Fonction LOI.LOGNORMALE.N ExcelGuide Complet 2026
La fonction LOI.LOGNORMALE.N d'Excel calcule la distribution log-normale, fondamentale pour modeliser les variables strictement positives en finance, economie et assurance. Si tu travailles avec des prix d'actions, des salaires ou des montants de sinistres, cette distribution est ton alliee incontournable.
Le principe est simple : si X suit une loi log-normale, alors ln(X) suit une loi normale de parametres mu et sigma. Cette construction mathematique garantit que X est toujours positif et capture l'asymetrie typique des distributions economiques ou la moyenne depasse la mediane. Tu retrouves cette logique au coeur du modele Black-Scholes pour la valorisation des options.
Dans ce guide complet, tu vas apprendre a maitriser LOI.LOGNORMALE.N avec des exemples concrets de modelisation de prix d'actions, d'analyse de distributions salariales, et de provisionnement en assurance. Tu decouvriras comment estimer les parametres a partir de tes donnees, calculer les quantiles de risque, et interpreter correctement la relation entre parametres et statistiques de la distribution.
Syntaxe de la fonction LOI.LOGNORMALE.N
x
(obligatoire)La valeur pour laquelle tu calcules la probabilite. Doit etre strictement positive (>0). Represente typiquement un prix, un salaire, un montant de sinistre ou toute variable economique positive.
moyenne
(obligatoire)La moyenne mu du logarithme de X, pas de X directement. C'est le parametre de position de la distribution normale sous-jacente de ln(X). Peut etre positif, negatif ou nul.
ecart_type
(obligatoire)L'ecart-type sigma du logarithme de X. Doit etre strictement positif (>0). Controle la dispersion et l'asymetrie de la distribution log-normale.
cumulative
(obligatoire)VRAI pour la fonction de repartition P(X <= x), FAUX pour la densite de probabilite f(x). Utilise VRAI pour les probabilites et quantiles de risque.
Important : Les parametres mu et sigma caracterisent la distribution de ln(X), pas de X. La mediane de X = e^mu, la moyenne de X = e^(mu + sigma^2/2). Pour sigma > 0, la moyenne est toujours superieure a la mediane.
Comprendre la distribution log-normale
La distribution log-normale emerge naturellement des phenomenes multiplicatifs. Si une variable croit par un facteur aleatoire a chaque periode (comme un prix d'action avec des rendements aleatoires), le produit de nombreux facteurs suit approximativement une loi log-normale. C'est une consequence directe du theoreme central limite applique aux produits : le logarithme d'un produit etant une somme, ln(X) tend vers une normale.
Contrairement a la distribution normale, la log-normale est toujours asymetrique a droite avec une queue etendue vers les grandes valeurs. Cette caracteristique correspond a la realite de nombreuses variables economiques : quelques observations tres elevees (salaires de PDG, sinistres catastrophiques) tirent la moyenne bien au-dessus de la mediane.
Les relations cles pour la log-normale X avec parametres mu et sigma sont : Mediane = e^mu (le point ou 50% des observations sont inferieures), Moyenne = e^(mu + sigma^2/2) (toujours superieure a la mediane), Mode = e^(mu - sigma^2) (la valeur la plus frequente), Variance = e^(2*mu + sigma^2) * (e^(sigma^2) - 1).
Proprietes selon les parametres
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Parametres | Mediane | Moyenne | Mode | Asymetrie |
| 2 | mu=0, sigma=0.25 | 1.00 | 1.03 | 0.94 | 0.78 |
| 3 | mu=0, sigma=0.50 | 1.00 | 1.13 | 0.78 | 1.75 |
| 4 | mu=0, sigma=1.00 | 1.00 | 1.65 | 0.37 | 6.18 |
| 5 | mu=3, sigma=0.50 | 20.09 | 22.76 | 15.64 | 1.75 |
| 6 | mu=4, sigma=0.30 | 54.60 | 57.12 | 49.66 | 0.95 |
L'asymetrie (skewness) augmente avec sigma. Pour sigma faible, la log-normale ressemble a une normale decalee. Pour sigma eleve, la distribution devient fortement asymetrique avec une longue queue droite.
Exemples pratiques d'utilisation
Exemple 1 : Modelisation du prix d'une action (Black-Scholes)
Tu es gerant de portefeuille et tu veux estimer la distribution du prix d'une action dans un an pour evaluer le risque et calibrer tes positions. Le modele Black-Scholes suppose que les prix suivent une distribution log-normale avec un rendement attendu (drift) et une volatilite.
Pour une action a 100 euros avec un rendement annuel attendu de 8% et une volatilite de 20%, les parametres log-normaux sont : mu = ln(100) + rendement = 4,605 + 0,08 = 4,69 et sigma = volatilite = 0,20. Cette modelisation te permet de calculer les probabilites de gains, pertes, et les quantiles de risque.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Horizon | Prix (euros) | Formule Excel | Resultat |
| 2 | T0 (actuel) | 100 | Prix initial | - |
| 3 | T+12 mois | ? | mu=ln(100)+0,08=4,69 | sigma=0,20 |
| 4 | P(Prix<90) | =LOI.LOGNORMALE.N(90;4,69;0,2;VRAI) | =0,221 | |
| 5 | P(Prix>120) | =1-LOI.LOGNORMALE.N(120;4,69;0,2;VRAI) | =0,335 | |
| 6 | Mediane attendue | =EXP(4,69) | =109 euros | |
| 7 | Moyenne attendue | =EXP(4,69+0,2^2/2) | =111 euros |
Interpretation : Avec ces parametres, il y a 22% de chances que le prix soit inferieur a 90 euros (perte de 10%), et 33% de chances qu'il depasse 120 euros (gain de 20%). Le prix median attendu est 109 euros, legerement superieur grace au drift positif.
Exemple 2 : Analyse de la distribution des salaires
Tu travailles au service RH d'une entreprise de 500 employes et tu veux analyser la distribution des salaires pour verifier l'equite et planifier les augmentations. Les salaires suivent typiquement une distribution log-normale : la majorite gagne proche de la mediane, mais quelques hauts salaires tirent la moyenne vers le haut.
En prenant le logarithme des salaires et en calculant moyenne et ecart-type sur ces logs, tu obtiens les parametres de la distribution. Cela te permet ensuite de calculer les proportions dans chaque tranche salariale et d'identifier les anomalies potentielles.
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | Indicateur | Valeur | Formule/Resultat |
| 2 | Salaires observes (n=500) | Collectes | Base de donnees RH |
| 3 | mu = MOYENNE(LN(salaires)) | 10,50 | Parametre log |
| 4 | sigma = ECARTYPE(LN(salaires)) | 0,45 | Dispersion log |
| 5 | Mediane theorique | =EXP(10,50) | =36 315 euros |
| 6 | P(Salaire > 50000) | =1-LOI.LOGNORMALE.N(50000;10,5;0,45;VRAI) | =0,273 |
| 7 | P(Salaire entre 30k et 45k) | =LOI.LOGNORMALE.N(45000;...)-LOI.LOGNORMALE.N(30000;...) | =0,384 |
Analyse RH : La mediane de 36 315 euros represente le salaire "typique". 27,3% des employes gagnent plus de 50 000 euros, et 38,4% sont dans la tranche 30-45k euros. Ces statistiques te permettent de benchmarker les remunerations et planifier la masse salariale.
Exemple 3 : Provisionnement de sinistres en assurance
Tu es actuaire et tu dois calibrer les provisions pour sinistres d'une compagnie d'assurance. Les montants de sinistres suivent generalement une distribution log-normale : beaucoup de petits sinistres et quelques sinistres majeurs qui dominent le cout total. La modelisation log-normale te permet d'estimer les quantiles de risque necessaires pour le provisionnement reglementaire.
Les parametres sont estimes a partir de l'historique des sinistres. La provision au quantile 95% represente le montant qui ne sera depasse que dans 5% des cas, assurant une marge de securite suffisante pour couvrir les sinistres exceptionnels.
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Type sinistre | mu (log) | sigma (log) / Formule | Mediane / Resultat | Moyenne / Interpretation |
| 2 | Sinistres automobiles | 7,2 | 1,1 | 1 339 euros | 2 421 euros |
| 3 | Sinistres habitation | 7,8 | 1,3 | 2 440 euros | 5 294 euros |
| 4 | P(sinistre > 10000 euros) auto | =1-LOI.LOGNORMALE.N(10000;7,2;1,1;VRAI) | =0,063 | 6,3% | |
| 5 | Provision 95% auto | =LOI.LOGNORMALE.INVERSE.N(0,95;7,2;1,1) | =8 103 euros | Quantile 95% |
Provisionnement : Pour les sinistres auto, la mediane est 1 339 euros mais la moyenne est 2 421 euros (1,8x plus elevee) a cause des sinistres graves. La provision au quantile 95% de 8 103 euros garantit une couverture suffisante dans 95% des cas. 6,3% des sinistres depassent 10 000 euros.
Erreurs courantes et solutions
#NOMBRE! - x negatif ou nul
Cette erreur survient lorsque x <= 0. La distribution log-normale est definie uniquement pour des valeurs strictement positives, car ln(x) n'existe pas pour x <= 0.
Solution : Verifie que tes donnees sont strictement positives. Pour les prix ou salaires, cela devrait toujours etre le cas. Utilise MAX(x;0,001) comme garde-fou.
#NOMBRE! - ecart_type negatif ou nul
L'ecart-type doit etre strictement positif. Une valeur nulle ou negative genere cette erreur car la dispersion ne peut pas etre negative ou nulle (cas degenere).
Solution : Verifie ton calcul d'ecart-type. Si tu obtiens 0, cela signifie que toutes tes donnees sont identiques (pas de dispersion), ce qui est rare en pratique.
Confusion entre parametres de X et de ln(X)
Erreur frequente : utiliser directement la moyenne et l'ecart-type des donnees au lieu de ceux du logarithme. Les parametres mu et sigma sont ceux de ln(X), pas de X.
Solution : Calcule toujours mu = MOYENNE(LN(donnees)) et sigma = ECARTYPE(LN(donnees)). Ne confonds pas avec MOYENNE(donnees) et ECARTYPE(donnees) qui sont les statistiques de X.
Interpretation erronee de la mediane vs moyenne
Rapporter la moyenne comme valeur "typique" est trompeur pour une log-normale car elle est tiree vers le haut par les valeurs extremes. La mediane est plus representative.
Solution : Utilise la mediane (e^mu) comme mesure centrale. Precise toujours quelle statistique tu rapportes : "le salaire median est de 36k euros" vs "le salaire moyen est de 42k euros".
Questions frequentes sur LOI.LOGNORMALE.N
Pourquoi utiliser la distribution log-normale plutot que normale ?
La distribution normale peut prendre des valeurs negatives, ce qui est impossible pour des variables comme les prix, salaires ou sinistres. La log-normale est toujours positive, capture l'asymetrie typique de ces variables (queue etendue vers les grandes valeurs), et modelise naturellement les phenomenes multiplicatifs ou les variations relatives sont normalement distribuees. C'est pourquoi elle est le choix standard en finance pour les prix d'actifs.
Comment calculer les parametres mu et sigma a partir de donnees observees ?
Les parametres mu et sigma sont la moyenne et l'ecart-type du logarithme des donnees, pas des donnees brutes. Calcule mu = MOYENNE(LN(donnees)) et sigma = ECARTYPE(LN(donnees)) dans Excel. Ces parametres definissent la distribution normale sous-jacente de ln(X). A partir de ces parametres, tu peux ensuite calculer les statistiques de X : mediane = e^mu, moyenne = e^(mu+sigma^2/2).
Quelle est la relation entre les parametres et les statistiques de X ?
Pour une variable X log-normale de parametres mu et sigma : Mediane de X = e^mu, Moyenne de X = e^(mu + sigma^2/2), Mode de X = e^(mu - sigma^2). La mediane est toujours inferieure a la moyenne pour une log-normale, l'ecart croissant avec sigma. Cette propriete explique pourquoi la moyenne des salaires ou des prix immobiliers est souvent significativement superieure a la mediane : quelques valeurs tres elevees tirent la moyenne vers le haut.
Comment la log-normale est-elle utilisee en finance ?
Le modele Black-Scholes suppose que les prix des actions suivent une distribution log-normale car les rendements logarithmiques sont normalement distribues. Cela garantit des prix toujours positifs et capture la realite que les variations sont proportionnelles au niveau de prix actuel. Les parametres sont : mu = ln(S0) + (r - sigma^2/2)*T et sigma*racine(T), ou S0 est le prix actuel, r le taux sans risque, sigma la volatilite, et T l'horizon. Cette modelisation est a la base de la valorisation des options.
Quelle difference entre LOI.LOGNORMALE et LOI.LOGNORMALE.N ?
LOI.LOGNORMALE est l'ancienne fonction d'Excel (avant 2010) qui ne calculait que la fonction de repartition cumulative. LOI.LOGNORMALE.N est la version moderne qui inclut un parametre "cumulative" permettant aussi de calculer la densite de probabilite f(x) avec FAUX. Les resultats pour le mode cumulatif (VRAI) sont identiques. La version .N suit la nouvelle nomenclature Excel standardisee.
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