Qu'est-ce que la fonction LOI.
LOI.STUDENT.INVERSE.N (T.INV en anglais) est celle que tu sors dès que tu dois construire un intervalle de confiance ou un test t à la main : plutôt que de fouiller une table papier avec ses degrés de liberté approximatifs, tu obtiens directement la valeur t exacte pour ton échantillon, aussi petit soit-il.
Contrairement à la loi normale qui suppose un écart-type connu, la loi de Student tient compte de l'incertitude liée à l'estimation de l'écart-type à partir de ton échantillon. Cette correction est cruciale quand tu travailles avec des données limitées : avec moins de 30 observations, les valeurs critiques de Student sont significativement plus élevées que celles de la normale, ce qui produit des intervalles de confiance plus larges mais plus honnêtes.
Syntaxe
=LOI.STUDENT.INVERSE.N(probabilite; degres_liberte)Clique sur un argument pour aller à son explication.
Comprendre chaque paramètre de la fonction LOI.STUDENT.INVERSE.N
Les deux arguments se suivent dans un ordre fixe et sont tous les deux obligatoires : d'abord la probabilité cumulée que tu vises, ensuite les degrés de liberté de ton échantillon. La probabilité n'est pas ton niveau de confiance brut : pour un intervalle bilatéral à 95 %, tu passes 0,975, pas 0,95.
Le second argument est celui qui te jouera des tours, car sa valeur change selon ton test : n - 1 pour une moyenne, n1 + n2 - 2 pour comparer deux groupes.
probabilite
: la probabilité cumulée P(T <= t) pour laquelle tu cherches la valeur tDoit être strictement comprise entre 0 et 1 (les bornes exclues).
Pour un intervalle de confiance bilatéral à 95 %, utilise 0,975 (ce qui laisse 2,5 % dans chaque queue). Pour un test unilatéral à 5 %, utilise 0,95. Si tu passes 0 ou 1, Excel renvoie l'erreur #NOMBRE!.
degres_liberte
: le nombre de degrés de liberté de la distribution de StudentDoit être supérieur ou égal à 1. Plus les degrés de liberté sont élevés, plus la distribution se rapproche de la loi normale standard.
Le calcul dépend du contexte : pour un test t sur une seule moyenne avec n observations, ddl = n - 1. Pour un test comparant deux moyennes indépendantes de tailles n1 et n2 (variances supposées égales), ddl = n1 + n2 - 2. Pour une régression linéaire simple, ddl = n - 2.
Attention : Les degrés de liberté dépendent du contexte statistique. Utiliser n - 1 systématiquement est faux pour un test à deux échantillons : tu dois calculer n1 + n2 - 2. Un mauvais ddl donne des valeurs critiques incorrectes et des conclusions erronées.
Exemples pratiques pas à pas
Comment trouver le t d'une probabilité cumulée avec la fonction LOI.STUDENT.INVERSE.N
Les dix-huit lignes du protocole partagent le même effectif, donc les mêmes 11 degrés de liberté, mais chacune interroge la courbe à une hauteur différente : certaines cherchent une borne basse, d'autres une borne haute, d'autres la médiane. Ce qu'il faut en face, c'est le point de l'axe qui correspond à chaque proportion cumulée. La fonction LOI.STUDENT.INVERSE.N fait cette lecture inverse de la courbe.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.STUDENT.INVERSE.N(. - 2En 1er argument : clique sur la cellule de la probabilité cumulée,
B2, ici0,70. Ce nombre n'est pas un risque alpha mais la proportion cumulée depuis la gauche, si bien que0,70désigne le point sous lequel se trouvent 70 % des tirages. - 3En 2ᵉ argument : saisis
11directement, sans pointer de cellule, puisque tout le protocole tourne sur le même effectif. La colonneDdldu tableau ne sert que de rappel visuel et n'entre pas dans le calcul. - 4Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
=LOI.STUDENT.INVERSE.N(B2; 11)0,70 place ce point à 0,5399, et la colonne bascule dans le négatif dès qu'on descend sous 0,50, comme la ligne à 0,05 qui rend -1,7959. C'est la seule de la famille à rendre un t signé.
Attention : Sur la vidéo, la colonne Probabilité est affichée avec deux décimales : la seizième ligne montre donc 0,98 alors que la valeur saisie est 0,975, ce qui explique son t critique de 2,2010. C'est un effet du format d'affichage, la formule utilise bien la valeur exacte.
Comment obtenir un t critique négatif avec la fonction LOI.STUDENT.INVERSE.N
Pour encadrer un effet, il te faut deux bornes et non une seule : celle sous laquelle l'effet serait anormalement faible, et celle au-dessus de laquelle il serait anormalement fort. Beaucoup s'arrêtent à la borne haute et recopient sa valeur avec un signe moins devant, en espérant que ça marche. Autant demander les deux à la fonction LOI.STUDENT.INVERSE.N et vérifier ce qu'elle rend.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.STUDENT.INVERSE.N(. - 2En 1er argument : clique sur la cellule de la probabilité,
B2, ici0,05pour la borne basse. Tu demandes le point sous lequel ne tombent que5 %des tirages, forcément à gauche de la moyenne et donc dans le négatif. Recopiée avec0,95sur la ligne du dessous, la même formule bascule à+1,7959. - 3En 2ᵉ argument : clique sur la cellule des degrés de liberté,
C2, soit11ici. Les deux bornes doivent se lire sur une seule et même courbe pour encadrer le même effet. - 4Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
=LOI.STUDENT.INVERSE.N(B2; C2)-1,7959 pour 0,05 et +1,7959 pour 0,95, au chiffre près. La courbe de Student étant symétrique autour de zéro, la probabilité 0,50 rend d'ailleurs 0,0000 pile. Le signe n'est donc pas une décoration, c'est lui qui te dit de quel côté de la moyenne tu poses ta borne.
Comment obtenir un t critique bilatéral avec la fonction LOI.STUDENT.INVERSE.N
Les seuils de la littérature s'écrivent en risque total, 5 % ou 1 %, alors que cette fonction attend une probabilité cumulée. Passer l'un pour l'autre est l'erreur qui coûte le plus cher ici, parce qu'elle ne déclenche aucun message : tu récupères un nombre parfaitement plausible mais qui ne correspond pas à ton seuil. La conversion tient en une opération à poser une fois pour toutes.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.STUDENT.INVERSE.N(. - 2En 1er argument : écris
1-B2/2pour convertir ton alpha en probabilité cumulée. Le risque total de0,05se partage d'abord en0,025par queue, puis1moins cette part donne0,975. C'est cette proportion cumulée jusqu'à la borne haute que la fonction sait lire, alors que0,05passé tel quel rendrait-1,7959, un seuil négatif inexploitable. - 3En 2ᵉ argument : clique sur la cellule des degrés de liberté,
C2, soit11ici. Le t critique obtenu se compare ensuite à la valeur absolue de ton t observé, puisqu'il ne marque que la borne haute d'un encadrement symétrique. - 4Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
=LOI.STUDENT.INVERSE.N(1-B2/2; C2)1-B2/2 transforme un risque total de 0,05 en probabilité cumulée de 0,975, et la fonction LOI.STUDENT.INVERSE.N rend alors 2,2010. Le piège est visible sur la troisième ligne : un alpha de 0,10 donne 1,7959, exactement ce qu'un alpha de 0,05 mal converti aurait produit. Passer 0,05 directement rendrait -1,7959, un seuil négatif dont personne ne saurait quoi faire.
Tableau des valeurs t critiques courantes
Voici les valeurs t critiques les plus utilisées pour les intervalles de confiance bilatéraux. Elles s'obtiennent par =LOI.STUDENT.INVERSE.N(0,95; ddl), =LOI.STUDENT.INVERSE.N(0,975; ddl) et =LOI.STUDENT.INVERSE.N(0,995; ddl) respectivement.
Ddl = 5 : t(90 %) = 2,015 / t(95 %) = 2,571 / t(99 %) = 4,032 (n = 6) Ddl = 10 : t(90 %) = 1,812 / t(95 %) = 2,228 / t(99 %) = 3,169 (n = 11) Ddl = 20 : t(90 %) = 1,725 / t(95 %) = 2,086 / t(99 %) = 2,845 (n = 21) Ddl = 30 : t(90 %) = 1,697 / t(95 %) = 2,042 / t(99 %) = 2,750 (n = 31) Ddl infini (z) : 1,645 / 1,960 / 2,576 (loi normale)
Remarque la convergence vers la loi normale quand les degrés de liberté augmentent. Avec ddl > 30, la différence avec la normale est déjà très faible.
Les erreurs fréquentes avec la fonction LOI.STUDENT.INVERSE.N
Tout part presque toujours des deux valeurs que tu glisses dans la fonction. Sors la probabilité de l'intervalle ]0 ; 1[ (en tapant 1 ou 0 directement) et tu récoltes un #NOMBRE! sec, même chose si tes degrés de liberté tombent à zéro parce que n - 1 vaut 0 avec un seul individu.
Les deux autres pièges ne déclenchent aucune alerte d'Excel mais faussent ta conclusion : confondre 0,95 (unilatéral) et 0,975 (bilatéral), et appliquer n - 1 à un test à deux échantillons qui réclame n1 + n2 - 2.
Erreur #NOMBRE! sur la probabilité
La fonction ne peut pas calculer une valeur t si probabilite est inférieure ou égale à 0, ou supérieure ou égale à 1. Les bornes exactes 0 et 1 sont exclues. =LOI.STUDENT.INVERSE.N(1; 10) retourne #NOMBRE!.
Solution : Vérifie que ta probabilité est strictement entre 0 et 1. Pour un IC à 95 % bilatéral, utilise 0,975, jamais 1 ou 0,95 comme limite.
Erreur #NOMBRE! sur les degrés de liberté
Les degrés de liberté doivent être supérieurs ou égaux à 1. Passer 0 ou une valeur négative génère #NOMBRE!. Une cellule calculée comme =n-1 peut valoir 0 si n = 1 (un seul individu).
Solution : Ajoute une vérification avant d'appeler la fonction : =SI(A1>1; LOI.STUDENT.INVERSE.N(0,975; A1-1); "Échantillon trop petit") pour éviter l'erreur quand la taille d'échantillon est insuffisante.
Confusion entre test unilatéral et bilatéral
Utiliser 0,95 pour un IC bilatéral à 95 % est une erreur fréquente. Avec 0,95, tu obtiens la valeur critique pour un test unilatéral à 5 %, pas pour un bilatéral. Pour bilatéral, tu dois répartir l'erreur dans deux queues à 2,5 % chacune.
Solution : Retiens la règle : IC bilatéral à 95 % → =LOI.STUDENT.INVERSE.N(0,975; ddl). IC bilatéral à 99 % → =LOI.STUDENT.INVERSE.N(0,995; ddl). Test unilatéral à 5 % → =LOI.STUDENT.INVERSE.N(0,95; ddl).
Mauvais calcul des degrés de liberté
Utiliser systématiquement n - 1 quelle que soit la situation donne des valeurs critiques incorrectes. Pour deux échantillons indépendants, les ddl sont n1 + n2 - 2 (variances égales), ou la formule de Welch (variances inégales). Pour une régression, n - 2.
Solution : Identifie toujours le type de test avant de calculer les ddl : un seul échantillon → n - 1 ; deux échantillons indépendants → n1 + n2 - 2 ; régression → n - 2. Vérifie également si les variances sont comparables avant de choisir la formule poolée.
Questions fréquentes
La différence fondamentale est que la loi de Student prend en compte l'incertitude supplémentaire liée à l'estimation de l'écart-type à partir d'un échantillon. Avec peu d'observations, l'écart-type estimé est moins fiable, donc la loi de Student a des queues plus épaisses, produisant des valeurs critiques plus élevées. Par exemple, pour un IC à 95 % bilatéral avec 10 observations (9 ddl), t = 2,262 contre z = 1,96 pour la normale. Quand les degrés de liberté augmentent (généralement au-delà de 30), Student converge vers la normale.
Les degrés de liberté représentent le nombre d'observations indépendantes moins le nombre de paramètres estimés. Pour un test t sur une moyenne avec n observations, ddl = n - 1, car tu estimes un paramètre (la moyenne). Pour un test t comparant deux moyennes indépendantes de tailles n1 et n2 avec variances supposées égales, ddl = n1 + n2 - 2. Pour une régression linéaire simple, ddl = n - 2.
Le choix dépend de ton hypothèse alternative. Si tu veux détecter une différence dans une direction précise ("le nouveau traitement est meilleur"), utilise un test unilatéral : =LOI.STUDENT.INVERSE.N(0,95; ddl) pour le seuil de 5 %.
Si tu veux détecter une différence dans n'importe quelle direction, utilise un test bilatéral : tu répartis l'erreur dans les deux queues (2,5 % chaque), donc =LOI.STUDENT.INVERSE.N(0,975; ddl).
Cela reflète l'incertitude supplémentaire due à l'estimation de l'écart-type. Quand tu as peu d'observations, ton estimation de s peut être très éloignée du vrai sigma. Pour compenser cette imprécision, les intervalles de confiance doivent être plus larges et les seuils de rejet plus stricts. Avec 5 observations (4 ddl), t à 95 % bilatéral = 2,776 contre 1,96 pour la normale. C'est une protection contre les conclusions hâtives.
La formule de l'IC pour une moyenne est : IC = [moyenne - t × (s / RACINE(n)) ; moyenne + t × (s / RACINE(n))], où t est la valeur critique obtenue par =LOI.STUDENT.INVERSE.N(0,975; n-1) pour un IC à 95 % bilatéral.
Par exemple, avec n = 15, moyenne = 42 et s = 8 : t = 2,145, erreur standard = 8 / RACINE(15) = 2,066, marge = 4,43, IC = [37,57 ; 46,43].
Pour aller plus loin
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