Fonction COMPLEXE.CONJUGUE ExcelGuide Complet 2026
La fonction COMPLEXE.CONJUGUE te permet de calculer le conjugué d'un nombre complexe en inversant le signe de sa partie imaginaire. Si tu as 3+4i, tu obtiens 3-4i. Cette opération est fondamentale en ingénierie électrique, traitement du signal, physique quantique et mathématiques avancées. Elle simplifie les calculs de division, les calculs d'impédance et les transformations de Fourier.
Syntaxe de la fonction COMPLEXE.CONJUGUE
La syntaxe est très simple : tu donnes un nombre complexe au format texte, et Excel te retourne son conjugué (même partie réelle, partie imaginaire inversée).
=COMPLEXE.CONJUGUE(nombre_complexe)Comprendre chaque paramètre de la fonction COMPLEXE.CONJUGUE
nombre_complexe
(obligatoire)C'est le nombre complexe dont tu veux calculer le conjugué. Il doit être au format texte avec 'i' ou 'j' pour la partie imaginaire (ex : "3+4i", "5-2j", "-1+3i"). Tu peux le créer avec la fonction COMPLEXE() ou l'écrire directement entre guillemets.
Bon à savoir : Le conjugué inverse uniquement le signe de la partie imaginaire. Si z = a+bi, alors le conjugué est z̄ = a-bi. La partie réelle reste identique. Cette opération est son propre inverse : le conjugué du conjugué te redonne le nombre original.
Pourquoi calculer le conjugué d'un nombre complexe ?
Le conjugué est une opération mathématique essentielle avec de nombreuses applications pratiques. Voici les principales utilisations :
Division de nombres complexes
Pour diviser deux nombres complexes, tu multiplies le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Cela élimine la partie imaginaire au dénominateur.
Calcul du module
Le module (norme) d'un nombre complexe z s'obtient par √(z × conjugué(z)). C'est la distance entre le point et l'origine dans le plan complexe.
Impédance électrique
En électricité AC, le conjugué permet de calculer la puissance réactive, l'impédance équivalente et d'optimiser le transfert de puissance.
Attention : Le conjugué ne change pas le module du nombre complexe, seulement sa phase. Si z = 3+4i a un module de 5, son conjugué 3-4i a aussi un module de 5. C'est une symétrie par rapport à l'axe réel dans le plan complexe.
Exemples pratiques pas à pas
Exemple 1 – Ingénieur électricien : calcul de puissance en courant alternatif
Tu es ingénieur électricien et tu analyses un circuit AC. L'impédance d'un composant est Z = 50+30i ohms (résistance + réactance). Pour calculer la puissance apparente, tu as besoin du conjugué de l'impédance afin de multiplier le courant par le conjugué de la tension.
Le conjugué transforme l'impédance inductive (partie imaginaire positive) en capacitive (négative).
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | Impédance Z | Formule | Conjugué Z̄ |
| 2 | 50+30i | =COMPLEXE.CONJUGUE("50+30i") | 50-30i |
| 3 | |||
| 4 | Application : | La réactance passe de +30i à -30i |
=COMPLEXE.CONJUGUE("50+30i")En pratique, cela te permet de calculer la puissance complexe S = V × I* (où I* est le conjugué du courant). La partie réelle donne la puissance active (watts), la partie imaginaire la puissance réactive (VAR). C'est fondamental pour dimensionner les installations électriques et optimiser le facteur de puissance.
Exemple 2 – Physicien : mécanique quantique et fonctions d'onde
Tu es physicien et tu travailles sur des fonctions d'onde en mécanique quantique. Pour calculer la densité de probabilité, tu dois multiplier la fonction d'onde ψ par son conjugué ψ*. Si ψ = 2+3i dans une région donnée, tu calcules d'abord son conjugué.
Le produit d'un nombre complexe par son conjugué donne toujours un nombre réel : |ψ|² = ψ × ψ*
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Fonction d'onde ψ | Formule | Conjugué ψ* | Probabilité |ψ|² |
| 2 | 2+3i | =COMPLEXE.CONJUGUE("2+3i") | 2-3i | |
| 3 | =COMPLEXE.PRODUIT("2+3i";"2-3i") | 13 | ||
| 4 | ||||
| 5 | Résultat : | La probabilité vaut 4+9=13 |
=COMPLEXE.CONJUGUE("2+3i")La densité de probabilité |ψ|² = 13 indique où tu as le plus de chances de trouver la particule. Cette technique est au cœur de la mécanique quantique : le conjugué permet de passer d'amplitudes complexes à des probabilités réelles et mesurables.
Exemple 3 – Ingénieur signal : traitement numérique et filtres
Tu es ingénieur en traitement du signal et tu conçois un filtre numérique. La réponse fréquentielle H(ω) = 0,8+0,6i doit être analysée. Pour calculer le gain du filtre (module de H), tu multiplies H par son conjugué.
Le gain du filtre est |H| = √(0,64 + 0,36) = √1 = 1, soit 0 dB (pas d'amplification ni d'atténuation)
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Réponse H(ω) | Conjugué H* | Produit H×H* | Gain |H| |
| 2 | 0,8+0,6i | =COMPLEXE.CONJUGUE("0,8+0,6i") | 0,8-0,6i | |
| 3 | =COMPLEXE.PRODUIT("0,8+0,6i";"0,8-0,6i") | 1 | ||
| 4 | =RACINE(1) | 1 | ||
| 5 | ||||
| 6 | Interprétation : | Gain unitaire = pas d'atténuation |
=COMPLEXE.CONJUGUE("0,8+0,6i")Cette analyse te permet de comprendre comment ton filtre affecte le signal. Un gain de 1 (0 dB) signifie que l'amplitude n'est pas modifiée, seule la phase change. Le conjugué est aussi utilisé dans les filtres adaptatifs (algorithme LMS) et la transformée de Fourier inverse pour reconstruire le signal temporel.
Les erreurs fréquentes et comment les éviter
Oublier les guillemets autour du nombre complexe
Les nombres complexes sont du texte dans Excel, pas des nombres. Tu dois toujours les mettre entre guillemets ou utiliser une cellule contenant du texte.
Confondre conjugué et opposé
Le conjugué inverse la partie imaginaire, pas le nombre entier. L'opposé de 3+4i est -3-4i (les deux signes changent), le conjugué est 3-4i (seul i change).
Utiliser le mauvais format pour la partie imaginaire
Excel accepte 'i' ou 'j' pour la partie imaginaire (j est utilisé en ingénierie électrique), mais tu dois être cohérent. Ne mélange pas les deux dans tes calculs. Le format doit aussi respecter la syntaxe : pas d'espace, le coefficient devant i/j.
Propriétés mathématiques du conjugué
Le conjugué complexe possède des propriétés mathématiques importantes que tu peux exploiter dans tes calculs Excel :
Le conjugué du conjugué redonne l'original
conjugué(conjugué(z)) = zC'est une opération involutive : appliquée deux fois, elle revient au point de départ.
Le produit d'un nombre par son conjugué est réel
z × conjugué(z) = a² + b² (nombre réel)C'est le carré du module, toujours positif ou nul.
Le conjugué d'une somme est la somme des conjugués
conjugué(z₁ + z₂) = conjugué(z₁) + conjugué(z₂)Propriété de linéarité très utile pour simplifier les calculs.
Le conjugué d'un produit est le produit des conjugués
conjugué(z₁ × z₂) = conjugué(z₁) × conjugué(z₂)Idem pour la division : conjugué(z₁/z₂) = conjugué(z₁)/conjugué(z₂)
Astuce pour diviser des nombres complexes : Pour calculer z₁/z₂, multiplie le numérateur et le dénominateur par conjugué(z₂). Le dénominateur devient réel (module au carré), ce qui simplifie énormément le calcul. Utilise ensuite COMPLEXE.QUOTIENT() pour le résultat final.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que le conjugué d'un nombre complexe ?
Le conjugué d'un nombre complexe inverse le signe de la partie imaginaire. Par exemple, le conjugué de 3+4i est 3-4i. C'est une opération fondamentale en mathématiques complexes utilisée notamment pour calculer le module, diviser des nombres complexes, ou résoudre des équations en ingénierie et physique.
À quoi sert COMPLEXE.CONJUGUE en pratique ?
Cette fonction est essentielle en ingénierie électrique (analyse de circuits AC, calcul d'impédance et de puissance complexe), en traitement du signal (filtres numériques, transformée de Fourier), et en physique quantique (calcul de densités de probabilité). Elle permet de simplifier les divisions complexes et d'obtenir des valeurs réelles à partir de nombres complexes.
Quel format utiliser pour écrire un nombre complexe dans Excel ?
Utilise toujours le format texte entre guillemets avec 'i' ou 'j' pour la partie imaginaire : "3+4i", "5-2j", "0+7i", "-1+3i". Tu peux aussi créer ces nombres avec la fonction COMPLEXE(partie_réelle; partie_imaginaire; "i") qui te retourne le format texte approprié. Attention : pas d'espaces dans la syntaxe !
Comment vérifier qu'un nombre et son conjugué sont corrects ?
Multiplie un nombre complexe par son conjugué avec COMPLEXE.PRODUIT() : le résultat est toujours un nombre réel égal au carré du module. Par exemple, (3+4i) × (3-4i) = 9 + 16 = 25. Si tu obtiens un nombre avec une partie imaginaire non nulle, c'est qu'il y a une erreur dans ton calcul du conjugué.
COMPLEXE.CONJUGUE est-il compatible avec toutes les versions d'Excel ?
COMPLEXE.CONJUGUE (IMCONJUGATE en anglais) est disponible depuis Excel 2013. Pour les versions antérieures (Excel 2010 ou plus ancien), tu devras extraire manuellement les parties réelles et imaginaires avec COMPLEXE.REEL() et COMPLEXE.IMAGINAIRE(), puis reconstruire le conjugué avec COMPLEXE(partie_réelle; -partie_imaginaire).
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