Fonction COMPLEXE.LN ExcelGuide Complet 2026
La fonction COMPLEXE.LN calcule le logarithme naturel (népérien) d'un nombre complexe. Si tu travailles en ingénierie électrique, en mathématiques avancées ou en traitement du signal, cette fonction te permet d'appliquer des transformations logarithmiques dans le plan complexe. C'est un outil indispensable pour analyser des impédances, résoudre des équations différentielles complexes ou traiter des signaux en représentation complexe.
Syntaxe de la fonction COMPLEXE.LN
La syntaxe de COMPLEXE.LN est simple : tu lui fournis un nombre complexe sous forme de texte (comme "3+4i"), et elle te retourne son logarithme naturel sous forme complexe.
=COMPLEXE.LN(nombre_complexe)Comprendre le paramètre de COMPLEXE.LN
nombre_complexe
(obligatoire)C'est le nombre complexe dont tu veux calculer le logarithme naturel. Il doit être exprimé sous forme de texte, au format "x+yi" ou "x+yj" (où x est la partie réelle et y la partie imaginaire). Par exemple : "3+4i", "5-2j", ou "0+1i". Tu peux créer ce nombre avec la fonction COMPLEXE() ou le saisir directement entre guillemets.
Attention : Le nombre complexe 0+0i (zéro) génère une erreur #NOMBRE! car le logarithme de zéro n'est pas défini. De même, si le format du texte est invalide, Excel retournera une erreur #VALEUR!.
Conseil : Pour créer facilement un nombre complexe, utilise =COMPLEXE(partie_réelle; partie_imaginaire; "i"). Par exemple, =COMPLEXE(3; 4; "i") retourne "3+4i".
Comment fonctionne le logarithme complexe ?
Le logarithme naturel d'un nombre complexe z = x + yi s'exprime mathématiquement comme :
Formule mathématique
Où :
- |z| est le module (ou norme) du nombre complexe : √(x² + y²)
- arg(z) est l'argument (ou angle) du nombre complexe : arctan(y/x)
En pratique : Le logarithme d'un nombre complexe a toujours deux composantes : une partie réelle (ln du module) et une partie imaginaire (l'argument). C'est pourquoi même un nombre "presque réel" comme "5+0,1i" donne un résultat avec une petite partie imaginaire.
Exemples pratiques pas à pas
Exemple 1 – Ingénieur électricien : analyse d'impédance
Tu es ingénieur électricien et tu analyses un circuit RLC. L'impédance complexe mesurée est Z = 3 + 4j ohms (notation ingénieur avec "j"). Pour certaines analyses de filtres ou de réponse en fréquence, tu as besoin du logarithme naturel de cette impédance.
Le logarithme naturel de 3+4j est environ 1,609+0,927j. La partie réelle (1,609) est ln(5), le module de l'impédance.
| A | B | |
|---|---|---|
| 1 | Impédance (Ω) | Logarithme naturel |
| 2 | 3+4j | =COMPLEXE.LN(A2) |
=COMPLEXE.LN("3+4j")La partie réelle 1,609 correspond à ln(√(3²+4²)) = ln(5). La partie imaginaire 0,927 correspond à l'argument arctan(4/3) ≈ 0,927 radians (environ 53°). Cette transformation est utile pour linéariser certaines analyses de circuits en échelle logarithmique.
Exemple 2 – Chercheur en mathématiques : propriétés des fonctions complexes
Tu es chercheur en mathématiques et tu explores les propriétés du logarithme complexe. Tu veux vérifier la propriété ln(z₁ × z₂) = ln(z₁) + ln(z₂) avec z₁ = 1+i et z₂ = 2+i.
Vérification : ln(1+i) ≈ 0,347+0,785i. Tu peux vérifier que ln(z₁×z₂) = ln(z₁) + ln(z₂).
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | Nombre complexe | Logarithme naturel | Description |
| 2 | 1+i | =COMPLEXE.LN(A2) | ln(z₁) |
| 3 | 2+i | =COMPLEXE.LN(A3) | ln(z₂) |
| 4 | =COMPLEXE.PRODUIT(A2;A3) | =COMPLEXE.LN(A4) | ln(z₁ × z₂) |
| 5 | =COMPLEXE.SOMME(B2;B3) | ln(z₁) + ln(z₂) |
=COMPLEXE.LN("1+i")En calculant, tu obtiens ln(1+i) ≈ 0,347+0,785i et ln(2+i) ≈ 0,804+0,464i. Le produit (1+i)×(2+i) = 1+3i, dont le logarithme est ≈ 1,151+1,249i. La somme ln(1+i) + ln(2+i) ≈ 1,151+1,249i confirme bien la propriété logarithmique !
Exemple 3 – Data scientist : traitement du signal complexe
Tu es data scientist spécialisé en traitement du signal. Tu travailles sur des coefficients de Fourier complexes et tu dois appliquer une transformation logarithmique pour compresser la dynamique du spectre. Un coefficient mesuré est 8-6i.
Le logarithme de 8-6i est 2,303-0,644i. La partie réelle (2,303) correspond à ln(10), le module du signal.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Coefficient Fourier | Log naturel | Module | Phase (rad) |
| 2 | 8-6i | =COMPLEXE.LN(A2) | =COMPLEXE.MODULE(A2) | =COMPLEXE.ARGUMENT(A2) |
=COMPLEXE.LN("8-6i")Le module de 8-6i est √(8²+6²) = 10, donc ln(module) = ln(10) ≈ 2,303 (la partie réelle). L'argument est arctan(-6/8) ≈ -0,644 radians (la partie imaginaire, négative car le nombre est dans le 4ème quadrant). Cette transformation log permet de mieux visualiser les spectres avec une grande plage dynamique.
Les erreurs fréquentes et comment les éviter
Utiliser un format de nombre complexe invalide
COMPLEXE.LN attend un nombre complexe sous forme de texte : "3+4i" ou "3+4j". Si tu oublies les guillemets, ou si le format est incorrect, Excel retourne #VALEUR!.
Calculer le logarithme de zéro
Le logarithme de zéro n'est pas défini mathématiquement (il tend vers -∞). Si tu essaies de calculer COMPLEXE.LN("0+0i"), Excel retourne #NOMBRE!.
Mélanger les suffixes "i" et "j"
Excel accepte "i" ou "j" comme suffixe imaginaire, mais tu dois être cohérent. Si tu crées un nombre avec COMPLEXE(3;4;"j"), assure-toi de ne pas mélanger avec des opérations qui utilisent "i". Sinon, tu risques des erreurs ou des résultats incorrects.
Cas d'usage en ingénierie et sciences
Électronique et télécommunications
Analyse d'impédances complexes, calcul de gains et de phases dans les filtres, conception de circuits RF, étude de la réponse en fréquence de systèmes linéaires.
Traitement du signal
Compression logarithmique de spectres de Fourier, analyse cepstrale (spectre du spectre), extraction de caractéristiques pour reconnaissance de formes, amélioration de signaux audio.
Mathématiques et physique théorique
Résolution d'équations différentielles complexes, étude de la fonction zêta de Riemann, mécanique quantique (fonctions d'onde complexes), transformations conformes.
Analyse de données scientifiques
Traitement de mesures complexes en spectroscopie, analyse de données radar ou sonar, modélisation de phénomènes ondulatoires, compression de données multidimensionnelles.
Astuce pratique : Pour visualiser le résultat d'un logarithme complexe, utilise COMPLEXE.MODULE() pour obtenir la magnitude et COMPLEXE.ARGUMENT() pour obtenir la phase. C'est souvent plus parlant que le format "a+bi".
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'un logarithme naturel de nombre complexe ?
Le logarithme naturel d'un nombre complexe z = x+yi est défini comme ln(z) = ln(|z|) + i×arg(z), où |z| est le module du nombre complexe (sa "longueur" : √(x²+y²)) et arg(z) son argument (son "angle" : arctan(y/x)). C'est l'extension naturelle du logarithme népérien aux nombres complexes, indispensable en ingénierie et physique avancée.
Quel format de nombre complexe dois-je utiliser avec COMPLEXE.LN ?
Excel accepte les nombres complexes sous forme de chaîne de texte : "3+4i" ou "3+4j". Le suffixe peut être "i" (mathématiques) ou "j" (ingénierie électrique). Tu peux créer ces nombres avec la fonction COMPLEXE(partie_réelle; partie_imaginaire; suffixe). Par exemple : =COMPLEXE(3; 4; "i") retourne "3+4i".
Quelle est la différence entre COMPLEXE.LN, COMPLEXE.LN2 et COMPLEXE.LOG10 ?
COMPLEXE.LN calcule le logarithme naturel (base e ≈ 2,718), COMPLEXE.LN2 calcule le logarithme en base 2, et COMPLEXE.LOG10 calcule le logarithme en base 10. Le choix dépend de ton contexte : le logarithme naturel est le plus utilisé en mathématiques et physique, la base 2 en informatique, et la base 10 pour les décibels en ingénierie.
Pourquoi le résultat de COMPLEXE.LN contient-il une partie imaginaire ?
Même pour un nombre "presque réel" comme 5+0,01i, le résultat aura une composante imaginaire car ln(z) = ln(|z|) + i×arg(z). La partie imaginaire reflète l'angle du nombre dans le plan complexe. Pour un nombre réel négatif (comme -3+0i), la partie imaginaire sera π (environ 3,14159), ce qui correspond au fait que les logarithmes de nombres négatifs n'existent pas dans les réels.
COMPLEXE.LN est-il disponible dans Google Sheets ?
Oui, Google Sheets propose la fonction IMLN (abréviation de "imaginary logarithm natural") qui fonctionne exactement de la même manière que COMPLEXE.LN d'Excel. La syntaxe et les résultats sont identiques, seul le nom de la fonction diffère. Utilise =IMLN("3+4i") dans Google Sheets.
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