Fonction LOI.STUDENT.N ExcelDistribution de Student - Guide Complet 2026
La fonction LOI.STUDENT.N d'Excel calcule la distribution de Student (ou distribution t), fondamentale pour les tests d'hypothese et intervalles de confiance lorsque ton echantillon est petit et que tu ne connais pas l'ecart-type de la population. C'est la distribution de reference pour les analyses statistiques en entreprise, recherche clinique et controle qualite.
Developpee par William Gosset (pseudonyme "Student") en 1908 pour la brasserie Guinness, la distribution t resout un probleme pratique majeur : comment faire des inferences statistiques quand tu ne connais pas l'ecart-type reel de la population et que tu dois l'estimer a partir d'un petit echantillon. Les queues plus epaisses de Student compensent cette incertitude supplementaire.
Dans ce guide, tu vas maitriser LOI.STUDENT.N avec des exemples concrets d'essais cliniques, de controle qualite en production, et d'analyse A/B en marketing. Tu apprendras a calculer les p-values, construire des intervalles de confiance, et interpreter correctement les resultats de tests t.
Syntaxe de LOI.STUDENT.N
x
(obligatoire)degres_liberte
(obligatoire)cumulative
(obligatoire)x
(obligatoire)La valeur t pour laquelle tu calcules la probabilite. Peut etre positive, negative ou nulle. Represente typiquement ta statistique de test t = (moyenne_obs - moyenne_H0) / (s/racine(n)).
degres_liberte
(obligatoire)Entier strictement positif, generalement n-1 pour un test sur une moyenne, ou n1+n2-2 pour un test sur deux moyennes avec variances egales. Plus les ddl sont eleves, plus la distribution se rapproche de la normale.
cumulative
(obligatoire)VRAI pour P(T <= x), la fonction de repartition. FAUX pour la densite de probabilite f(x). Tu utiliseras VRAI pour calculer les p-values dans tes tests statistiques.
Comprendre la distribution de Student
La distribution de Student est symetrique autour de 0, comme la normale, mais avec des queues plus epaisses. Ses proprietes principales sont : moyenne = 0 pour ddl > 1, et variance = ddl/(ddl-2) pour ddl > 2. La variance est superieure a 1 et diminue vers 1 quand ddl augmente.
Le test t classique utilise la statistique t = (moyenne_echantillon - moyenne_H0) / (s/racine(n)), qui suit une distribution de Student a n-1 ddl sous H0. Plus |t| est grand, plus tes donnees s'ecartent de H0. La p-value mesure la probabilite d'obtenir un t aussi extreme si H0 est vraie.
Valeurs critiques t de reference
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | DDL | t (90%) | t (95%) | t (97.5%) | t (99%) |
| 2 | 5 | 1.476 | 2.015 | 2.571 | 3.365 |
| 3 | 10 | 1.372 | 1.812 | 2.228 | 2.764 |
| 4 | 20 | 1.325 | 1.725 | 2.086 | 2.528 |
| 5 | 30 | 1.310 | 1.697 | 2.042 | 2.457 |
| 6 | infini | 1.282 | 1.645 | 1.960 | 2.326 |
La colonne 97.5% correspond au quantile pour un IC ou test bilateral a 95% (2.5% dans chaque queue). Note la convergence vers la normale (infini = z) quand ddl augmente.
Cas pratique 1 : Test t sur une moyenne (essai clinique)
Tu es biostatisticien dans un laboratoire pharmaceutique. Tu testes un nouveau traitement cense ameliorer un score fonctionnel de 10 points (effet minimal cliniquement pertinent). Sur 18 patients traites, l'amelioration moyenne observee est de 12.4 points avec un ecart-type de 3.2. Le traitement est-il efficace ?
Le test t sur une moyenne compare l'amelioration observee a l'amelioration minimale attendue. L'hypothese nulle H0 : mu = 10 (le traitement n'est pas meilleur que le seuil minimal). La statistique t mesure combien d'erreurs standards separent ta moyenne observee de l'hypothese.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Parametre | n | Valeur/Formule | Resultat |
| 2 | Groupe traitement | 18 | 12.4 | 3.2 |
| 3 | Amelioration attendue (H0) | 10 | Hypothese nulle | |
| 4 | t calcule | =(12,4-10)/(3,2/RACINE(18)) | =3.18 | |
| 5 | DDL | =18-1 | =17 | |
| 6 | p-value (bilateral) | =2*(1-LOI.STUDENT.N(3,18;17;VRAI)) | =0.0055 | Significatif |
| 7 | IC 95% marge | =LOI.STUDENT.INVERSE.N(0,975;17)*3,2/RACINE(18) | =+/-1.59 | |
| 8 | IC 95% | [10.81 ; 13.99] | Ne contient pas 10 |
Conclusion clinique : Avec t = 3.18 et p-value = 0.0055, tres inferieure a 0.05, tu rejettes H0. Le traitement produit une amelioration significativement superieure au seuil minimal de 10 points. L'IC 95% [10.81; 13.99] ne contient pas 10, confirmant le resultat.
Cas pratique 2 : Test t sur deux moyennes (controle qualite)
Tu es responsable qualite dans une usine. Tu veux verifier si le poids moyen des produits differe entre les lots du matin et de l'apres-midi. Une difference significative indiquerait un probleme de calibration ou de processus a investiguer.
Tu supposes des variances egales entre les deux lots (hypothese d'homoscedasticite), ce qui te permet de calculer un ecart-type poole combinant les informations des deux echantillons. La statistique t suit alors une distribution de Student a n1+n2-2 degres de liberte.
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Lot/Calcul | n | Moyenne/Formule | Ecart-type/Resultat | t-test |
| 2 | Lot A - Matin | 12 | 502.3g | 8.5g | |
| 3 | Lot B - Apres-midi | 15 | 498.1g | 9.2g | |
| 4 | Ecart-type poole | =RACINE(((11*8,5^2)+(14*9,2^2))/(12+15-2)) | =8.90g | ||
| 5 | t calcule | =(502,3-498,1)/(8,90*RACINE(1/12+1/15)) | =1.21 | ||
| 6 | DDL | =12+15-2 | =25 | ||
| 7 | p-value | =2*(1-LOI.STUDENT.N(1,21;25;VRAI)) | =0.238 | Non significatif |
Conclusion qualite : Avec t = 1.21 et p-value = 0.238 > 0.05, tu ne peux pas rejeter H0. La difference de 4.2g entre matin et apres-midi n'est pas statistiquement significative. Le processus est stable, pas besoin de recalibration entre les equipes.
Cas pratique 3 : Test A/B sur panier moyen (marketing)
Tu es data analyst e-commerce. Tu testes une nouvelle page produit (version B) contre l'actuelle (version A). Apres une semaine, tu as collecte 25 commandes par version. La version B genere un panier moyen de 89.20 EUR contre 78.50 EUR pour A (+13.6%). Cette difference est-elle reelle ou due au hasard ?
Le test t pour deux echantillons independants te permet de trancher objectivement. Attention : avec de petits echantillons, le test peut manquer de puissance pour detecter des effets reels mais moderes. L'analyse de puissance t'aide a dimensionner correctement tes futurs tests.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Version/Calcul | Panier moyen | Ecart-type/Formule | Statistique |
| 2 | Version A (n=25) | 78.50 EUR | 22.30 EUR | |
| 3 | Version B (n=25) | 89.20 EUR | 25.10 EUR | |
| 4 | Difference observee | +10.70 EUR | +13.6% | |
| 5 | Ecart-type poole | =RACINE((24*22,3^2+24*25,1^2)/48) | =23.73 EUR | |
| 6 | t calcule | =(89,2-78,5)/(23,73*RACINE(2/25)) | =1.596 | |
| 7 | DDL | =25+25-2 | =48 | |
| 8 | p-value (bilateral) | =2*(1-LOI.STUDENT.N(1,596;48;VRAI)) | =0.117 | Non significatif a 5% |
| 9 | Puissance | Echantillon trop petit | Besoin n~60/groupe | pour detecter +10 EUR |
Analyse marketing : Avec t = 1.596 et p-value = 0.117 > 0.05, la difference n'est pas significative au seuil 5%. MAIS ton echantillon est petit : pour detecter une difference de 10 EUR avec 80% de puissance, il te faudrait environ 60 commandes par version. Ton test manque de puissance, il est premature de conclure.
Erreurs courantes et solutions
#NOMBRE! - Degres de liberte invalides
Cette erreur survient lorsque degres_liberte < 1. Les ddl doivent etre un entier strictement positif. Les valeurs decimales sont tronquees automatiquement.
Solution : Verifie que ddl = n-1 >= 1, donc n >= 2. Pour un test sur deux moyennes, ddl = n1+n2-2 >= 1.
Confusion entre tests unilateral et bilateral
LOI.STUDENT.N donne P(T <= x), une seule queue. Pour un test bilateral, il faut doubler la probabilite de la queue extreme ou utiliser LOI.STUDENT.BILATERALE.
Solution : Test bilateral : p = 2*MIN(LOI.STUDENT.N(t;ddl;VRAI); 1-LOI.STUDENT.N(t;ddl;VRAI))
Hypothese de normalite violee
Le test t suppose que tes donnees suivent une distribution normale. Pour de tres petits echantillons ou des distributions tres asymetriques, cette hypothese peut etre violee.
Solution : Pour n > 30, le test est robuste grace au theoreme central limite. Pour n < 15 avec donnees asymetriques, envisage des tests non parametriques (Wilcoxon, Mann-Whitney).
FAQ
Quand dois-je utiliser la distribution de Student plutot que la normale ?
Tu utilises Student quand deux conditions sont reunies : ton echantillon est petit (n < 30) ET tu estimes l'ecart-type a partir de l'echantillon (tu ne connais pas le vrai ecart-type de la population). La distribution de Student a des queues plus epaisses pour compenser l'incertitude sur l'ecart-type estime. Pour les grands echantillons (n >= 30), les resultats de Student et de la normale sont quasi-identiques.
Comment calculer la p-value d'un test t dans Excel ?
Pour un test bilateral : p-value = 2 x MIN(LOI.STUDENT.N(t;ddl;VRAI); 1-LOI.STUDENT.N(t;ddl;VRAI)) ou plus directement LOI.STUDENT.BILATERALE(ABS(t);ddl). Pour un test unilateral a droite (H1: mu > mu0) : p = 1-LOI.STUDENT.N(t;ddl;VRAI). Pour un test unilateral a gauche (H1: mu < mu0) : p = LOI.STUDENT.N(t;ddl;VRAI).
Pourquoi la distribution de Student a-t-elle des queues plus epaisses que la normale ?
L'incertitude supplementaire vient de l'estimation de l'ecart-type par l'echantillon. Avec peu de donnees, ton estimation de s peut etre tres eloignee du vrai sigma. Cette variabilite augmente la probabilite de valeurs t extremes. Plus les degres de liberte augmentent, plus l'estimation devient fiable et les queues se rapprochent de la normale.
Quelle est la difference entre LOI.STUDENT.N et LOI.STUDENT.BILATERALE ?
LOI.STUDENT.N(x;ddl;VRAI) te donne P(T <= x), la probabilite cumulative jusqu'a x (queue gauche seule). LOI.STUDENT.BILATERALE(x;ddl) te donne P(|T| > x), soit la probabilite des deux queues combinees au-dela de plus ou moins x. Pour les tests d'hypothese bilateraux, LOI.STUDENT.BILATERALE est plus directe car elle donne la p-value sans calcul supplementaire.
A partir de combien de degres de liberte puis-je utiliser la normale ?
Regle pratique : a 30 ddl (donc n=31 pour un test sur une moyenne), la difference entre Student et normale est minime (moins de 1% sur les valeurs critiques). A 120 ddl, elle est negligeable. Cependant, utiliser Student meme avec de grands echantillons ne pose aucun probleme et est plus rigoureux. Excel converge automatiquement vers la normale pour les tres grands ddl.
Fonctions similaires
LOI.STUDENT.INVERSE.N
Inverse de LOI.STUDENT.N pour trouver les valeurs critiques t.
LOI.STUDENT.BILATERALE
P-value bilaterale directement, ideal pour tes tests.
TEST.STUDENT
Effectue directement un test t sur deux plages de donnees.
LOI.NORMALE.STANDARD.N
Distribution normale N(0,1), limite de Student quand ddl tend vers l'infini.
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