Qu'est-ce que la fonction DETERMAT ?
DETERMAT (MDETERM en anglais) te sert de test préalable avant d'aller plus loin dans un calcul matriciel : plutôt que de lancer une inversion qui échouera sans prévenir sur un système mal posé, tu vérifies d'abord, en une formule, si ta matrice s'y prête.
Que tu travailles en ingénierie structurale, en data science, en finance quantitative ou en mathématiques appliquées, DETERMAT est le premier réflexe avant d'utiliser INVERSEMAT ou PRODUITMAT pour résoudre un système linéaire.
Syntaxe
=DETERMAT(matrice)Clique sur un argument pour aller à son explication.
Excel utilise la décomposition LU pour le calcul, ce qui peut produire des erreurs d'arrondi en virgule flottante pour les grandes matrices. Un résultat comme 1,5E-15 est numériquement équivalent à 0 : la matrice est singulière.
Comprendre chaque paramètre de la fonction DETERMAT
matrice
: ta matrice carrée : même nombre de lignes et de colonnesElle peut être de taille 2x2, 3x3, 4x4, etc. Tu peux sélectionner directement une plage de cellules, ou utiliser le résultat d'une autre fonction matricielle comme argument.
Les cellules vides ou contenant du texte dans ta plage seront traitées comme des zéros, ce qui peut complètement changer le résultat sans générer d'erreur. Assure-toi que ta plage contient uniquement des valeurs numériques.
Attention : La matrice doit être carrée : =DETERMAT(A1:C2) avec 3 colonnes et 2 lignes renvoie #VALEUR!. Si tu as 3 lignes, sélectionne exactement 3 colonnes.
Exemples pratiques pas à pas
Comment calculer le déterminant d'une matrice 4×4 avec la fonction DETERMAT
Tu montes un modèle de quatre équations à quatre inconnues pour répartir des efforts dans une structure, et les seize coefficients sont saisis dans un carré de quatre lignes sur quatre colonnes. Avant d'aller plus loin, tu veux la certitude que ce système admet une solution unique, sinon tout le calcul qui suit ne vaut rien. La fonction DETERMAT réduit la matrice entière à un seul nombre qui répond à cette question.
- 1Dans une cellule, écris
=DETERMAT(. - 2En 1er argument : sélectionne le carré de coefficients à réduire,
A2:D5. Ce bloc couvre quatre lignes sur les quatre colonnesCol AàCol D, et la ligne d'en-têtes reste dehors parce qu'elle contient du texte là où la fonction DETERMAT attend des nombres. - 3Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée. La sélection doit rester carrée, autant de lignes que de colonnes, sans quoi le déterminant n'existe pas et la fonction n'a rien à calculer.
=DETERMAT(A2:D5)
Comment repérer une matrice singulière avec la fonction DETERMAT
On te transmet une matrice de coefficients et le calcul qui doit la traiter refuse de démarrer, sans t'expliquer pourquoi. Tu soupçonnes que les équations ne sont pas indépendantes, autrement dit que l'une n'est qu'une répétition déguisée d'une autre. La fonction DETERMAT tranche en une formule, sans que tu aies à comparer les lignes une par une.
- 1Dans une cellule, écris
=DETERMAT(. - 2En 1er argument : sélectionne les trois lignes de coefficients sur les trois colonnes
Col AàCol C,A2:C4. La fonction DETERMAT n'attend rien d'autre, tu n'as donc aucun séparateur à taper ensuite. - 3Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée. Devant le nombre obtenu, la seule question qui compte est de savoir s'il vaut zéro ou non, et non son amplitude.
=DETERMAT(A2:C4)
Comment tester si une matrice est inversible avec les fonctions DETERMAT, ABS et SI
Tu enchaînes des calculs matriciels sur des données qui changent tous les mois, et tu veux un test automatique qui bloque avant l'inversion quand la matrice ne s'y prête pas. Le piège, c'est qu'un déterminant théoriquement nul ne sort presque jamais à zéro pile : le calcul en virgule flottante laisse un résidu minuscule qui fait passer un test d'égalité à côté de la vérité. La parade consiste à comparer la grandeur du déterminant à un petit seuil plutôt qu'à zéro.
- 1Dans une cellule, écris
=SI(. - 2En 1er argument : écris la comparaison qui décide de tout et referme-la,
ABS(DETERMAT(A2:C4))<0,000001. La fonction DETERMAT ramène les neuf coefficients à un seul nombre, la fonction ABS n'en garde que la grandeur puisqu'un déterminant négatif vaut autant qu'un positif, et le seuil0,000001prend la place d'un test contre zéro pile. - 3En 2ᵉ argument : saisis le message renvoyé quand cette comparaison est vraie,
"Non inversible". Les guillemets sont obligatoires pour qu'Excel affiche ces deux mots tels quels au lieu de chercher à les interpréter. - 4En 3ᵉ argument : saisis le message du cas contraire,
"Inversible". C'est le seul verdict qui t'autorise à enchaîner sur une inversion de cette matrice. - 5Ferme la parenthèse de la fonction SI et appuie sur Entrée. Celles des fonctions ABS et DETERMAT ont déjà été refermées à l'intérieur de la comparaison.
=SI(ABS(DETERMAT(A2:C4))<0,000001; "Non inversible"; "Inversible")
Astuces avancées avec DETERMAT
Workflow complet : vérifier avant d'inverser
Avant d'utiliser INVERSEMAT, vérifie toujours le déterminant : si =DETERMAT(A1:C3) renvoie 0 (ou une valeur infinitésimale), INVERSEMAT renverra une erreur. Intègre ce test dans ton workflow : =SI(ABS(DETERMAT(A1:C3))>0,0001; PRODUITMAT(INVERSEMAT(A1:C3);E1:E3); "Système sans solution unique").
Cela évite les erreurs #VALEUR! surprises en milieu de calcul.
Interpréter le signe et l'amplitude du déterminant
Pour une matrice 2x2, le déterminant représente l'aire du parallélogramme formé par les vecteurs colonnes. Pour une matrice 3x3, c'est le volume du parallélépipède. Un déterminant nul signifie une aire ou un volume nul : la figure est aplatie.
Le signe indique si la transformation préserve (+) ou inverse (-) l'orientation de l'espace, ce qui a une signification géométrique concrète en infographie ou en simulation physique.
Formule manuelle pour une matrice 2x2
Pour une matrice avec a, b en ligne 1 et c, d en ligne 2, le déterminant vaut (a × d) - (b × c). Tu peux vérifier DETERMAT manuellement avec =(A1*B2)-(B1*A2) pour une plage A1:B2.
Pour les matrices 3x3 et plus, la règle de Sarrus et la méthode des cofacteurs deviennent vite complexes, d'où l'utilité de DETERMAT.
Les erreurs fréquentes avec la fonction DETERMAT
Avant même de regarder le résultat, regarde la forme de ta plage : neuf fois sur dix le #VALEUR! vient d'une matrice non carrée, comme A1:C2 qui mélange 3 colonnes et 2 lignes. DETERMAT exige autant de lignes que de colonnes, sinon le déterminant n'existe pas mathématiquement.
Les deux autres pièges sont plus sournois car ils ne déclenchent aucune erreur : un résultat minuscule du type 1,5E-15 qui est en réalité un zéro déguisé, et la confusion classique entre le déterminant (produit des valeurs propres) et la trace (leur somme).
Erreur #VALEUR! : matrice non carrée
C'est l'erreur la plus fréquente. Une plage rectangulaire comme A1:C2 (3 colonnes, 2 lignes) n'est pas carrée.
Solution : Sélectionne une plage carrée : pour 3 lignes, utilise exactement 3 colonnes. Vérifie les dimensions avec COLONNES(A1:C3) et LIGNES(A1:C3) qui doivent renvoyer la même valeur.
Déterminant infinitésimal au lieu de 0 : erreur numérique
Un résultat comme 1,5E-15 est dû aux erreurs d'arrondi du calcul en virgule flottante. Ce n'est pas vraiment différent de 0 : la matrice est numériquement singulière.
Solution : Traite les valeurs très petites comme des zéros : =SI(ABS(DETERMAT(A1:C3))<0,0001; 0; DETERMAT(A1:C3)). Adapte le seuil 0,0001 à l'ordre de grandeur de tes données.
Confondre déterminant et trace
Le déterminant est le produit des valeurs propres, tandis que la trace est leur somme (somme des éléments de la diagonale). Ces deux concepts sont souvent confondus.
Solution : Calcule la trace manuellement avec =SOMME(A1;B2;C3) pour une matrice 3x3 (les éléments diagonaux). Le déterminant est fourni par DETERMAT. Ce sont deux mesures différentes de la matrice.
Questions fréquentes
Le déterminant est un nombre unique associé à une matrice carrée. Il te permet de savoir si un système d'équations a une solution unique (déterminant non nul) ou pas (déterminant nul, matrice non inversible). En géométrie, il représente le facteur d'échelle de la transformation linéaire : l'aire (en 2D) ou le volume (en 3D) d'une figure est multiplié par la valeur absolue du déterminant après transformation. C'est un outil fondamental en algèbre linéaire, en physique et en data science.
Un déterminant de 0 signifie que ta matrice n'est pas inversible (on dit qu'elle est singulière). En pratique, cela veut dire que ton système d'équations n'a pas de solution unique : soit aucune solution, soit une infinité de solutions. C'est un signal d'alerte : si tu tentes d'appliquer INVERSEMAT sur une matrice singulière, Excel renvoie une erreur. La cause physique est souvent qu'une équation du système est une combinaison linéaire des autres.
Non, DETERMAT nécessite une matrice carrée (même nombre de lignes et de colonnes). Si tu sélectionnes une plage rectangulaire, Excel renvoie #VALEUR!.
Le déterminant n'est mathématiquement défini que pour les matrices carrées. Pour les matrices rectangulaires, d'autres outils (rang, pseudo-inverse) permettent des analyses similaires, mais Excel ne les calcule pas directement.
La valeur absolue du déterminant représente un facteur d'échelle. Pour une matrice 2x2, c'est l'aire du parallélogramme formé par les vecteurs colonnes. Pour une matrice 3x3, c'est le volume du parallélépipède correspondant. Plus le déterminant est grand en valeur absolue, plus la transformation est importante. Un déterminant proche de 0 (mais non nul) indique une transformation qui aplati fortement l'espace, souvent signe d'une matrice mal conditionnée.
Oui, mais la fonction s'appelle MDETERM sur Google Sheets (son nom anglais) au lieu de DETERMAT. La syntaxe reste identique : =MDETERM(matrice).
Les résultats sont généralement identiques, mais pour des matrices de grande taille ou des valeurs numériquement proches de la singularité, de légères différences d'arrondi peuvent apparaître entre les deux implémentations.
Pour aller plus loin
Continue sur ta lancée après la fonction DETERMAT : la leçon associée, un modèle prêt à l'emploi et le guide pour progresser.
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