Fonction ERF ExcelGuide Complet 2026
La fonction ERF (Error Function - fonction d'erreur de Gauss) calcule l'intégrale de la distribution normale de probabilité entre 0 et une limite donnée (ou entre deux limites). Elle est essentielle en physique, ingénierie et analyse statistique pour modéliser les phénomènes de diffusion, de propagation d'erreurs et de probabilités normales. Une fonction puissante pour tout ce qui touche aux distributions gaussiennes.
Syntaxe de la fonction ERF
ERF peut s'utiliser avec un ou deux paramètres. Avec un seul paramètre, elle calcule l'intégrale de 0 à cette limite. Avec deux paramètres, elle calcule entre les deux limites.
=ERF(limite_inférieure; [limite_supérieure])Comprendre chaque paramètre de la fonction ERF
limite_inférieure
(obligatoire)La limite inférieure de l'intégrale. Si tu fournis uniquement ce paramètre, ERF calcule l'intégrale de 0 jusqu'à cette limite. C'est un nombre réel qui peut être positif ou négatif. Plus cette valeur est élevée, plus le résultat approche de 1 (ou -1 si négatif).
Valeurs typiques : ERF(0) = 0, ERF(1) ≈ 0,843, ERF(2) ≈ 0,995, ERF(3) ≈ 0,9999. Au-delà de 3, la fonction approche asymptotiquement 1. Les valeurs négatives donnent des résultats négatifs symétriques : ERF(-x) = -ERF(x).
limite_supérieure
(optionnel)La limite supérieure de l'intégrale (optionnel). Si tu la fournis, ERF calcule l'intégrale entre limite_inférieure et limite_supérieure. C'est équivalent à calculer ERF(limite_sup) - ERF(limite_inf). Très utile pour calculer des probabilités dans un intervalle spécifique.
Astuce : Si tu veux calculer la probabilité entre deux valeurs, utilise les deux paramètres. Par exemple, =ERF(0,5; 1,5) te donne directement l'intégrale entre 0,5 et 1,5 sans avoir à faire la soustraction toi-même.
Comment interpréter le résultat ?
ERF retourne une valeur entre -1 et +1. Cette valeur représente l'intégrale normalisée de la fonction d'erreur gaussienne. Plus tu t'éloignes de 0, plus le résultat approche de 1 (ou -1 pour les valeurs négatives).
ERF(1) ≈ 0,843
84,3% de l'aire sous la courbe de 0 à 1. Correspond environ à 1,13 écarts-types dans une distribution normale.
ERF(2) ≈ 0,995
99,5% de l'aire sous la courbe de 0 à 2. Presque toute la probabilité est capturée dans cet intervalle.
ERF(-1) ≈ -0,843
Valeur négative symétrique. ERF est une fonction impaire : ERF(-x) = -ERF(x) pour toute valeur x.
Relation avec la loi normale : ERF est directement liée à la distribution normale standard. Pour convertir une valeur z de la loi normale vers ERF : ERF(z/√2). Inversement, pour obtenir une probabilité normale depuis ERF : P(0 à z) = ERF(z/√2) / 2.
Exemples pratiques pas à pas
Exemple 1 – Statisticien : calculer des probabilités normales
Tu es statisticien et tu travailles sur une distribution normale. Tu veux calculer la probabilité qu'une variable standardisée se trouve entre 0 et 1,5 écarts-types. Tu utilises ERF pour obtenir cette probabilité directement.
Pour une distribution normale, il y a 43,3% de chances d'être entre la moyenne et +1,5 écarts-types
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Valeur z | Formule | Résultat | Interprétation |
| 2 | 1,5 | =ERF(1,5/RACINE(2)) | 0,866 | Pour distribution normale |
| 3 | =ERF(1,5/RACINE(2))/2 | 0,433 | Probabilité entre 0 et z | |
| 4 | ||||
| 5 | 43,3% de probabilité |
=ERF(1,5/RACINE(2))/2La division par √2 (RACINE(2) en Excel) convertit la valeur z de la distribution normale standard vers l'échelle ERF. Ensuite, tu divises par 2 pour obtenir la probabilité unilatérale. Cette approche est très utilisée en statistiques inférentielles.
Exemple 2 – Ingénieur qualité : modélisation de diffusion thermique
Tu es ingénieur qualité dans l'industrie électronique. Tu modélises la diffusion thermique dans un composant. La température suit un profil gaussien, et tu veux connaître la proportion de chaleur diffusée dans différentes zones. ERF est LA fonction pour ce type de problème.
84,3% de la chaleur s'est diffusée jusqu'à 10 mm. Entre 5 et 15 mm : 44,6%
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | Distance (mm) | Formule ERF | Diffusion (%) |
| 2 | 0 à 5 | =ERF(5/10) | 52,0% |
| 3 | 0 à 10 | =ERF(10/10) | 84,3% |
| 4 | 0 à 15 | =ERF(15/10) | 96,6% |
| 5 | 5 à 15 | =ERF(5/10; 15/10) | 44,6% |
=ERF(10/10)Dans cet exemple, le paramètre 10 est la distance caractéristique de diffusion (équivalent à l'écart-type). Tu vois que 84% de la chaleur se diffuse sur une distance égale à cette caractéristique. L'utilisation des deux paramètres te permet de calculer la diffusion dans un intervalle spécifique (5 à 15 mm).
Exemple 3 – Data scientist : analyse de signaux bruités
Tu es data scientist et tu analyses des signaux avec du bruit gaussien. Tu veux estimer la probabilité qu'un signal mesuré se trouve dans une certaine plage autour de la vraie valeur. ERF te permet de quantifier cette incertitude.
Probabilité de 95,4% que le signal soit dans ±2 écarts-types (intervalle de confiance 95%)
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | Intervalle (σ) | Formule | Probabilité |
| 2 | ±1σ | =2*ERF(1/RACINE(2)) | 68,3% |
| 3 | ±2σ | =2*ERF(2/RACINE(2)) | 95,4% |
| 4 | ±3σ | =2*ERF(3/RACINE(2)) | 99,7% |
| 5 | 0,5σ à 2σ | =ERF(0,5/RACINE(2); 2/RACINE(2)) | 28,8% |
=2*ERF(2/RACINE(2))Ces calculs te permettent d'établir des intervalles de confiance pour tes mesures. Le facteur 2 devant ERF provient du fait qu'on veut l'intervalle symétrique (des deux côtés de la moyenne). Tu retrouves les fameux 68-95-99,7 de la règle empirique, calculés ici avec ERF.
Les erreurs fréquentes et comment les éviter
Oublier la conversion pour la distribution normale
ERF utilise une échelle différente de la distribution normale standard. Pour convertir une valeur z (nombre d'écarts-types) vers l'échelle ERF, tu dois diviser par √2.
Confondre ERF et la fonction de répartition normale
ERF n'est PAS directement la probabilité de la loi normale. Pour obtenir la probabilité cumulative P(X ≤ z) d'une loi normale, tu dois utiliser la formule de conversion.
Inverser les limites inférieure et supérieure
Quand tu utilises deux paramètres, l'ordre compte ! ERF(a; b) calcule l'intégrale de a à b. Si a > b, le résultat sera négatif (intégrale dans le sens inverse). Assure-toi que limite_inférieure < limite_supérieure pour un résultat positif.
Relations mathématiques et conversions
ERF est liée à plusieurs autres fonctions statistiques et mathématiques. Voici les formules de conversion les plus utiles :
ERF et distribution normale standard
P(0 à z) = ERF(z/√2) / 2Pour obtenir la probabilité entre 0 et z écarts-types
ERF et LOI.NORMALE.STANDARD
LOI.NORMALE.STANDARD(z) = 0,5 + ERF(z/√2) / 2Pour convertir ERF en probabilité cumulative
ERF et GAUSS
GAUSS(z) = ERF(z/√2) / 2GAUSS utilise directement l'échelle des écarts-types
Intervalle symétrique avec ERF
P(-z à +z) = ERF(z/√2)Pour calculer la probabilité dans un intervalle symétrique
Astuce pro : Pour simplifier tes calculs, crée une cellule avec =RACINE(2) et nomme-la "racine2" (Formules → Gestionnaire de noms). Tu pourras ensuite écrire =ERF(z/racine2) au lieu de =ERF(z/RACINE(2)), ce qui rend tes formules plus lisibles.
Questions fréquentes
Quelle différence entre ERF et GAUSS ?
ERF et GAUSS sont mathématiquement liées mais utilisent des échelles différentes. GAUSS(z) travaille directement avec z écarts-types et te donne la probabilité entre la moyenne et z. ERF utilise une échelle normalisée différente.
La relation est : GAUSS(z) = ERF(z/√2) / 2. En pratique, utilise GAUSS pour les statistiques (plus intuitif avec les écarts-types), et ERF pour la physique et l'ingénierie (convention standard dans ces domaines).
Comment interpréter le résultat de ERF ?
Le résultat de ERF est une valeur entre -1 et 1. ERF(0) = 0, ERF(+∞) = 1, et ERF(-x) = -ERF(x). Par exemple, ERF(1) ≈ 0,843 signifie que 84,3% de l'aire sous la courbe gaussienne normalisée se trouve entre 0 et 1. Plus tu t'éloignes de 0, plus ERF approche de ±1.
À quoi sert le paramètre limite_supérieure ?
Si tu fournis une limite_supérieure, ERF calcule l'intégrale entre limite_inférieure et limite_supérieure. C'est équivalent à : =ERF(limite_sup) - ERF(limite_inf). Par exemple, =ERF(0,5; 1,5) te donne directement l'intégrale entre 0,5 et 1,5 sans avoir à faire la soustraction manuellement. Très pratique pour calculer des probabilités dans un intervalle !
Dans quels domaines utilise-t-on ERF ?
ERF est fondamentale en physique (diffusion thermique, mécanique quantique, optique), en ingénierie (traitement du signal, télécommunications, contrôle qualité), en probabilités (distribution normale, processus stochastiques) et en finance (modèles de risque, options). Partout où apparaît une gaussienne, ERF n'est jamais loin !
ERF est-elle disponible dans toutes les versions d'Excel ?
ERF est disponible depuis Excel 2007 dans toutes les éditions (Windows, Mac, Excel Online). Si tu utilises Excel 2003 ou antérieur, ERF n'est pas disponible nativement. Tu devras alors utiliser le complément "Analysis ToolPak" ou créer une approximation numérique avec une formule personnalisée.
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