction de Bessel de deuxième espèce : celle qui explose au centre, et que la présence d'une cavité rend justement admissible. La fonction BESSELY évalue Y0 sur chaque ligne du relevé et te livre la moitié singulière de la solution en une seule recopie.
- 1Dans une cellule, écris
=BESSELY(. - 2En 1er argument : clique sur la cellule qui porte le produit du nombre d'onde par le rayon,
B2. Elle affiche2,40sur la première ligne du relevé, et c'est là que la fonction évalue Y0. La fonction BESSELY n'accepte que des valeurs strictement positives, condition que la colonne respecte sur ses dix-huit lignes. - 3En 2ᵉ argument : saisis l'ordre du mode que tu étudies,
0. Cet ordre désigne le mode à symétrie de révolution pure, celui qui ne varie pas quand on tourne autour de l'axe. Écrit en dur plutôt que lu dans une cellule, il reste identique sur toute la recopie et la colonne entière suit donc Y0. - 4Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée, puis recopie la formule vers le bas. La référence
B2descend d'une ligne à chaque fois tandis que l'ordre reste figé, si bien qu'une seule saisie couvre les dix-huit points du relevé.
=BESSELY(B2; 0)2,40 et renvoie 0,5104. Le signe compte ici autant que l'amplitude, parce que Y0 oscille et change de camp au fil de la colonne : le point 4,20 redescend à -0,0938. C'est ce qui sépare cette famille de la famille modifiée, qui garde un signe constant et s'écrase sans jamais osciller.
Comment faire varier l'ordre de la fonction BESSELY
Le cylindre creux ne vibre pas seulement en symétrie de révolution : le rapport d'essai demande aussi les modes qui tournent autour de l'axe, et chacun correspond à un ordre différent de la fonction de Bessel. Ton tableau croise deux points radiaux avec les ordres 0, 1 et 2, ce qui couvre les six combinaisons attendues. La fonction BESSELY va lire l'ordre dans une cellule plutôt que de le figer, et tu balaies les modes d'une seule recopie.
- 1Dans une cellule, écris
=BESSELY(. - 2En 1er argument : clique sur la cellule du point d'évaluation,
B2. Elle affiche2,4, et cette même valeur alimente les trois premières lignes avant que5prenne le relais sur les suivantes. Le rôle de cet argument ne change pas d'un exemple à l'autre, c'est toujours le point où la fonction est évaluée. - 3En 2ᵉ argument : clique sur la cellule qui porte l'ordre du mode,
C2. Elle affiche0sur la première ligne, puis1et2sur les deux suivantes. Comme la formule pointe la cellule au lieu de figer le chiffre, la recopie balaie les trois modes sans que tu retouches quoi que ce soit. - 4Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée, puis recopie la formule vers le bas. Les deux références descendent ensemble, si bien qu'une seule saisie couvre les six combinaisons du tableau.
=BESSELY(B2; C2)2,4, les trois ordres partent dans des directions qui n'ont rien de commun : 0,5104 pour Y0, 0,1005 pour Y1, puis -0,4267 pour Y2. Aucune régularité ne s'en dégage, à l'inverse de la famille modifiée qui monte sagement avec l'ordre. Au point 5, l'ordre 0 est déjà passé en négatif (-0,3085) alors que les ordres 1 et 2 sont repassés positifs, ce qui rappelle que chaque ordre a ses propres zéros et son propre décalage.
Comment éviter l'erreur #NOMBRE! sur un x hors domaine avec les fonctions BESSELY et SIERREUR
Ta feuille sert de calculateur commun et le produit du nombre d'onde par le rayon y est saisi à la main, parfois recopié d'un relevé incomplet. La fonction BESSELY n'accepte que des x strictement positifs, si bien qu'une cellule vide lue comme zéro ou un signe qui traîne suffit à casser la colonne. Tu veux qu'elle reste lisible quoi qu'on y tape, et que les saisies à reprendre se distinguent des valeurs négatives légitimes, qui sont nombreuses ici.
- 1Dans une cellule, écris
=SIERREUR(. - 2En 1er argument : écris le calcul à surveiller et referme-le,
BESSELY(B2; 0). Il porte tout le travail, la fonction SIERREUR n'intervenant que s'il échoue. Son seul point de rupture estB2, parce que la fonction BESSELY renvoie#NOMBRE!dès que la valeur tombe à zéro ou passe en négatif, alors que l'ordre écrit en dur ne provoque jamais d'erreur. - 3En 2ᵉ argument : saisis le texte qui s'affiche à la place de l'erreur,
"x doit être > 0". Les guillemets sont obligatoires pour qu'Excel traite cette phrase comme du texte et non comme un calcul à évaluer. Un message vaut mieux qu'un zéro sur cette fonction, parce qu'un zéro se confondrait avec une valeur de Y0 parfaitement plausible. - 4Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée. Celle de la fonction BESSELY a déjà été refermée au moment où tu as écrit le calcul à surveiller.
=SIERREUR(BESSELY(B2; 0); "x doit être > 0")2,4 donne 0,5104, 0,5 bascule à -0,4445 et 0,05 plonge à -1,9793. Y0 file vers l'infini négatif à mesure que x s'approche de zéro, mais tant qu'il reste strictement positif la fonction répond. La rupture est nette à 0 exactement, et sur -1 où la fonction sort du domaine réel : sur ces deux lignes seulement, la fonction SIERREUR affiche le message de repli.
Les erreurs fréquentes avec la fonction BESSELY
Deux des soucis viennent du domaine de définition : x qui passe à zéro ou en négatif, et n qui devient négatif, déclenchent tous deux un #NOMBRE!. Le troisième est plus sournois car Excel ne dit rien : tu appliques BESSELY à une géométrie pleine alors qu'elle diverge à l'origine, et ton modèle physique devient faux sans la moindre erreur affichée.
Erreur #NOMBRE! : x nul ou négatif
La fonction de Bessel Y présente une singularité en x=0 : elle tend vers l'infini négatif quand x tend vers 0. Si tu tentes de calculer BESSELY(0; n) ou BESSELY(valeur négative; n), Excel retourne #NOMBRE!.
Solution : Utilise uniquement des valeurs strictement positives pour x. Si ta cellule peut contenir zéro ou des valeurs négatives, protège la formule : =SI(A1>0; BESSELY(A1; n); "Non défini") ou =SIERREUR(BESSELY(A1; n); "Indéfini"). Pour de très petites valeurs, BESSELY(0,001; 0) est calculable.
Confusion entre BESSELY et BESSELJ sur un problème à géométrie pleine
Pour une géométrie pleine sans cavité (tambour plein, disque, fibre optique), la solution physique doit être finie à l'origine. BESSELY diverge en x=0, ce qui la rend physiquement incohérente pour ces géométries.
Solution : Réserve BESSELY aux géométries creuses avec une cavité intérieure (tuyau, guide d'ondes annulaire, cylindre creux). Pour les géométries pleines sans singularité à l'origine, utilise BESSELJ uniquement.
Erreur #NOMBRE! : ordre n négatif
BESSELY n'accepte que des ordres entiers positifs ou nuls. Si tu passes un n négatif, Excel retourne #NOMBRE!.
Solution : Vérifie que n >= 0. Si n peut être un nombre décimal dans ta cellule, tronque-le : =BESSELY(x; ENT(ABS(n))). Les valeurs non entières sont tronquées automatiquement par Excel, mais les valeurs négatives provoquent une erreur.
BESSELY vs BESSELJ vs BESSELI vs BESSELK
Les quatre fonctions de Bessel d'Excel correspondent à quatre familles de solutions des équations différentielles de Bessel. Choisir la bonne dépend du type de problème physique et de la géométrie étudiée.
| Critère | BESSELY | BESSELJ | BESSELI | BESSELK |
|---|---|---|---|---|
| Famille mathématique | Classique 2e espèce Yn(x) | Classique 1ère espèce Jn(x) | Modifiée 1ère espèce In(x) | Modifiée 2e espèce Kn(x) |
| Comportement en x=0 | Singularité (-infini) | Finie (J0=1, Jn>0=0) | Finie (I0=1, In>0=0) | Singularité (+infini) |
| Comportement pour grand x | Oscillations amorties | Oscillations amorties | Croissance exponentielle | Décroissance exponentielle |
| Cas d'usage typique | Cylindre creux, guide d'ondes annulaire | Tambour plein, antenne patch | Diffusion de chaleur, filtres | Champs décroissants à l'infini |
Questions fréquentes
La fonction de Bessel Y, ou fonction de Bessel de deuxième espèce, est une solution de l'équation différentielle de Bessel qui diverge en x=0. Elle apparaît dans les problèmes de physique mathématique à symétrie cylindrique, notamment pour modéliser les vibrations de cylindres creux, les ondes dans les guides circulaires et les phénomènes de diffraction. En pratique, BESSELY est toujours utilisée conjointement avec BESSELJ : la solution générale d'un problème physique est une combinaison linéaire des deux.
BESSELJ calcule la fonction de Bessel de première espèce Jₙ(x), qui est finie partout y compris en x=0. BESSELY calcule la fonction de deuxième espèce Yₙ(x), qui diverge vers l'infini négatif en x=0. Pour une géométrie pleine (disque, tambour, antenne), utilise BESSELJ uniquement car la solution doit rester finie au centre. Pour une géométrie creuse (tuyau, guide d'ondes creux), la solution générale combine BESSELJ et BESSELY pour satisfaire les conditions aux limites aux deux rayons.
La fonction de Bessel Y présente une singularité logarithmique en x=0 : elle tend vers l'infini négatif quand x tend vers 0. Par conséquent, BESSELY(0; n) génère toujours une erreur #NOMBRE!.
Tu dois utiliser des valeurs strictement positives pour x. Pour des valeurs très petites, BESSELY(0,001; 0) est calculable, mais les résultats seront très grands en valeur absolue.
BESSELY est utilisée en ingénierie mécanique (vibrations de cylindres creux et de tuyaux), en acoustique (modes propres de résonateurs annulaires, silencieux, conduits), en électromagnétisme (propagation d'ondes dans les guides d'ondes circulaires creux, fibres optiques annulaires), en thermique (transfert de chaleur dans les échangeurs cylindriques creux) et en optique (diffraction par des obstacles cylindriques).
L'ordre n correspond au mode ou à l'harmonique que tu étudies. n=0 est le mode fondamental avec une symétrie rotationnelle pure, n=1 le premier mode azimutal, n=2 le deuxième, etc. En acoustique, n représente le nombre de variations angulaires du champ dans le résonateur.
Pour la plupart des applications pratiques, les ordres 0, 1 et 2 couvrent la grande majorité des cas utiles. Les ordres supérieurs correspondent à des modes de haute fréquence souvent négligeables.
Pour aller plus loin
Continue sur ta lancée après la fonction BESSELY : la leçon associée, un modèle prêt à l'emploi et le guide pour progresser.
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