Fonction DETERMAT ExcelGuide Complet 2026
La fonction DETERMAT te permet de calculer le déterminant d'une matrice carrée. Ce nombre unique te révèle des propriétés essentielles : ta matrice est-elle inversible ? Ton système d'équations a-t-il une solution unique ? Que tu travailles en ingénierie, en data science ou en finance quantitative, DETERMAT est ton outil pour résoudre des problèmes d'algèbre linéaire directement dans Excel.
Syntaxe de la fonction DETERMAT
La syntaxe de DETERMAT est très simple : tu lui donnes une matrice carrée, et elle te retourne son déterminant sous forme d'un nombre unique.
=DETERMAT(matrice)Comprendre chaque paramètre de la fonction DETERMAT
matrice
(obligatoire)C'est ta matrice carrée (même nombre de lignes et de colonnes). Elle peut être de taille 2×2, 3×3, 4×4, etc. Tu peux sélectionner directement une plage de cellules, ou utiliser le résultat d'une autre fonction matricielle comme argument.
Conseil : La matrice doit être carrée ! Si tu as 3 lignes, tu dois avoir exactement 3 colonnes. Sinon, Excel te retournera une erreur #VALEUR!.
Attention : Les cellules vides ou contenant du texte dans ta matrice seront traitées comme des zéros, ce qui peut complètement changer le résultat. Vérifie bien que ta plage contient uniquement des valeurs numériques !
Comment interpréter le déterminant ?
Le déterminant est un nombre qui te révèle des informations cruciales sur ta matrice. Voici les trois cas principaux que tu rencontreras :
Déterminant = 0
Ta matrice n'est pas inversible. Ton système d'équations n'a pas de solution unique. C'est un signal d'alerte : tes équations sont dépendantes ou contradictoires.
Déterminant positif
Ta matrice est inversible et préserve l'orientation. Ton système d'équations a une solution unique. La transformation associée ne "retourne" pas l'espace.
Déterminant négatif
Ta matrice est inversible mais inverse l'orientation. Ton système a une solution unique, mais la transformation associée "retourne" l'espace (comme un miroir).
Astuce visuelle : Pour une matrice 2×2, le déterminant te donne l'aire du parallélogramme formé par les vecteurs colonnes. Pour une matrice 3×3, c'est le volume du parallélépipède. Un déterminant nul signifie une aire ou un volume nul (forme écrasée).
Exemples pratiques pas à pas
Exemple 1 – Ingénieur : vérifier qu'un système d'équations a une solution
Tu es ingénieur en structures et tu dois résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues pour calculer les forces dans une structure. Avant de te lancer dans les calculs, tu veux vérifier que le système est bien résolvable.
Déterminant = -12 → Le système a une solution unique ! Tu peux calculer les forces.
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | Colonne 1 | Colonne 2 | Colonne 3 |
| 2 | 2 | 1 | 3 |
| 3 | 1 | -1 | 2 |
| 4 | 3 | 2 | 1 |
=DETERMAT(A1:C3)Avec un déterminant de -12 (non nul), tu es sûr que ton système d'équations a une solution unique. Tu peux maintenant utiliser INVERSEMAT et PRODUITMAT pour trouver les valeurs des forces. Si le déterminant avait été 0, cela aurait signifié une erreur dans la modélisation de ta structure.
Exemple 2 – Data scientist : détecter une dépendance linéaire
Tu es data scientist et tu analyses la corrélation entre plusieurs variables. Tu suspectes que certaines variables sont redondantes (l'une est une combinaison linéaire des autres). Le déterminant de la matrice de corrélation te donnera la réponse.
Déterminant ≈ 0 → Attention ! Tes variables sont presque colinéaires. Risque de multicolinéarité.
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | Var1 | Var2 | Var3 |
| 2 | 1 | 0,8 | 0,9 |
| 3 | 0,8 | 1 | 0,98 |
| 4 | 0,9 | 0,98 | 1 |
=DETERMAT(A1:C3)Un déterminant très proche de 0 (0,0036) t'alerte sur un problème de multicolinéarité. Tes trois variables sont fortement corrélées entre elles. Dans un modèle de régression, cela peut rendre les coefficients instables. Tu devrais envisager d'enlever l'une des variables ou d'utiliser une technique de réduction de dimension comme l'ACP.
Exemple 3 – Analyste financier : calculer l'aire d'un portefeuille
Tu es analyste quantitatif en finance. Tu travailles avec une matrice 2×2 représentant les rendements de deux actifs dans différents scénarios. Le déterminant te donne une mesure de la diversification réelle de ton portefeuille.
Déterminant = 0,014 → Les deux actifs ont des comportements suffisamment différents. Bonne diversification.
| A | B | |
|---|---|---|
| 1 | Scénario 1 | Scénario 2 |
| 2 | 0,12 | 0,08 |
| 3 | 0,05 | 0,15 |
=DETERMAT(A1:B2)Le déterminant positif de 0,014 indique que tes deux actifs ne sont pas parfaitement corrélés. Ils offrent une vraie diversification. Si le déterminant avait été 0, cela aurait signifié que les deux actifs se comportent de manière identique dans tous les scénarios, donc aucun bénéfice de diversification.
Exemple 4 – Étudiant en mathématiques : matrice singulière
Tu es étudiant en mathématiques et tu veux vérifier qu'une matrice donnée en exercice est bien singulière (non inversible).
Déterminant = 0 → Matrice singulière confirmée ! La deuxième ligne est 2× la première, la troisième est 3× la première.
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | Col 1 | Col 2 | Col 3 |
| 2 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 2 | 4 | 6 |
| 4 | 3 | 6 | 9 |
=DETERMAT(A1:C3)Le déterminant de 0 confirme que ta matrice est singulière. En observant les données, on voit que chaque ligne est un multiple de la première : elles sont linéairement dépendantes. Cette matrice n'a pas d'inverse, et tout système d'équations associé n'a pas de solution unique.
Comment se calcule le déterminant ?
DETERMAT fait les calculs pour toi, mais comprendre la logique peut t'aider à anticiper les résultats. Voici les formules selon la taille de la matrice :
Matrice 2×2
Pour une matrice avec a, b en première ligne et c, d en deuxième ligne :
C'est la formule la plus simple. Tu multiplies en diagonale puis tu soustrais.
Matrice 3×3 et plus
Pour les matrices 3×3 et plus grandes, Excel utilise la méthode des cofacteurs ou la décomposition LU. Le calcul devient rapidement complexe à la main, d'où l'utilité de DETERMAT !
Bon à savoir : Pour une matrice 3×3, tu peux utiliser la règle de Sarrus (diagonales). Au-delà, laisse Excel s'en charger !
Les erreurs fréquentes et comment les éviter
Erreur #VALEUR! : matrice non carrée
C'est l'erreur la plus fréquente. Tu as sélectionné une plage rectangulaire au lieu d'une plage carrée.
Déterminant très proche de 0 : problème numérique
Si tu obtiens un déterminant comme 1,5E-15 (0,0000000000000015), ce n'est pas vraiment différent de 0. C'est dû aux erreurs d'arrondi du calcul en virgule flottante.
Solution : Utilise la fonction SI() pour traiter les valeurs très petites comme des zéros : =SI(ABS(DETERMAT(A1:C3)) inférieur à 0,0001; 0; DETERMAT(A1:C3))
Confondre déterminant et trace
Le déterminant est le produit des valeurs propres, tandis que la trace est leur somme. Ce sont deux concepts différents ! La trace se calcule simplement en additionnant les éléments de la diagonale avec SOMME().
Workflow : résoudre un système d'équations
Voici comment utiliser DETERMAT dans un processus complet de résolution d'un système d'équations matriciel AX = B :
Vérifie que le système est résolvable
=DETERMAT(A1:C3)Si le résultat est 0, arrête-toi : pas de solution unique possible.
Calcule la matrice inverse
=INVERSEMAT(A1:C3)Sélectionne une plage 3×3 vide, tape la formule, puis Ctrl+Maj+Entrée.
Multiplie l'inverse par le vecteur B
=PRODUITMAT(INVERSEMAT(A1:C3); E1:E3)Tu obtiens la solution X de ton système !
Raccourci : Tu peux aussi utiliser la fonction DROITEREG() pour résoudre certains systèmes linéaires, surtout dans un contexte de régression.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'un déterminant et à quoi sert-il ?
Le déterminant est un nombre unique associé à une matrice carrée. Il te permet de savoir si un système d'équations a une solution unique (déterminant non nul) ou pas (déterminant nul). C'est essentiel en algèbre linéaire, en géométrie et en physique.
Que signifie un déterminant de 0 ?
Un déterminant de 0 signifie que ta matrice n'est pas inversible. En pratique, cela veut dire que ton système d'équations n'a pas de solution unique (soit aucune solution, soit une infinité de solutions). C'est un signal d'alerte important !
DETERMAT fonctionne-t-il avec des matrices non carrées ?
Non, DETERMAT nécessite une matrice carrée (même nombre de lignes et de colonnes). Si tu essaies avec une matrice rectangulaire, Excel te retournera une erreur #VALEUR!.
Comment interpréter la valeur du déterminant ?
La valeur absolue du déterminant représente un facteur d'échelle. Par exemple, pour une matrice 2×2, le déterminant te donne l'aire du parallélogramme formé par les vecteurs colonnes. Plus le déterminant est grand (en valeur absolue), plus la transformation est importante.
DETERMAT fonctionne-t-il sur Google Sheets ?
Oui, mais la fonction s'appelle MDETERM sur Google Sheets (au lieu de DETERMAT). La syntaxe reste identique : =MDETERM(matrice). Attention à cette différence de nom !
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