Fonction COMPLEXE.EXP ExcelGuide Complet 2026
La fonction COMPLEXE.EXP te permet de calculer l'exponentielle de nombres complexes, un outil indispensable en physique quantique, traitement du signal et analyse de Fourier. Grâce à la formule d'Euler, cette fonction transforme des exponentielles en oscillations sinusoïdales, ce qui en fait une pierre angulaire des mathématiques appliquées modernes.
Syntaxe de la fonction COMPLEXE.EXP
La syntaxe de COMPLEXE.EXP est simple : tu lui fournis un nombre complexe sous forme de texte (par exemple "3+4i") et elle te retourne son exponentielle sous forme complexe. La formule mathématique utilisée est e^(a+bi) = e^a × (cos(b) + i×sin(b)).
=COMPLEXE.EXP(nombre_complexe)Comprendre chaque paramètre de la fonction COMPLEXE.EXP
nombre_complexe
(obligatoire)Le nombre complexe pour lequel tu veux calculer l'exponentielle. Il doit être exprimé sous forme de texte au format "a+bi" ou "a+bj", où a est la partie réelle et b la partie imaginaire. Tu peux aussi créer ce nombre avec la fonction COMPLEXE(a; b) qui génère le format texte automatiquement.
Astuce : Excel accepte à la fois "i" et "j" pour représenter l'unité imaginaire. En ingénierie électrique, on utilise souvent "j" pour éviter la confusion avec l'intensité du courant. Les deux notations fonctionnent parfaitement.
Attention : Si ton nombre complexe n'est pas au bon format texte, Excel retournera l'erreur #VALEUR!. Assure-toi d'utiliser le format "a+bi" avec le signe + ou - entre les parties, et sans espaces (par exemple "3+4i" et non "3 + 4i").
Comprendre l'exponentielle complexe
L'exponentielle complexe e^(a+bi) se décompose en deux parties grâce à la formule d'Euler, l'une des plus belles équations mathématiques. Voici ce que tu dois savoir :
Formule d'Euler
e^(a+bi) = e^a × e^(bi) = e^a × (cos(b) + i×sin(b))
Cas particulier : e^(i×θ)
Quand a = 0, on obtient des rotations pures
Propriété fondamentale
Le module de e^(a+bi) vaut e^a, et son argument vaut b (en radians).
Cela signifie que la partie réelle contrôle l'amplitude (la taille) et la partie imaginaire contrôle la phase (la rotation). C'est pourquoi cette fonction est si puissante en traitement du signal.
Exemples pratiques pas à pas
Exemple 1 – Ingénieur en traitement du signal : analyse de Fourier
Tu es ingénieur en traitement du signal et tu analyses les composantes fréquentielles d'un signal. Tu utilises l'exponentielle complexe pour générer des sinusoïdes complexes e^(iωt) qui servent de base à la transformée de Fourier. Calculons e^(iπ/4) et e^(iπ/2).
e^(iπ/4) = cos(π/4) + i×sin(π/4) ≈ 0,707 + 0,707i (rotation de 45° sur le cercle unité)
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Angle (rad) | Nombre complexe | COMPLEXE.EXP | Partie réelle | Partie imaginaire |
| 2 | π/4 ≈ 0,785 | =COMPLEXE(0;A2) | =COMPLEXE.EXP(B2) | =COMPLEXE.REEL(C2) | =COMPLEXE.IMAGINAIRE(C2) |
| 3 | π/2 ≈ 1,571 | =COMPLEXE(0;A3) | =COMPLEXE.EXP(B3) | =COMPLEXE.REEL(C3) | =COMPLEXE.IMAGINAIRE(C3) |
| 4 | 0,707 | 0,707 |
=COMPLEXE.EXP("0,785i")Ces exponentielles complexes représentent des rotations sur le cercle unité dans le plan complexe. e^(iπ/4) correspond à une rotation de 45° et e^(iπ/2) à 90°. En analyse de Fourier, ces fonctions décomposent n'importe quel signal en combinaisons d'oscillations pures.
Exemple 2 – Physicien quantique : fonctions d'onde
Tu es physicien quantique et tu modélises des fonctions d'onde qui évoluent dans le temps selon ψ(t) = A × e^(-iEt/ℏ). Pour simplifier, tu calcules e^(-2i) pour différents états quantiques. La partie réelle contrôle l'amplitude et la partie imaginaire la phase.
e^(-2i) a un module de 1 (amplitude constante) et une phase de -2 radians (≈ -114,6°)
| A | B | C | D | E | F | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | État | Énergie (E) | Nombre complexe | e^(-iE) | Module | Phase (rad) |
| 2 | Fondamental | 1 | =COMPLEXE(0;-B2) | =COMPLEXE.EXP(C2) | =COMPLEXE.MODULE(D2) | =COMPLEXE.ARGUMENT(D2) |
| 3 | Excité | 2 | =COMPLEXE(0;-B3) | =COMPLEXE.EXP(C3) | =COMPLEXE.MODULE(D3) | =COMPLEXE.ARGUMENT(D3) |
| 4 | 1 | -2 |
=COMPLEXE.EXP("-2i")Le module égal à 1 confirme que l'exponentielle purement imaginaire conserve l'amplitude. Seule la phase change avec le temps, représentant l'évolution quantique du système. C'est un principe fondamental de la mécanique quantique : les états oscillent sans perdre leur probabilité totale.
Exemple 3 – Data scientist : transformations et croissance complexe
Tu es data scientist et tu modélises des phénomènes qui combinent croissance exponentielle (partie réelle) et oscillations périodiques (partie imaginaire). Par exemple, un signal qui croît avec le temps tout en oscillant : f(t) = e^((0,5 + 3i)×t).
e^(0,5+3i) : module ≈ 1,649 (croissance de 64,9%) et phase de 3 radians (rotation de ≈172°)
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Temps t | z = (0,5 + 3i) × t | e^z | Module (amplitude) | Argument (phase) |
| 2 | 0 | =COMPLEXE(0,5*A2;3*A2) | =COMPLEXE.EXP(B2) | =COMPLEXE.MODULE(C2) | =COMPLEXE.ARGUMENT(C2) |
| 3 | 1 | =COMPLEXE(0,5*A3;3*A3) | =COMPLEXE.EXP(B3) | =COMPLEXE.MODULE(C3) | =COMPLEXE.ARGUMENT(C3) |
| 4 | 2 | =COMPLEXE(0,5*A4;3*A4) | =COMPLEXE.EXP(B4) | =COMPLEXE.MODULE(C4) | =COMPLEXE.ARGUMENT(C4) |
| 5 | 1,649 | 3 |
=COMPLEXE.EXP("0,5+3i")Ce type de modèle capture des phénomènes réels comme les oscillations amorties (si la partie réelle est négative) ou amplifiées (si positive). En data science, cela permet de modéliser des séries temporelles complexes avec des composantes périodiques qui évoluent en amplitude au fil du temps.
Les erreurs fréquentes et comment les éviter
Format de nombre complexe incorrect
Le format doit être "a+bi" ou "a+bj" sans espaces. Les formats invalides provoquent l'erreur #VALEUR!.
Confondre degrés et radians
COMPLEXE.EXP utilise toujours les radians pour la partie imaginaire. Si tu travailles avec des degrés, convertis-les d'abord.
Oublier que le résultat est un texte
COMPLEXE.EXP retourne un nombre complexe sous forme de texte. Pour faire des calculs ultérieurs, tu dois utiliser les fonctions spécialisées comme COMPLEXE.REEL, COMPLEXE.IMAGINAIRE, COMPLEXE.MODULE, ou les opérations COMPLEXE.SOMME, COMPLEXE.PRODUIT, etc.
Cas d'usage de COMPLEXE.EXP en pratique
L'exponentielle complexe n'est pas qu'un exercice théorique. Elle a des applications concrètes dans de nombreux domaines scientifiques et techniques :
Traitement du signal et analyse de Fourier
Les exponentielles complexes e^(iωt) forment la base de la transformée de Fourier. Tout signal peut se décomposer en somme d'exponentielles complexes de différentes fréquences. Essentiel en audio, radar, télécommunications.
Physique quantique
Les fonctions d'onde ψ(t) = A×e^(-iEt/ℏ) décrivent l'évolution temporelle des états quantiques. L'exponentielle complexe capture à la fois l'amplitude de probabilité et la phase quantique.
Circuits électriques en régime sinusoïdal
En électronique, les tensions et courants alternatifs s'expriment comme V(t) = V₀×e^(iωt). Les impédances complexes Z = R + iX simplifient l'analyse des circuits AC.
Modélisation de vibrations et oscillations
Les systèmes vibratoires (ponts, bâtiments, machines) se modélisent avec des exponentielles complexes pour capturer à la fois l'amortissement (partie réelle) et les oscillations (partie imaginaire).
Questions fréquentes
Qu'est-ce que l'exponentielle d'un nombre complexe ?
L'exponentielle d'un nombre complexe z = a + bi est définie par e^z = e^a × (cos(b) + i×sin(b)). C'est la formule d'Euler qui relie l'exponentielle aux fonctions trigonométriques. COMPLEXE.EXP calcule automatiquement cette valeur pour toi.
Pourquoi COMPLEXE.EXP est-elle importante en physique ?
En physique quantique et en traitement du signal, l'exponentielle complexe décrit les oscillations, les ondes et les états quantiques. Par exemple, e^(iωt) représente une onde sinusoïdale de fréquence ω. C'est fondamental pour l'analyse de Fourier et la mécanique quantique.
Comment utiliser COMPLEXE.EXP avec des radians ou des degrés ?
COMPLEXE.EXP travaille toujours en radians pour la partie imaginaire. Si tu as un angle en degrés, convertis-le d'abord en radians avec RADIANS() avant de créer ton nombre complexe. Par exemple, pour 90°, utilise COMPLEXE(0;RADIANS(90)) puis applique COMPLEXE.EXP.
Quelle est la différence entre COMPLEXE.EXP et EXP ?
EXP calcule l'exponentielle de nombres réels uniquement (e^x). COMPLEXE.EXP étend ce concept aux nombres complexes en gérant à la fois la partie réelle et imaginaire. Si tu utilises COMPLEXE.EXP sur un nombre réel (partie imaginaire = 0), tu obtiendras le même résultat qu'avec EXP.
Comment vérifier que le résultat de COMPLEXE.EXP est correct ?
Tu peux vérifier avec la formule d'Euler : pour z = a + bi, vérifie que |e^z| = e^a (le module) et arg(e^z) = b (l'argument). Utilise COMPLEXE.MODULE et COMPLEXE.ARGUMENT pour extraire ces valeurs et les comparer avec tes calculs.
Les fonctions similaires à COMPLEXE.EXP
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Crée un nombre complexe à partir de parties réelle et imaginaire
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Calcule le logarithme népérien d'un nombre complexe
COMPLEXE.MODULE
Calcule le module (valeur absolue) d'un nombre complexe
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