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Qu'est-ce que la fonction LOI.STUDENT.N ?

Définition
La fonction LOI.STUDENT.N calcule la probabilité de la distribution de Student à x degrés de liberté donnés. Elle s'utilise pour les tests d'hypothèse sur des moyennes avec de petits échantillons, quand l'écart-type de la population est inconnu.

LOI.STUDENT.N (T.DIST en anglais) te sert quand tu dois juger si un écart observé est réel ou s'il tient simplement au hasard d'un petit échantillon, sans pouvoir te reposer sur la loi normale classique. C'est la fonction que tu sors chaque fois qu'une décision doit s'appuyer sur un chiffre, pas sur une impression.

Ses queues plus épaisses que la loi normale compensent l'incertitude liée aux petits échantillons. Concrètement, c'est elle qui te permet de tester si un nouveau traitement est efficace sur 18 patients, de vérifier si deux lots de production diffèrent vraiment, ou de trancher si un écart de panier moyen en A/B test est réel ou dû au hasard.

Syntaxe

=LOI.STUDENT.N(x; degrés_liberté; cumulative)

Clique sur un argument pour aller à son explication.

Lucas, la mascotte du Dojo, inspecte les arguments de la fonction à la loupe

Comprendre chaque paramètre de la fonction LOI.STUDENT.N

Les trois arguments arrivent toujours dans le même ordre : d'abord ta valeur t (la statistique de test), puis les degrés de liberté, enfin le booléen cumulative. Aucun n'est facultatif, il faut les trois.

C'est ce dernier qui décide de tout : mets VRAI pour la probabilité cumulée P(T <= x), celle qui sert aux p-values et aux intervalles de confiance, et FAUX seulement si tu veux la densité en un point précis.

1

x

: la valeur t (statistique de test) pour laquelle tu calcules la probabilité

Elle peut être positive, négative ou nulle. C'est généralement le résultat de la formule t = (moyenne_observée - moyenne_H0) / (s / RACINE(n)), où s est l'écart-type de l'échantillon et n la taille de l'échantillon.

Une valeur t proche de 0 indique que tes données sont proches de l'hypothèse nulle. Plus |t| est grand, plus tes données s'en écartent.

2

degrés_liberté

: un entier strictement positif qui reflète la quantité d'information disponible dans l'échantillon

En pratique : n-1 pour un test sur une moyenne (où n est la taille de l'échantillon), n1+n2-2 pour un test sur deux moyennes avec variances égales.

Plus les degrés de liberté augmentent, plus la distribution de Student se rapproche de la loi normale standard. À partir de 30 degrés de liberté, la différence est minime.

Attention : Les valeurs décimales sont tronquées automatiquement. Si le résultat est inférieur à 1, Excel renvoie #NOMBRE!. Vérifie donc que tes degrés de liberté sont au moins égaux à 1, ce qui implique n >= 2.

3

cumulative

: vRAI pour obtenir la probabilité cumulée P(T <= x), c'est-à-dire la fonction de répartition

FAUX pour obtenir la densité de probabilité f(x) en ce point.

Dans la quasi-totalité des cas pratiques (calcul de p-value, test d'hypothèse, intervalle de confiance), tu utiliseras VRAI.

Lucas, la mascotte du Dojo, fait une démonstration pas à pas de la fonction dans Excel

Exemples pratiques pas à pas

Exemple 1

Comment calculer la probabilité cumulée d'une statistique t avec la fonction LOI.STUDENT.N

Les dix-huit essais de la campagne ont tous été menés sur le même effectif, donc ils partagent les mêmes 17 degrés de liberté, et chaque essai est arrivé avec sa statistique t déjà calculée. Ce que tu veux au bout de la colonne, c'est la position de chaque t sur la courbe de Student, exprimée en probabilité cumulée. La fonction LOI.STUDENT.N fait cette conversion pour toute la colonne d'un coup.

Les étapes
  1. 1
    Dans une cellule, écris =LOI.STUDENT.N(.
  2. 2
    En 1er argument : clique sur la cellule qui porte la statistique t de l'essai, B2. Elle affiche 3,33 sur la première ligne, et contrairement à la fonction historique LOI.STUDENT, celle-ci accepte aussi bien un t positif qu'un t négatif.
  3. 3
    En 2ᵉ argument : saisis les degrés de liberté, 17. On les tape en dur plutôt que de pointer une cellule, car toute la campagne tourne sur le même effectif et cette valeur ne bouge pas d'une ligne à l'autre. La colonne Ddl du tableau n'est qu'une étiquette de lecture, elle n'entre pas dans le calcul.
  4. 4
    En 3ᵉ argument : saisis VRAI pour demander l'aire cumulée depuis la gauche, c'est-à-dire la probabilité d'obtenir un t inférieur ou égal à celui de la ligne. Ce dernier argument est un booléen et non un nombre de queues, ce qui distingue cette fonction de plusieurs de ses cousines.
  5. 5
    Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
Au final, ta formule devrait ressembler à ça :=LOI.STUDENT.N(B2; 17; VRAI)
Explication
La fonction LOI.STUDENT.N cumule l'aire de la courbe depuis la gauche jusqu'au 3,33, et cette aire couvre 99,8 % du total. C'est bien une probabilité cumulée, pas une p-value : elle dit que 99,8 % des tirages tomberaient sous ce t, donc le complément à 100 % mesure ce qui reste au-delà. Toutes les valeurs de la colonne dépassent 90 % parce que tous les t relevés sont positifs.
Exemple 2

Comment obtenir la densité de la courbe avec la fonction LOI.STUDENT.N

Le comité de lecture veut voir la courbe de Student à 17 degrés de liberté dessinée dans le rapport, et pas seulement les p-values du tableau. Pour tracer une courbe, il te faut la hauteur du trait en chaque point, ce qui n'a rien à voir avec l'aire accumulée sous elle. La fonction LOI.STUDENT.N sait rendre les deux, et c'est son dernier argument qui décide lequel.

Les étapes
  1. 1
    Dans une cellule, écris =LOI.STUDENT.N(.
  2. 2
    En 1er argument : clique sur la cellule du point où tu veux la hauteur de la courbe, B2. Elle vaut 0 sur la première ligne, autrement dit le sommet de la courbe.
  3. 3
    En 2ᵉ argument : clique sur la cellule des degrés de liberté, C2. Elle porte 17, le réglage qui fixe l'aplatissement de la courbe à tracer.
  4. 4
    En 3ᵉ argument : saisis FAUX pour obtenir la densité au point demandé plutôt que l'aire cumulée jusqu'à lui. C'est le seul argument qui sépare une courbe à dessiner d'une probabilité à interpréter.
  5. 5
    Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
Voici la formule que tu obtiens à la fin :=LOI.STUDENT.N(B2; C2; FAUX)
Explication
Avec FAUX, la fonction LOI.STUDENT.N ne cumule plus rien : elle donne la hauteur de la courbe au point demandé. Le sommet culmine à 0,3931 en t = 0, puis la hauteur s'effondre à 0,0086 en t = 3, soit plus de quarante-cinq fois moins. Cette hauteur n'est pas une probabilité et ne se compare à aucun seuil, elle sert à tracer la courbe.
Exemple 3

Comment déduire la p-value à droite de la fonction LOI.STUDENT.N

Le tableau des probabilités cumulées est illisible pour le comité : tout le monde compare des 99,8 % et des 95,1 % sans savoir où placer la barre. Ce qu'on attend d'un essai, c'est une p-value à comparer au seuil de 5 %, donc l'aire qui reste au-delà du t observé. La fonction LOI.STUDENT.N donne l'aire de gauche, et un simple complément à 1 la retourne.

Les étapes
  1. 1
    Dans une cellule, écris =1-LOI.STUDENT.N(. Le 1- placé devant retranche l'aire de gauche que la fonction va calculer, et comme l'aire totale sous la courbe vaut 1, ce qui reste est exactement l'aire de droite, la p-value qui t'intéresse.
  2. 2
    En 1er argument : clique sur la cellule de la statistique t, B2, soit 3,33 pour le premier essai. C'est la borne à partir de laquelle tu comptes ce qui reste à droite.
  3. 3
    En 2ᵉ argument : clique sur la cellule des degrés de liberté, C2, soit 17 pour cet essai.
  4. 4
    En 3ᵉ argument : saisis VRAI pour que le complément porte sur une aire cumulée. Avec FAUX, tu retrancherais une hauteur de courbe à 1, ce qui ne voudrait rien dire.
  5. 5
    Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
Une fois les morceaux assemblés, ta formule donne ça :=1-LOI.STUDENT.N(B2; C2; VRAI)
Explication
Puisque la fonction LOI.STUDENT.N cumule tout ce qui se trouve à gauche du t, ce qui reste à droite vaut le complément à 1. Le premier essai passe de 99,8 % cumulés à 0,2 % de p-value, et le troisième révèle son intérêt : à 4,9 % il passe tout juste sous le seuil de 5 %, ce que la probabilité cumulée de 95,1 % ne laissait pas voir d'un coup d'oeil.
Lucas, la mascotte du Dojo, l'air gêné face à une erreur Excel

Les erreurs fréquentes avec la fonction LOI.STUDENT.N

Ici les soucis viennent rarement de la formule elle-même, plutôt de ce que tu lui donnes ou de la conclusion que tu en tires. Le #NOMBRE! est le plus visible : il tombe dès que tes degrés de liberté descendent sous 1, donc avec un échantillon de moins de deux observations.

Les deux autres pièges sont silencieux et bien plus traîtres : oublier que la fonction ne renvoie qu'une seule queue (P(T <= x)) et lire une p-value unilatérale comme si elle était bilatérale, ou appliquer le test t à des données trop peu nombreuses et trop asymétriques pour que l'hypothèse de normalité tienne.

Erreur #NOMBRE! sur les degrés de liberté

Cette erreur survient lorsque degrés_liberté est inférieur à 1. Les degrés de liberté doivent être un entier strictement positif. Les valeurs décimales sont tronquées automatiquement par Excel.

Solution : Vérifie que ddl = n-1 >= 1, donc que n >= 2. Pour un test sur deux moyennes, assure-toi que ddl = n1+n2-2 >= 1. Si ta cellule contient une formule qui calcule les degrés de liberté, vérifie qu'elle ne renvoie pas zéro.

Confusion entre test unilatéral et bilatéral

LOI.STUDENT.N donne P(T <= x), une seule queue de la distribution. Pour un test bilatéral, il faut doubler la probabilité de la queue extrême ou utiliser LOI.STUDENT.BILATERALE.

Solution : Pour un test bilatéral, utilise =2*MIN(LOI.STUDENT.N(t;ddl;VRAI); 1-LOI.STUDENT.N(t;ddl;VRAI)) ou plus directement =LOI.STUDENT.BILATERALE(ABS(t);ddl). Pour un test unilatéral à droite (H1 : mu > mu0), utilise =1-LOI.STUDENT.N(t;ddl;VRAI).

L'hypothèse de normalité est violée

Le test t suppose que tes données suivent approximativement une distribution normale. Pour de très petits échantillons (n < 15) ou des distributions très asymétriques, cette hypothèse peut être violée et le test t devient moins fiable.

Solution : Pour n > 30, le test est robuste grâce au théorème central limite. Pour n < 15 avec des données très asymétriques, envisage des tests non paramétriques comme Wilcoxon ou Mann-Whitney. Tu peux d'abord visualiser la distribution de tes données avec un histogramme.

FAQ

Questions fréquentes

Tu utilises Student quand deux conditions sont réunies : ton échantillon est petit (n < 30) ET tu estimes l'écart-type à partir de l'échantillon (tu ne connais pas le vrai écart-type de la population). La distribution de Student a des queues plus épaisses pour compenser l'incertitude sur l'écart-type estimé. Pour les grands échantillons (n >= 30), les résultats de Student et de la normale sont quasi-identiques. Utiliser Student même avec de grands échantillons ne pose aucun problème et est plus rigoureux.

Ressources

Pour aller plus loin

Continue sur ta lancée après la fonction LOI.STUDENT.N : la leçon associée, un modèle prêt à l'emploi et le guide pour progresser.

Tout voir
La leçon

Les formules de base dans Excel

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Lucas, la mascotte du Dojo, présente la leçon Excel associée
Le guide

Le guide complet pour bien démarrer sur Excel

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Lucas, la mascotte du Dojo, décolle en fusée pour progresser sur Excel
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