La fonction DETERMAT (MDETERM en anglais) calcule le déterminant d'une matrice carrée directement dans Excel. Ce nombre unique te révèle des propriétés essentielles de ta matrice : est-elle inversible ? Ton système d'équations a-t-il une solution unique ? Y a-t-il une dépendance linéaire entre tes variables ?
Que tu travailles en ingénierie structurale, en data science, en finance quantitative ou en mathématiques appliquées, DETERMAT est le premier réflexe avant d'utiliser INVERSEMAT ou PRODUITMAT pour résoudre un système linéaire.
Syntaxe de la fonction DETERMAT
=DETERMAT(matrice)Excel utilise la décomposition LU pour le calcul, ce qui peut produire des erreurs d'arrondi en virgule flottante pour les grandes matrices. Un résultat comme 1,5E-15 est numériquement équivalent à 0 : la matrice est singulière.
Comprendre chaque paramètre de la fonction DETERMAT
matrice
: ta matrice carrée : même nombre de lignes et de colonnesElle peut être de taille 2x2, 3x3, 4x4, etc. Tu peux sélectionner directement une plage de cellules, ou utiliser le résultat d'une autre fonction matricielle comme argument.
Les cellules vides ou contenant du texte dans ta plage seront traitées comme des zéros, ce qui peut complètement changer le résultat sans générer d'erreur. Assure-toi que ta plage contient uniquement des valeurs numériques.
Attention : La matrice doit être carrée : =DETERMAT(A1:C2) avec 3 colonnes et 2 lignes renvoie #VALEUR!. Si tu as 3 lignes, sélectionne exactement 3 colonnes.
Exemples pratiques pas à pas
Ingénieur structures : vérifier qu'un système d'équations a une solution
Tu dois résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues pour calculer les forces dans une structure. Avant de te lancer dans les calculs, tu veux vérifier que le système est bien résolvable.
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | Colonne 1 | Colonne 2 | Colonne 3 |
| 2 | 2 | 1 | 3 |
| 3 | 1 | -1 | 2 |
| 4 | 3 | 2 | 1 |
=DETERMAT(A1:C3)La fonction calcule le déterminant de la matrice 3x3 et renvoie -12. Ce résultat non nul confirme que le système admet une solution unique : tu peux enchaîner avec INVERSEMAT et PRODUITMAT. Un déterminant nul aurait au contraire signalé une erreur de modélisation.
Astuce de pro : Avec un déterminant non nul, enchaîne : =PRODUITMAT(INVERSEMAT(A1:C3); E1:E3) pour résoudre le système AX = B directement, où E1:E3 contient le vecteur B.
Data scientist : détecter une dépendance linéaire
Tu analyses la corrélation entre plusieurs variables et tu suspectes que certaines sont redondantes. Le déterminant de la matrice de corrélation te donne la réponse.
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | Var1 | Var2 | Var3 |
| 2 | 1 | 0,8 | 0,9 |
| 3 | 0,8 | 1 | 0,98 |
| 4 | 0,9 | 0,98 | 1 |
=DETERMAT(A1:C3)Ici, la fonction renvoie le déterminant de la matrice de corrélation, 0,0036. Cette valeur très proche de 0 alerte sur un problème de multicolinéarité (tes trois variables sont fortement corrélées), ce qui peut rendre les coefficients d'une régression instables.
Attention : Un déterminant comme 1,5E-15 est numériquement 0 (erreur d'arrondi floating point). Utilise =SI(ABS(DETERMAT(A1:C3))<0,0001; 0; DETERMAT(A1:C3)) pour traiter ces cas.
Analyste quantitatif : mesurer la diversification d'un portefeuille
Tu travailles avec une matrice 2x2 représentant les rendements de deux actifs dans différents scénarios. Le déterminant te donne une mesure de la diversification réelle de ton portefeuille.
| A | B | |
|---|---|---|
| 1 | Scénario 1 | Scénario 2 |
| 2 | 0,12 | 0,08 |
| 3 | 0,05 | 0,15 |
=DETERMAT(A1:B2)La fonction calcule le déterminant de la matrice 2x2 et renvoie 0,014. Ce résultat non nul indique que tes deux actifs ne se comportent pas à l'identique selon les scénarios : ils offrent une vraie diversification. Un déterminant nul aurait trahi des actifs parfaitement corrélés.
Étudiant en mathématiques : identifier une matrice singulière
Tu veux vérifier qu'une matrice donnée en exercice est bien singulière (non inversible).
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | Col 1 | Col 2 | Col 3 |
| 2 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 2 | 4 | 6 |
| 4 | 3 | 6 | 9 |
=DETERMAT(A1:C3)La fonction renvoie 0, ce qui confirme que la matrice est singulière. Chaque ligne y est un multiple de la première (lignes linéairement dépendantes) : la matrice n'a pas d'inverse et tout système associé est privé de solution unique.
Astuces avancées avec DETERMAT
Workflow complet : vérifier avant d'inverser
Avant d'utiliser INVERSEMAT, vérifie toujours le déterminant : si =DETERMAT(A1:C3) renvoie 0 (ou une valeur infinitésimale), INVERSEMAT renverra une erreur. Intègre ce test dans ton workflow : =SI(ABS(DETERMAT(A1:C3))>0,0001; PRODUITMAT(INVERSEMAT(A1:C3);E1:E3); "Système sans solution unique").
Cela évite les erreurs #VALEUR! surprises en milieu de calcul.
Interpréter le signe et l'amplitude du déterminant
Pour une matrice 2x2, le déterminant représente l'aire du parallélogramme formé par les vecteurs colonnes. Pour une matrice 3x3, c'est le volume du parallélépipède. Un déterminant nul signifie une aire ou un volume nul : la figure est aplatie.
Le signe indique si la transformation préserve (+) ou inverse (-) l'orientation de l'espace, ce qui a une signification géométrique concrète en infographie ou en simulation physique.
Formule manuelle pour une matrice 2x2
Pour une matrice avec a, b en ligne 1 et c, d en ligne 2, le déterminant vaut (a × d) - (b × c). Tu peux vérifier DETERMAT manuellement avec =(A1*B2)-(B1*A2) pour une plage A1:B2.
Pour les matrices 3x3 et plus, la règle de Sarrus et la méthode des cofacteurs deviennent vite complexes, d'où l'utilité de DETERMAT.
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Les erreurs fréquentes avec la fonction DETERMAT
Avant même de regarder le résultat, regarde la forme de ta plage : neuf fois sur dix le #VALEUR! vient d'une matrice non carrée, comme A1:C2 qui mélange 3 colonnes et 2 lignes. DETERMAT exige autant de lignes que de colonnes, sinon le déterminant n'existe pas mathématiquement.
Les deux autres pièges sont plus sournois car ils ne déclenchent aucune erreur : un résultat minuscule du type 1,5E-15 qui est en réalité un zéro déguisé, et la confusion classique entre le déterminant (produit des valeurs propres) et la trace (leur somme).
Erreur #VALEUR! : matrice non carrée
C'est l'erreur la plus fréquente. Une plage rectangulaire comme A1:C2 (3 colonnes, 2 lignes) n'est pas carrée.
Solution : Sélectionne une plage carrée : pour 3 lignes, utilise exactement 3 colonnes. Vérifie les dimensions avec COLONNES(A1:C3) et LIGNES(A1:C3) qui doivent renvoyer la même valeur.
Déterminant infinitésimal au lieu de 0 : erreur numérique
Un résultat comme 1,5E-15 est dû aux erreurs d'arrondi du calcul en virgule flottante. Ce n'est pas vraiment différent de 0 : la matrice est numériquement singulière.
Solution : Traite les valeurs très petites comme des zéros : =SI(ABS(DETERMAT(A1:C3))<0,0001; 0; DETERMAT(A1:C3)). Adapte le seuil 0,0001 à l'ordre de grandeur de tes données.
Confondre déterminant et trace
Le déterminant est le produit des valeurs propres, tandis que la trace est leur somme (somme des éléments de la diagonale). Ces deux concepts sont souvent confondus.
Solution : Calcule la trace manuellement avec =SOMME(A1;B2;C3) pour une matrice 3x3 (les éléments diagonaux). Le déterminant est fourni par DETERMAT. Ce sont deux mesures différentes de la matrice.
Questions fréquentes sur la fonction DETERMAT
Qu'est-ce qu'un déterminant et à quoi sert-il ?
Le déterminant est un nombre unique associé à une matrice carrée. Il te permet de savoir si un système d'équations a une solution unique (déterminant non nul) ou pas (déterminant nul, matrice non inversible).
En géométrie, il représente le facteur d'échelle de la transformation linéaire : l'aire (en 2D) ou le volume (en 3D) d'une figure est multiplié par la valeur absolue du déterminant après transformation. C'est un outil fondamental en algèbre linéaire, en physique et en data science.
Que signifie un déterminant de 0 ?
Un déterminant de 0 signifie que ta matrice n'est pas inversible (on dit qu'elle est singulière). En pratique, cela veut dire que ton système d'équations n'a pas de solution unique : soit aucune solution, soit une infinité de solutions.
C'est un signal d'alerte : si tu tentes d'appliquer INVERSEMAT sur une matrice singulière, Excel renvoie une erreur. La cause physique est souvent qu'une équation du système est une combinaison linéaire des autres.
DETERMAT fonctionne-t-il avec des matrices non carrées ?
Non, DETERMAT nécessite une matrice carrée (même nombre de lignes et de colonnes). Si tu sélectionnes une plage rectangulaire, Excel renvoie #VALEUR!.
Le déterminant n'est mathématiquement défini que pour les matrices carrées. Pour les matrices rectangulaires, d'autres outils (rang, pseudo-inverse) permettent des analyses similaires, mais Excel ne les calcule pas directement.
Comment interpréter la valeur absolue du déterminant ?
La valeur absolue du déterminant représente un facteur d'échelle. Pour une matrice 2x2, c'est l'aire du parallélogramme formé par les vecteurs colonnes. Pour une matrice 3x3, c'est le volume du parallélépipède correspondant.
Plus le déterminant est grand en valeur absolue, plus la transformation est importante. Un déterminant proche de 0 (mais non nul) indique une transformation qui aplati fortement l'espace, souvent signe d'une matrice mal conditionnée.
DETERMAT fonctionne-t-il sur Google Sheets ?
Oui, mais la fonction s'appelle MDETERM sur Google Sheets (son nom anglais) au lieu de DETERMAT. La syntaxe reste identique : =MDETERM(matrice).
Les résultats sont généralement identiques, mais pour des matrices de grande taille ou des valeurs numériquement proches de la singularité, de légères différences d'arrondi peuvent apparaître entre les deux implémentations.
Pour aller plus loin
Les fonctions similaires : ABS, PUISSANCE, EQUATION.RANG, DROITEREG, ORDONNEE.ORIGINE
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