Qu'est-ce que la fonction SOMME.
SOMME.SERIES te sert quand ton calcul empile plusieurs termes construits sur des puissances croissantes d'une même valeur, ce qu'une formule SOMME ou SOMMEPROD classique ne sait pas exprimer sans une colonne intermédiaire par puissance. C'est la fonction à sortir dès que tu dois évaluer un polynôme entier en une seule ligne plutôt que de construire chaque terme à la main.
C'est la fonction de référence pour les développements en série de Taylor, les valeurs actualisées de flux financiers, ou toute modélisation qui implique des puissances croissantes d'une même valeur de base. Elle n'existe que dans Excel, pas dans Google Sheets.
Syntaxe
=SOMME.SERIES(x; n; m; coefficients)Clique sur un argument pour aller à son explication.
SOMME.SERIES est une fonction Excel uniquement. Elle n'existe pas dans Google Sheets. Pour recréer la logique sur Google Sheets, utilise une combinaison de SOMMEPROD et PUISSANCE.
Comprendre chaque paramètre de la fonction SOMME.SERIES
Les quatre arguments suivent un ordre figé et aucun n'est facultatif : d'abord x la valeur de base, puis n la puissance de départ, ensuite m le pas entre deux termes, et enfin la plage des coefficients. C'est le trio n, m et l'ordre des coefficients qui décide quelle puissance porte quel coefficient, donc le premier coefficient de ta plage tombe toujours sur x^n.
x
: la valeur de base qui sera élevée à différentes puissancesEn finance, c'est souvent un facteur d'actualisation (1+taux). En mathématiques, c'est la variable de ta série. x peut être positif, négatif ou décimal.
Si x est stocké dans une cellule, tu peux facilement tester différentes valeurs sans modifier la formule, ce qui est très pratique pour les analyses de sensibilité.
n
: la puissance initiale à laquelle x sera élevé pour le premier termeLe premier coefficient sera multiplié par x^n. Si n = 0, le premier terme commence par x^0 = 1. Si n est négatif, tu travailles avec des puissances inverses (1/x, 1/x², etc.).
En finance, on utilise souvent n = 1 pour commencer directement avec x^1. Pour des séries de Taylor classiques, n = 0 est plus courant.
m
: l'incrément de puissance entre chaque termeLe deuxième coefficient multiplie x^(n+m), le troisième multiplie x^(n+2m), etc. Si m = 1, les puissances sont consécutives (x^1, x^2, x^3...). Si m = 2, elles sautent une étape (x^1, x^3, x^5...).
m peut être négatif. Avec m = -1, les puissances diminuent (x^2, x^1, x^0, x^-1...). C'est utile pour certaines séries mathématiques spécialisées.
coefficients
: une plage de cellules contenant les coefficients de ta sérieLe nombre de coefficients détermine le nombre de termes dans la série. Chaque coefficient multiplie la puissance correspondante de x : le premier coefficient multiplie x^n, le deuxième x^(n+m), et ainsi de suite.
L'ordre des coefficients dans la plage est crucial : le premier coefficient de la plage correspond toujours au premier terme (x^n).
Attention : Les coefficients doivent être dans une plage contiguë (comme A1:A5). Les cellules vides sont considérées comme zéro. Vérifie bien que ta plage contient toutes les valeurs nécessaires et dans le bon ordre.
Exemples pratiques pas à pas
Comment additionner une série de puissances pondérées avec la fonction SOMME.SERIES
Une série de dix-huit termes doit être évaluée d'un seul calcul, chaque terme pesant un peu plus que le précédent selon une puissance croissante du même facteur 1,05. La colonne B contient les flux qui servent de coefficients, du plus gros au plus petit, et l'objectif est d'obtenir le total pondéré sans monter une colonne intermédiaire par puissance. La fonction SOMME.SERIES fait exactement ce travail : elle évalue un polynôme dont tu fournis la base, le rang de départ, le pas et les coefficients.
- 1Dans une cellule, écris
=SOMME.SERIES(. - 2En 1er argument : saisis la base commune que la fonction élève à des puissances successives,
1,05. C'est la valeur qui pondère les termes les uns par rapport aux autres. - 3En 2ᵉ argument : saisis la puissance de départ,
1. Le premier coefficient de la plage est donc multiplié par1,05¹et non par1,05⁰, si bien que la série démarre au rang 1. - 4En 3ᵉ argument : saisis le pas entre deux puissances,
1. Chaque terme monte alors d'une puissance par rapport au précédent, ce qui donne des exposants qui se suivent,1,2,3, jusqu'à18. - 5En 4ᵉ argument : sélectionne les dix-huit flux qui servent de coefficients,
B2:B19. Leur ordre décide de tout, puisque le premier de la plage prend l'exposant le plus bas et le dernier l'exposant le plus haut. - 6Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
=SOMME.SERIES(1,05; 1; 1; B2:B19)1,05, le deuxième par 1,05², et ainsi de suite jusqu'au dix-huitième multiplié par 1,05¹⁸. Le total 15069,85 dépasse largement la somme brute des flux, qui vaut 10 350 €, et c'est logique puisque chaque pondération est supérieure à 1 et grandit à chaque rang.
Comment approcher une exponentielle par un développement en série avec la fonction SOMME.SERIES
Le développement en série de l'exponentielle est le cas d'école de cette fonction : e^x s'approche en additionnant x⁰/0!, x¹/1!, x²/2! et les termes suivants, chacun corrigeant un peu le précédent. La colonne B contient ces coefficients 1/k! pour les six premiers rangs, et l'objectif est d'évaluer la série en x = 0,5 puis de mesurer ce qu'elle vaut face à la vraie valeur. La fonction SOMME.SERIES additionne les six termes sans qu'aucune puissance ne soit écrite à la main.
- 1Dans une cellule, écris
=SOMME.SERIES(. - 2En 1er argument : saisis le point où tu évalues la série,
0,5. Le mettre dans une cellule plutôt qu'en dur te permettrait de rejouer le calcul en un autre point sans retoucher la formule. - 3En 2ᵉ argument : saisis la puissance de départ,
0cette fois. Le développement commence par un terme constant, et seulx⁰, qui vaut1, permet au premier coefficient de rester le1du départ. - 4En 3ᵉ argument : saisis le pas entre deux puissances,
1. Les puissances se suivent une à une, ce qui correspond aux factorielles successives0!,1!,2!et ainsi de suite. - 5En 4ᵉ argument : sélectionne la plage des six coefficients,
B2:B7. Le nombre de coefficients fixe le nombre de termes, donc la précision, et la réduire àB2:B4fait retomber le résultat à1,625, franchement plus grossier. - 6Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
=SOMME.SERIES(0,5; 0; 1; B2:B7)1,6486979 là où la fonction EXP donne 1,6487213 pour la même valeur : les deux coïncident sur leurs quatre premières décimales et ne s'écartent que de 0,0000233, avec six termes seulement. C'est le passage de n à 0 qui rend ce calcul possible, puisque le premier coefficient doit porter sur x⁰, c'est-à-dire sur le 1 constant du développement.
Comment ne garder que les puissances impaires d'une série avec la fonction SOMME.SERIES
Le développement du sinus n'a que des puissances impaires, ses termes pairs étant tous nuls. Les faire figurer dans la plage reviendrait à remplir une colonne de zéros pour rien, et l'objectif est de décrire cette série avec les trois seuls coefficients qui comptent, sur les rangs 1, 3 et 5. La fonction SOMME.SERIES prévoit ce cas avec son troisième argument, qui fixe l'écart entre deux puissances.
- 1Dans une cellule, écris
=SOMME.SERIES(. - 2En 1er argument : saisis l'angle en radians où la série est évaluée,
0,5. - 3En 2ᵉ argument : saisis la puissance de départ,
1. Le développement du sinus ouvre sur le terme de premier degré, sans terme constant, donc le premier coefficient porte bien surx¹. - 4En 3ᵉ argument : saisis le pas entre deux puissances,
2. C'est lui qui fait tout le travail, puisque chaque terme grimpe de deux puissances d'un coup, ce qui enchaînex¹,x³,x⁵en ignorant les rangs pairs. - 5En 4ᵉ argument : sélectionne la plage des trois coefficients,
B2:B4. Ils valent1,-0,1666667et0,0083333, et le signe compte autant que la valeur, puisque c'est l'alternance des signes qui fait converger le développement. - 6Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
=SOMME.SERIES(0,5; 1; 2; B2:B4)m réglé sur 2 fait sauter les puissances paires, donc trois coefficients suffisent à couvrir les rangs 1, 3 et 5. Le résultat 0,4794271 colle à la valeur rendue par la fonction SIN, 0,4794255, alors que les mêmes coefficients avec un pas de 1 donneraient 0,4593750 : le pas n'est pas un détail de confort, il change le calcul.
Les erreurs fréquentes avec la fonction SOMME.SERIES
Avec SOMME.SERIES, le souci ne se signale presque jamais par un code rouge : Excel te rend un nombre, mais le mauvais. Le cas le plus fréquent, c'est de la prendre pour SOMMEPROD et d'oublier qu'elle élève x à des puissances croissantes au lieu de multiplier terme à terme.
Les deux autres pièges sont aussi silencieux : des coefficients rangés dans le mauvais ordre, ou un n et un m qui ne collent pas à la série visée et décalent toutes les puissances d'un cran.
Confondre SOMME.SERIES avec SOMMEPROD
Beaucoup confondent les deux fonctions. SOMME.SERIES élève x à des puissances croissantes, elle ne multiplie pas simplement x par les coefficients. SOMMEPROD fait une multiplication terme à terme sans gestion des puissances.
Solution : Vérifie ce que tu veux calculer : si tu as besoin de c1·x^n + c2·x^(n+m) + ..., utilise SOMME.SERIES. Si tu veux juste une somme de produits sans puissances, utilise SOMMEPROD qui est plus simple et plus rapide.
Coefficients dans le mauvais ordre
Le premier coefficient de ta plage multiplie x^n, le deuxième multiplie x^(n+m), etc. L'ordre est crucial. Si tes coefficients sont dans le mauvais ordre, ton résultat sera faux sans qu'Excel affiche d'erreur.
Solution : Vérifie l'ordre de ta plage : si tu veux c1·x^1 + c2·x^2 + c3·x^3, les coefficients doivent être dans l'ordre [c1, c2, c3] de haut en bas. Calcule manuellement les premiers termes dans des cellules séparées pour vérifier que le résultat est cohérent.
Paramètres n et m non cohérents avec la série voulue
Si tu veux une série standard (x^1, x^2, x^3...) mais que tu utilises n = 0 et m = 1, tu obtiens x^0, x^1, x^2..., ce qui décale tout le calcul d'un cran.
Solution : Vérifie toujours que n et m correspondent bien à la série que tu veux calculer. Pour une série standard : n = 1 et m = 1. Pour une série de Taylor qui démarre à la puissance 0 : n = 0 et m = 1.
Questions fréquentes
SOMME.SERIES est utilisée pour calculer des séries mathématiques complexes, notamment en finance (valeurs actualisées avec taux variables), en physique (développements en série de Taylor) et en ingénierie (analyse de signaux). C'est un outil puissant pour les calculs scientifiques avancés qui nécessitent des puissances croissantes d'une variable.
SOMME additionne simplement des valeurs. SOMME.SERIES multiplie chaque coefficient par une puissance de x qui varie selon une progression définie, puis additionne le tout. C'est beaucoup plus complexe et adapté aux calculs mathématiques spécialisés : si tu n'as pas besoin de puissances, utilise SOMME ou SOMMEPROD.
Les coefficients doivent être dans une plage de cellules contiguë (par exemple A1:A5). Chaque coefficient correspond à un terme de la série : le premier coefficient multiplie x^n, le deuxième multiplie x^(n+m), le troisième multiplie x^(n+2m), etc.
Oui. x peut être négatif, n peut être négatif (pour des puissances inverses comme 1/x), et m peut être négatif (pour une série décroissante en puissance). SOMME.SERIES gère parfaitement tous ces cas.
Pour aller plus loin
Continue sur ta lancée après la fonction SOMME.SERIES : la leçon associée, un modèle prêt à l'emploi et le guide pour progresser.
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