Fonction COMPLEXE.COSH ExcelGuide Complet 2026
La fonction COMPLEXE.COSH te permet de calculer le cosinus hyperbolique d'un nombre complexe. Si tu travailles en télécommunications, physique quantique ou finance quantitative, cette fonction est ton alliée pour modéliser des phénomènes ondulatoires, résoudre des équations différentielles complexes ou analyser des signaux. Elle transforme un nombre complexe (forme a+bi) en son cosinus hyperbolique, essentiel pour les calculs d'impédance, de propagation d'ondes ou de pricing de dérivés.
Syntaxe de la fonction COMPLEXE.COSH
La syntaxe de COMPLEXE.COSH est très simple : tu lui donnes un nombre complexe sous forme texte, et elle te retourne son cosinus hyperbolique sous forme complexe également.
=COMPLEXE.COSH(nombre_complexe)Comprendre le paramètre de la fonction COMPLEXE.COSH
nombre_complexe
(obligatoire)C'est le nombre complexe pour lequel tu veux calculer le cosinus hyperbolique. Tu dois le fournir sous forme de texte avec la notation "a+bi" ou "a+bj" (où a est la partie réelle et b la partie imaginaire). Tu peux aussi utiliser la fonction COMPLEXE() pour créer ton nombre complexe de manière dynamique.
Formats acceptés : "3+4i", "3+4j", "-2,5+1,8i", COMPLEXE(3;4), ou même juste "5" (Excel le traite comme 5+0i). Attention : sans guillemets, Excel peut interpréter "3+4i" comme une erreur. Utilise toujours des guillemets ou la fonction COMPLEXE() !
Comment interpréter le résultat ?
COMPLEXE.COSH te retourne un nombre complexe sous forme texte. Ce résultat représente le cosinus hyperbolique du nombre que tu as fourni, avec une partie réelle et une partie imaginaire.
Nombre réel (cas simple)
Si b = 0 (pas de partie imaginaire), COMPLEXE.COSH se comporte comme COSH classique.
COMPLEXE.COSH("2+0i") ≈ 3,762+0iNombre complexe (cas général)
Avec une partie imaginaire, tu obtiens un résultat complexe complet.
COMPLEXE.COSH("1+i") ≈ 0,834-0,989iFormule mathématique : cosh(a+bi) = cosh(a) × cos(b) + i × sinh(a) × sin(b). Excel fait tous ces calculs pour toi automatiquement. Le cosinus hyperbolique lie les fonctions hyperboliques (cosh, sinh) aux fonctions trigonométriques (cos, sin), d'où son utilité en physique !
Exemples pratiques pas à pas
Exemple 1 – Ingénieur télécoms : calculer l'impédance caractéristique d'une ligne
Tu es ingénieur en télécommunications et tu conçois une ligne de transmission. Pour calculer l'impédance caractéristique, tu dois évaluer le cosinus hyperbolique d'une constante de propagation complexe γ = 0,1+0,5i (partie réelle = atténuation, partie imaginaire = déphasage).
Le cosh de ta constante de propagation est 1,127-0,0488i, avec un module de 1,128 qui servira dans le calcul d'impédance.
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | Constante γ | Formule | Résultat |
| 2 | 0,1+0,5i | =COMPLEXE.COSH("0,1+0,5i") | 1,127-0,0488i |
| 3 | |||
| 4 | Module : =COMPLEXE.MODULE("1,127-0,0488i") | 1,128 |
=COMPLEXE.COSH("0,1+0,5i")Ce résultat te permet ensuite de calculer l'impédance caractéristique Z₀ = √(R+jωL)/(G+jωC) × cosh(γl). Sans COMPLEXE.COSH, tu devrais décomposer manuellement en parties réelles et imaginaires, avec un risque d'erreur énorme. Ici, Excel fait tout pour toi en une seule formule !
Exemple 2 – Physicien : résoudre une équation d'onde amortie
Tu es physicien et tu modélises la propagation d'une onde électromagnétique dans un milieu conducteur. La solution de ton équation d'onde fait intervenir cosh(kz) où k = 2+3i est le nombre d'onde complexe, et z = 0,5 la position. Tu dois évaluer cosh(k×z) = cosh((2+3i)×0,5) = cosh(1+1,5i).
L'amplitude de l'onde varie de façon complexe selon la position. Le module décroît (amortissement) et la phase tourne.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Position z | k×z | Formule | Amplitude onde |
| 2 | 0,5 | =COMPLEXE.PRODUIT("2+3i";"0,5") | =COMPLEXE.COSH("1+1,5i") | 0,375+2,005i |
| 3 | 1,0 | =COMPLEXE.PRODUIT("2+3i";"1") | =COMPLEXE.COSH("2+3i") | -3,725+0,512i |
| 4 | 1,5 | =COMPLEXE.PRODUIT("2+3i";"1,5") | =COMPLEXE.COSH("3+4,5i") | -9,366-4,580i |
=COMPLEXE.COSH("1+1,5i")Le résultat complexe capture à la fois l'amortissement (diminution de l'amplitude due à la partie réelle de k) et le déphasage (rotation de phase due à la partie imaginaire de k). Avec COMPLEXE.MODULE(), tu peux extraire l'amplitude réelle à chaque position pour tracer ton profil d'onde.
Exemple 3 – Analyste financier quantitatif : pricing d'un dérivé exotique
Tu es analyste financier quantitatif et tu prices une option exotique dont le payoff dépend d'une fonction hyperbolique complexe (modèle de Heston étendu). Un des termes de ta formule analytique nécessite d'évaluer cosh(λ×τ) où λ = 0,5+0,3i (paramètre complexe de retour à la moyenne) et τ = 2 (maturité en années).
Le terme cosh(λ×τ) = 1,375+0,498i entre dans ta formule de pricing. Plus la maturité augmente, plus l'impact est grand.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Maturité τ | λ×τ | Formule | Terme pricing |
| 2 | 1 | =COMPLEXE.PRODUIT("0,5+0,3i";"1") | =COMPLEXE.COSH("0,5+0,3i") | 1,127+0,148i |
| 3 | 2 | =COMPLEXE.PRODUIT("0,5+0,3i";"2") | =COMPLEXE.COSH("1+0,6i") | 1,375+0,498i |
| 4 | 3 | =COMPLEXE.PRODUIT("0,5+0,3i";"3") | =COMPLEXE.COSH("1,5+0,9i") | 1,419+1,130i |
=COMPLEXE.COSH("1+0,6i")Ce calcul fait partie d'une formule de pricing semi-analytique qui évite les simulations Monte-Carlo coûteuses. En combinant COMPLEXE.COSH avec COMPLEXE.SINH, COMPLEXE.EXP et d'autres fonctions, tu peux implémenter des modèles quantitatifs sophistiqués directement dans Excel. Un gain de temps énorme pour tes tests de sensibilité et calibrations !
Les erreurs fréquentes et comment les éviter
Oublier les guillemets autour du nombre complexe
Excel attend un nombre complexe sous forme de texte. Si tu tapes =COMPLEXE.COSH(3+4i) sans guillemets, Excel va tenter d'évaluer 3+4i comme une formule et générer une erreur #NOM? car "i" n'est pas reconnu comme référence.
Confondre COSH et COMPLEXE.COSH
COSH() est pour les nombres réels uniquement. Si tu lui passes un nombre complexe sous forme texte "3+4i", elle retournera #VALEUR! car elle ne sait pas traiter le texte. Utilise toujours COMPLEXE.COSH pour les nombres complexes.
Utiliser le mauvais suffixe (i vs j)
Excel accepte à la fois "i" et "j" comme suffixe imaginaire (selon les disciplines, ingénieurs utilisent j, mathématiciens utilisent i). Mais tu dois être cohérent ! Si tu mélanges dans la même formule, Excel risque de ne pas reconnaître le format. Choisis une convention et garde-la.
Comprendre la relation mathématique
Le cosinus hyperbolique complexe est défini par la formule suivante. Excel l'applique automatiquement, mais connaître la formule t'aide à comprendre le résultat :
cosh(a + bi) = cosh(a) × cos(b) + i × sinh(a) × sin(b)Où a est la partie réelle, b la partie imaginaire, cosh et sinh sont les fonctions hyperboliques, et cos/sin sont les fonctions trigonométriques classiques. C'est cette combinaison qui donne au cosinus hyperbolique complexe ses propriétés uniques en physique ondulatoire.
Relation avec l'exponentielle complexe
cosh(z) = [exp(z) + exp(-z)] / 2Tu peux vérifier avec COMPLEXE.EXP si besoin.
Identité fondamentale
cosh²(z) - sinh²(z) = 1Même pour les nombres complexes ! Utilise COMPLEXE.SINH pour vérifier.
Périodicité en partie imaginaire
cosh(a + bi) = cosh(a + b×i + 2πi)Périodique selon la partie imaginaire (période 2π).
Astuce : Pour extraire la partie réelle ou imaginaire du résultat, utilise COMPLEXE.REEL() et COMPLEXE.IMAGINAIRE(). Pour le module (amplitude), utilise COMPLEXE.MODULE(). Ces fonctions te permettent de décomposer le résultat complexe selon tes besoins d'analyse.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre COMPLEXE.COSH et COSH ?
COSH calcule le cosinus hyperbolique d'un nombre réel classique (par exemple COSH(2) = 3,762), tandis que COMPLEXE.COSH traite les nombres complexes de la forme a+bi. Si ton nombre n'a pas de partie imaginaire (par exemple "5+0i"), les deux fonctions donnent le même résultat pour la partie réelle, mais COMPLEXE.COSH retourne un format texte complexe.
Comment Excel interprète-t-il les nombres complexes ?
Excel utilise la notation texte "a+bi" ou "a+bj" où a est la partie réelle et b la partie imaginaire. Par exemple : "3+4i", "2,5-1,2j", ou "-1-0,5i". Tu dois toujours entrer le nombre complexe entre guillemets (comme texte), ou utiliser la fonction COMPLEXE(partie_réelle; partie_imaginaire) pour le construire dynamiquement.
Pourquoi utiliser le cosinus hyperbolique avec des nombres complexes ?
Le cosinus hyperbolique complexe est essentiel en physique (propagation d'ondes électromagnétiques, mécanique quantique), en télécommunications (lignes de transmission, calcul d'impédance), et en finance quantitative (modélisation de dérivés exotiques, processus stochastiques). Il permet de modéliser des phénomènes oscillatoires avec amortissement ou des solutions d'équations différentielles complexes.
Puis-je utiliser COMPLEXE.COSH avec des nombres réels ?
Oui ! Si tu passes un nombre réel comme "5+0i" ou simplement "5", COMPLEXE.COSH te donnera un résultat équivalent à COSH(5), mais au format texte complexe (par exemple "74,2099+0i"). C'est utile pour garder une cohérence dans tes formules qui mélangent nombres réels et complexes sans avoir à traiter les cas séparément.
COMPLEXE.COSH est-il disponible dans toutes les versions d'Excel ?
COMPLEXE.COSH (ou IMCOSH en anglais) est disponible depuis Excel 2013. Si tu utilises Excel 2010 ou une version antérieure, tu devras calculer manuellement avec la formule : cosh(a+bi) = cosh(a)×cos(b) + i×sinh(a)×sin(b), en utilisant les fonctions COSH(), SINH(), COS() et SIN() séparément, puis en reconstituant le nombre complexe avec COMPLEXE().
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