La fonction INVERSEMAT (MINVERSE en anglais) calcule l'inverse d'une matrice carrée : tu lui donnes une matrice A, elle te retourne A⁻¹ telle que A×A⁻¹ donne la matrice identité. C'est l'outil indispensable dès que tu travailles avec de l'algèbre matricielle dans Excel.
Concrètement, elle te sert à résoudre des systèmes d'équations linéaires en quelques secondes, à calculer les poids optimaux d'un portefeuille financier selon la théorie de Markowitz, ou à obtenir les coefficients d'une régression linéaire multiple manuellement. Si tu travailles en ingénierie, en finance ou en data science, INVERSEMAT te fait gagner des heures de calculs.
Syntaxe de la fonction INVERSEMAT
=INVERSEMAT(matrice)INVERSEMAT est une formule matricielle : sélectionne d'abord une plage vide de la même taille que ta matrice, tape la formule, puis valide avec Ctrl+Maj+Entrée. Sur Excel 365, la validation automatique des formules matricielles rend Ctrl+Maj+Entrée inutile.
Comprendre chaque paramètre de la fonction INVERSEMAT
matrice
: la matrice carrée à inverserElle doit obligatoirement avoir le même nombre de lignes et de colonnes (2×2, 3×3, 4×4, etc.). De plus, son déterminant doit être différent de zéro : si la matrice est singulière (déterminant = 0), Excel ne peut pas calculer l'inverse et retourne #NOMBRE!.
Tu peux passer une plage de cellules (A1:C3 pour une matrice 3×3) ou une constante matricielle directement dans la formule. Dans tous les cas, Excel attend des valeurs numériques : une cellule vide ou contenant du texte dans la plage provoque une erreur #VALEUR!.
Astuce : Avant d'inverser une matrice, vérifie son déterminant avec DETERMAT. Si le résultat est proche de zéro (par exemple 0,0001), ta matrice est mal conditionnée et l'inverse sera très imprécis à cause des erreurs d'arrondi.
Attention : INVERSEMAT ne fonctionne pas sur les matrices rectangulaires. Si tu passes une plage non carrée, Excel retourne immédiatement #VALEUR!.
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Exemples pratiques pas à pas
Ingénieur : résoudre un système d'équations linéaires
Tu es ingénieur structure et tu dois résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues pour calculer les forces dans une charpente : 2x + y + z = 8 ; x + 3y + 2z = 17 ; x + y + 4z = 18. Plutôt que de résoudre manuellement par substitution, tu passes par l'algèbre matricielle.
Sélectionne une plage vide de 3 lignes × 3 colonnes, tape =INVERSEMAT(A1:C3) et valide avec Ctrl+Maj+Entrée. Excel remplit la plage avec la matrice inverse. Tu multiplies ensuite cette matrice inverse par le vecteur des résultats (8, 17, 18) via PRODUITMAT pour obtenir x = 1, y = 3, z = 4. Problème résolu en quelques secondes.
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | Col A | Col B | Col C |
| 2 | 2 | 1 | 1 |
| 3 | 1 | 3 | 2 |
| 4 | 1 | 1 | 4 |
=INVERSEMAT(A1:C3)Astuce de pro : Pour vérifier que ton calcul est correct, multiplie ta matrice d'origine par son inverse avec =PRODUITMAT(A1:C3; INVERSEMAT(A1:C3)). Tu dois obtenir la matrice identité : 1 sur la diagonale, 0 partout ailleurs (les valeurs proches de 1E-15 sont normales, ce sont des arrondis informatiques).
Analyste financier : optimisation de portefeuille
Tu es analyste financier et tu travailles sur l'optimisation d'un portefeuille de trois actions selon la théorie moderne de Markowitz. Pour calculer les poids optimaux qui minimisent le risque global, tu as besoin de l'inverse de la matrice de covariance des rendements.
Sélectionne une plage 3×3 vide, tape =INVERSEMAT(A1:C3) et valide matriciellement. L'inverse de la matrice de covariance est ensuite combiné avec les rendements espérés pour obtenir les pondérations optimales du portefeuille. Sans INVERSEMAT, ce calcul nécessiterait un logiciel spécialisé.
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | Action A | Action B | Action C |
| 2 | 0,04 | 0,01 | 0,02 |
| 3 | 0,01 | 0,09 | 0,03 |
| 4 | 0,02 | 0,03 | 0,16 |
=INVERSEMAT(A1:C3)Data scientist : régression linéaire multiple
Tu es data scientist et tu veux calculer manuellement les coefficients bêta d'une régression linéaire multiple, sans recourir à DROITEREG. La formule classique est : bêta = (X'X)⁻¹ × X'Y, où X'X est la matrice des produits croisés des variables explicatives.
Tu construis la matrice X'X dans les colonnes A à C, tu l'inverses avec =INVERSEMAT(A1:C3), puis tu multiplies le résultat par la matrice X'Y avec PRODUITMAT. Cela te donne les coefficients de régression et te permet de comprendre le calcul sous-jacent, utile notamment pour identifier des problèmes de multicolinéarité.
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | X'X col 1 | X'X col 2 | X'X col 3 |
| 2 | 120 | 45 | 30 |
| 3 | 45 | 25 | 15 |
| 4 | 30 | 15 | 18 |
=INVERSEMAT(A1:C3)Envie de t'entraîner sur de vrais exercices Excel ?
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Les erreurs fréquentes avec la fonction INVERSEMAT
Avec INVERSEMAT, les ennuis viennent soit des maths, soit de la manière dont tu valides. Côté maths, une matrice dont le déterminant tombe à zéro n'a tout simplement pas d'inverse et te renvoie #NOMBRE! ; et quand ce déterminant est minuscule sans être nul, l'inverse existe mais devient si instable que le résultat n'est plus fiable.
Côté saisie, sur Excel 2019 ou antérieur, oublier Ctrl+Maj+Entrée te donne une seule valeur au lieu de toute la matrice. Le réflexe qui désamorce la moitié de ces cas : passer par DETERMAT avant d'inverser.
Matrice singulière : erreur #NOMBRE!
La matrice n'a pas d'inverse parce que son déterminant est zéro. Cela arrive quand deux lignes (ou deux colonnes) sont proportionnelles : la troisième ligne est par exemple 2× la première, ce qui rend les équations dépendantes.
Solution : Calcule d'abord le déterminant avec =DETERMAT(A1:C3). Si le résultat est zéro (ou très proche), revois tes données : vérifie qu'aucune ligne n'est une combinaison linéaire des autres. Assure-toi aussi que la matrice est bien carrée.
Oublier Ctrl+Maj+Entrée sur les versions classiques
Si tu valides avec Entrée simple sur Excel 2019 ou antérieur, Excel n'affiche qu'une seule valeur au lieu de toute la matrice inverse. La formule n'est pas reconnue comme matricielle.
Solution : Sélectionne d'abord une plage vide de la même taille que ta matrice, tape la formule, puis valide avec Ctrl+Maj+Entrée. Des accolades doivent apparaître autour de la formule dans la barre de formule : {=INVERSEMAT(A1:C3)}.
Matrice mal conditionnée : résultat très imprécis
Même si la matrice a techniquement un inverse, un déterminant très proche de zéro (par exemple 0,0001) rend l'inverse numériquement instable. Les erreurs d'arrondi s'accumulent et le résultat est peu fiable.
Solution : Vérifie le déterminant avec DETERMAT avant d'inverser. Si sa valeur absolue est très petite par rapport aux valeurs de la matrice, reconsidère la mise en forme de tes données ou utilise une normalisation préalable.
Astuces avancées avec INVERSEMAT
Vérifier le résultat avec la matrice identité
Après avoir calculé une matrice inverse, multiplie-la par la matrice d'origine avec =PRODUITMAT(A1:C3; INVERSEMAT(A1:C3)). Tu dois obtenir la matrice identité : des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.
Si les valeurs hors-diagonale ne sont pas rigoureusement zéro (ex. 2,5E-16), c'est normal : ce sont des erreurs d'arrondi informatiques inévitables, pas un signe d'erreur.
Excel 365 : fini le Ctrl+Maj+Entrée
Avec Excel 365 et son moteur de calcul matriciel dynamique, =INVERSEMAT(A1:C3) saisie dans une seule cellule déverse automatiquement tout le résultat dans les cellules adjacentes, sans validation spéciale.
Si tu dois partager le fichier avec des utilisateurs sur des versions antérieures (2016, 2019), documente que la formule doit être revalidée en matriciel sur ces versions.
Questions fréquentes sur la fonction INVERSEMAT
Toutes les matrices ont-elles une inverse ?
Non. Seules les matrices carrées (même nombre de lignes et de colonnes) dont le déterminant est différent de zéro ont une inverse. On les appelle matrices non singulières ou matrices inversibles. Si tu essaies d'inverser une matrice singulière (déterminant = 0), Excel retourne #NOMBRE!.
À quoi sert concrètement l'inverse d'une matrice ?
L'inverse te permet de résoudre des systèmes d'équations linéaires. Au lieu de résoudre manuellement A×X=B par substitution, tu calcules X = A⁻¹×B avec INVERSEMAT et PRODUITMAT. C'est aussi une brique essentielle en optimisation de portefeuille, en régression linéaire multiple et en ingénierie des structures.
Comment vérifier que mon calcul est correct ?
Multiplie ta matrice d'origine par son inverse avec PRODUITMAT. Le résultat doit être la matrice identité : 1 sur la diagonale, 0 partout ailleurs. Les valeurs comme 1E-15 ne sont pas des erreurs : ce sont des arrondis liés à la précision numérique d'Excel.
Puis-je inverser une matrice rectangulaire ?
Non, INVERSEMAT ne fonctionne que sur les matrices carrées. Pour les matrices rectangulaires, la pseudo-inverse (ou inverse de Moore-Penrose) est théoriquement possible, mais elle n'est pas disponible directement dans Excel. Tu devrais la calculer manuellement via une décomposition.
Pourquoi Excel me retourne #NOMBRE! ?
Cette erreur indique que ta matrice n'a pas d'inverse, généralement parce que son déterminant est zéro (matrice singulière). Vérifie que toutes tes lignes sont indépendantes (aucune ne doit être une combinaison linéaire des autres) et que la matrice est bien carrée.
INVERSEMAT est-elle disponible sur Google Sheets ?
Oui. La syntaxe est identique : =INVERSEMAT(matrice). La différence principale est que Google Sheets gère nativement les formules matricielles sans Ctrl+Maj+Entrée, comme Excel 365.
Pour aller plus loin
Les fonctions similaires : PRODUITMAT, DETERMAT, TRANSPOSE, SOMMEPROD, DROITEREG
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