LOI.LOGNORMALE.INVERSE.N (LOGNORM.INV en anglais) est l'outil statistique de référence pour calculer les quantiles d'une distribution log-normale dans Excel. Là où LOI.LOGNORMALE.N te donne une probabilité à partir d'une valeur, LOI.LOGNORMALE.INVERSE.N fait l'inverse : elle te donne la valeur correspondant à une probabilité donnée.
Si tu travailles en finance, en assurance ou dans l'analyse des revenus et des prix, cette fonction répond à des questions comme : "Quel est le prix en dessous duquel se situent 95 % des transactions ?" ou "Quelle est la perte maximale avec 99 % de confiance ?" La distribution log-normale est omniprésente partout où les variables sont strictement positives et présentent une asymétrie vers la droite : prix d'actions, revenus des ménages, montants de sinistres, durées de vie de composants.
Syntaxe de la fonction LOI.LOGNORMALE.INVERSE.N
=LOI.LOGNORMALE.INVERSE.N(probabilité; moyenne; écart_type)Comprendre chaque paramètre de la fonction LOI.LOGNORMALE.INVERSE.N
Les trois arguments s'enchaînent dans un ordre fixe et sont tous obligatoires : d'abord la probabilité visée, puis la moyenne, enfin l'écart-type. La probabilité doit rester strictement entre 0 et 1 (jamais les bornes), et l'écart-type strictement positif, sinon tu tombes sur #NOMBRE!.
Garde en tête que moyenne et écart_type décrivent ln(X), pas ta variable brute : c'est le détail qui fait basculer un résultat correct vers un chiffre aberrant.
probabilité
: la probabilité associée à la distribution log-normale, c'est-à-dire P(X ≤ x)Cette valeur doit être strictement comprise entre 0 et 1 (les valeurs 0 et 1 exactes provoquent une erreur car elles correspondraient respectivement à 0 et à l'infini).
En finance, tu utiliseras souvent des probabilités comme 0,01, 0,05 ou 0,10 pour les calculs de Value at Risk. Une probabilité de 0,01 te donne le 1er percentile : la valeur en dessous de laquelle se situent seulement 1 % des observations. Pour les analyses de revenus, tu utiliseras plutôt 0,50 (médiane), 0,90 ou 0,95.
Attention : Les valeurs exactes 0 et 1 provoquent #NOMBRE!. Si tu obtiens ces valeurs à partir de calculs, utilise 0,0001 et 0,9999 comme approximations pratiques.
moyenne
: la moyenne de ln(X), c'est-à-dire la moyenne du logarithme naturel de ta variableAttention : ce n'est pas la moyenne de X directement. Ce paramètre est souvent noté mu dans la littérature statistique. Il peut être positif, négatif ou nul.
Pour estimer ce paramètre à partir de données réelles, calcule : =MOYENNE(LN(A1:A100)). La médiane de la distribution log-normale est simplement =EXP(mu), ce qui te donne une interprétation intuitive : si mu = 10,5, la médiane est e puissance 10,5, soit environ 36 300.
Astuce : La médiane d'une distribution log-normale est toujours =EXP(mu), et elle est toujours inférieure à la moyenne. =LOI.LOGNORMALE.INVERSE.N(0,5; mu; sigma) donne exactement =EXP(mu), quelle que soit la valeur de sigma.
écart_type
: l'écart-type de ln(X), c'est-à-dire l'écart-type du logarithme naturel de ta variableCe paramètre doit être strictement positif. Il est souvent noté sigma et mesure la dispersion des log-valeurs. Un sigma plus grand signifie une distribution plus étalée avec une queue droite plus longue.
Pour estimer ce paramètre à partir de données réelles : =ECARTYPE.STANDARD(LN(A1:A100)). En finance, sigma représente souvent la volatilité des log-rendements, un indicateur clé du risque.
Attention : Un écart_type nul ou négatif provoque #NOMBRE!. Si =ECARTYPE.STANDARD(LN(A:A)) retourne 0, tes données ne sont pas assez dispersées pour justifier un modèle log-normal.
Exemples pratiques pas à pas
Analyste financier : calculer une Value at Risk (VaR)
Tu es analyste financier et tu dois calculer la VaR d'un portefeuille d'actions. Les log-rendements quotidiens suivent une loi normale avec mu = 0,0005 (rendement moyen quotidien) et sigma = 0,02 (volatilité quotidienne). Tu veux savoir quelle est la perte maximale avec 99 % de confiance.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Niveau confiance | mu | sigma | Facteur prix |
| 2 | 99 % | 0,0005 | 0,02 | 0,954 |
| 3 | 95 % | 0,0005 | 0,02 | 0,968 |
| 4 | 90 % | 0,0005 | 0,02 | 0,975 |
=LOI.LOGNORMALE.INVERSE.N(0,01; 0,0005; 0,02)Avec la probabilité 0,01 (le 1er percentile), la fonction renvoie environ 0,954 : avec 99 % de confiance, le prix de demain vaudra au moins 95,4 % de celui d'aujourd'hui. La perte maximale (VaR 99 %) est donc de 4,6 %, soit 4 600 euros sur un portefeuille de 100 000 euros en une journée.
Économiste : analyser la distribution des revenus
Tu es économiste et tu analyses la distribution des revenus annuels dans une population. Les log-revenus suivent une loi normale avec mu = 10,5 (médiane = e puissance 10,5 soit environ 36 300 euros) et sigma = 0,8. Tu veux calculer les seuils de revenus pour définir les déciles de la population.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Percentile | mu | sigma | Revenu (€) |
| 2 | 10 % | 10,5 | 0,8 | 13 200 |
| 3 | 50 % | 10,5 | 0,8 | 36 300 |
| 4 | 90 % | 10,5 | 0,8 | 99 700 |
| 5 | 99 % | 10,5 | 0,8 | 233 500 |
=LOI.LOGNORMALE.INVERSE.N(0,90; 10,5; 0,8)Ici, la fonction renvoie le revenu sous lequel se situent 90 % de la population, soit environ 99 700 euros. Note l'asymétrie caractéristique : le ratio entre le 90e et le 10e percentile atteint 7,5, illustrant l'inégalité de revenus que la distribution log-normale capture naturellement.
Astuce de pro : La médiane d'une distribution log-normale est toujours =EXP(mu), soit =EXP(10,5) ici. Elle est toujours inférieure à la moyenne arithmétique, ce qui est caractéristique des distributions asymétriques.
Actuaire : seuil de sinistre pour la réassurance
Tu travailles comme actuaire dans une compagnie d'assurance. Les montants des sinistres corporels suivent une loi log-normale avec mu = 8 et sigma = 1,5. Tu dois calculer le seuil au-dessus duquel un sinistre sera cédé au réassureur, de façon à ce que seulement 5 % des sinistres dépassent ce seuil.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Rétention | mu | sigma | Seuil (€) |
| 2 | 90 % | 8 | 1,5 | 21 500 |
| 3 | 95 % | 8 | 1,5 | 36 300 |
| 4 | 99 % | 8 | 1,5 | 92 100 |
=LOI.LOGNORMALE.INVERSE.N(0,95; 8; 1,5)La fonction renvoie le montant en dessous duquel se situent 95 % des sinistres, soit 36 300 euros : ton seuil de réassurance. Tu conserves les 95 % de sinistres courants et tu cèdes au réassureur les 5 % les plus lourds, ce qui maîtrise ton exposition aux grands sinistres tout en gardant la majorité des primes.
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Les erreurs fréquentes avec la fonction LOI.LOGNORMALE.INVERSE.N
Deux symptômes reviennent sans cesse ici. Le plus visible est #NOMBRE! : il apparaît dès que ta probabilité vaut exactement 0 ou 1, ou que l'écart-type est nul ou négatif. Le second est sournois car aucune erreur ne s'affiche : tu glisses la moyenne et l'écart-type de X au lieu de ceux de ln(X), et le résultat sort dans un ordre de grandeur complètement faux.
Erreur #NOMBRE! avec des paramètres invalides
Cette erreur survient quand la probabilité est exactement 0 ou 1, ou quand l'écart-type est négatif ou nul. Excel ne peut pas calculer un quantile pour une probabilité de 0 (qui donnerait 0) ou de 1 (qui donnerait l'infini).
Solution : Vérifie que ta probabilité est strictement entre 0 et 1, par exemple 0,001 au lieu de 0, ou 0,999 au lieu de 1. Vérifie aussi que l'écart_type est strictement positif. Si =ECARTYPE.STANDARD(LN(A:A)) retourne 0, tes données ne sont pas assez dispersées.
Résultat aberrant : confusion entre paramètres de X et de ln(X)
Une erreur très courante est d'utiliser la moyenne et l'écart-type de X directement au lieu de ceux de ln(X). Les paramètres attendus sont ceux de la distribution normale sous-jacente.
Solution : Calcule toujours les paramètres à partir des logarithmes de tes données : mu = MOYENNE(LN(A1:A100)) et sigma = ECARTYPE.STANDARD(LN(A1:A100)). Si tu as la moyenne mu_X et l'écart-type sigma_X de X, utilise les formules de conversion : mu = LN(mu_X² / RACINE(mu_X² + sigma_X²)).
Questions fréquentes sur la fonction LOI.LOGNORMALE.INVERSE.N
Quelle est la différence entre LOI.LOGNORMALE.INVERSE.N et LOI.LOGNORMALE.INVERSE ?
LOI.LOGNORMALE.INVERSE.N est la version moderne introduite dans Excel 2010, qui remplace LOI.LOGNORMALE.INVERSE. Les deux fonctions donnent des résultats identiques, mais Microsoft recommande la version .N pour les nouveaux classeurs car elle offre une meilleure cohérence avec les autres fonctions statistiques modernes. La version sans .N est conservée uniquement pour la compatibilité avec les anciennes feuilles de calcul.
Comment utiliser LOI.LOGNORMALE.INVERSE.N pour calculer une Value at Risk ?
Si les prix d'un actif suivent une distribution log-normale, calcule la VaR avec la probabilité correspondant au niveau de confiance inversé : pour une VaR à 99 %, utilise la probabilité 0,01. =LOI.LOGNORMALE.INVERSE.N(0,01; mu; sigma) te donne le prix en dessous duquel l'actif ne tombera qu'avec 1 % de probabilité. Les paramètres mu et sigma se calculent à partir des log-rendements historiques avec MOYENNE(LN()) et ECARTYPE.STANDARD(LN()).
Comment estimer les paramètres mu et sigma à partir de données réelles ?
Pour estimer mu et sigma, calcule d'abord le logarithme naturel de tes données. Ensuite : mu = MOYENNE(LN(A1:A100)) et sigma = ECARTYPE.STANDARD(LN(A1:A100)). Ces paramètres sont ceux de la distribution normale sous-jacente, pas de la distribution log-normale directement.
Pourquoi la loi log-normale modélise-t-elle bien les prix et les revenus ?
La loi log-normale garantit des valeurs strictement positives (impossible d'avoir un prix négatif), elle est asymétrique vers la droite (beaucoup de petites valeurs, quelques très grandes), et elle modélise bien le fait que les variations sont souvent proportionnelles à la valeur actuelle. En finance, l'hypothèse classique est que les rendements logarithmiques suivent une loi normale, ce qui implique que les prix suivent une loi log-normale.
Quelle est la relation entre LOI.LOGNORMALE.INVERSE.N et la fonction EXP ?
Il existe une relation directe : LOI.LOGNORMALE.INVERSE.N(p; mu; sigma) = EXP(LOI.NORMALE.INVERSE.N(p; mu; sigma)). Autrement dit, le quantile log-normal est simplement l'exponentielle du quantile normal correspondant. Tu peux utiliser cette formule alternative pour vérifier tes calculs.
La fonction est-elle disponible dans toutes les versions d'Excel ?
LOI.LOGNORMALE.INVERSE.N est disponible depuis Excel 2010. Pour les versions antérieures, utilise LOI.LOGNORMALE.INVERSE qui donne les mêmes résultats. Les deux sont disponibles dans Excel 365 et Excel pour Mac.
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