Qu'est-ce que la fonction LOI.
La fonction LOI.GAMMA.INVERSE.N (GAMMA.INV en anglais) est l'outil statistique essentiel pour calculer les quantiles d'une distribution gamma. Si tu travailles dans la fiabilité industrielle, l'assurance, la gestion des stocks ou l'analyse des temps d'attente, elle répond à des questions concrètes : en dessous de quelle valeur se situent 95 % de mes observations ? Quel délai maximum dois-je prévoir pour couvrir 90 % des cas ?
La distribution gamma modélise parfaitement les phénomènes toujours positifs et asymétriques vers la droite : temps d'attente entre événements, durées de vie de composants, montants de sinistres, délais de livraison. Contrairement à la loi normale qui est symétrique, la loi gamma capture naturellement le fait que ces variables ont un minimum (souvent zéro) mais pas de maximum théorique.
Syntaxe
=LOI.GAMMA.INVERSE.N(probabilité; alpha; beta)Clique sur un argument pour aller à son explication.
LOI.GAMMA.INVERSE.N remplace LOI.GAMMA.INVERSE (conservée pour compatibilité avec les anciennes versions). Les deux fonctions donnent les mêmes résultats, mais Microsoft recommande la version .N pour les nouveaux classeurs.
Comprendre chaque paramètre de la fonction LOI.GAMMA.INVERSE.N
Les trois arguments s'enchaînent toujours dans le même ordre : d'abord la probabilité que tu vises (le percentile, entre 0 et 1 exclus), puis alpha qui dessine la forme de la courbe, et enfin beta qui l'étire sur l'axe horizontal. Aucun n'est facultatif ici, et les deux derniers travaillent ensemble : la moyenne de ta distribution vaut alpha × beta, ce qui aide à vérifier que tes paramètres tiennent la route.
probabilité
: la probabilité associée à la distribution gamma, c'est-à-dire P(X ≤ x)Cette valeur doit être strictement comprise entre 0 et 1 (les valeurs 0 et 1 exactes provoquent une erreur car elles correspondraient à des résultats infinis).
En pratique, tu utiliseras souvent des probabilités comme 0,90, 0,95 ou 0,99 pour calculer des percentiles. Par exemple, une probabilité de 0,95 te donne le 95e percentile : la valeur en dessous de laquelle se situent 95 % des observations. C'est très utile pour définir des seuils de garantie ou des niveaux de service.
alpha
: le paramètre de forme de la distribution gamma (aussi appelé k ou shape)Alpha doit être strictement positif. Ce paramètre contrôle la forme de la distribution : un alpha proche de 1 donne une distribution très asymétrique, tandis qu'un alpha plus grand (supérieur à 5) donne une distribution plus symétrique, proche d'une loi normale.
Plus concrètement, alpha représente souvent un nombre d'événements ou d'étapes. Par exemple, si tu modélises le temps d'attente jusqu'au 3e client dans une file d'attente, alpha serait égal à 3. Dans le contexte de la fiabilité, alpha peut représenter le nombre de défaillances indépendantes nécessaires pour provoquer une panne complète.
beta
: le paramètre d'échelle de la distribution gamma (aussi appelé theta ou scale)Beta doit être strictement positif. Ce paramètre détermine l'étirement horizontal de la distribution : un beta plus grand étire la distribution vers la droite, augmentant ainsi la moyenne et la variance.
En termes d'interprétation, beta représente souvent un temps moyen entre événements ou une unité de mesure. Si tu modélises des temps d'attente en minutes avec un taux moyen d'un événement toutes les 5 minutes, beta serait égal à 5. La moyenne de la distribution gamma est alpha × beta, et sa variance est alpha × beta².
Exemples pratiques pas à pas
Comment convertir un centile en durée de vie avec la fonction LOI.GAMMA.INVERSE.N
Tes composants électroniques partent avec un engagement contractuel de durée de vie et le client veut connaître les seuils par gamme avant de signer. Tes essais donnent une loi gamma de forme 4 et d'échelle 2500 heures, et le tableau liste les centiles à convertir. La fonction LOI.GAMMA.INVERSE.N traduit chaque centile en une durée exprimée dans l'unité de l'échelle.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.GAMMA.INVERSE.N(. - 2En 1er argument : clique sur la cellule du centile à convertir,
B2. Elle affiche0,90ici, une part qui se saisit toujours en décimal et reste strictement entre0et1, bornes exclues. Taper0,1ou90renvoie l'erreur#NOMBRE!. - 3En 2ᵉ argument : saisis le paramètre de forme mesuré sur tes essais,
4. C'est lui qui règle l'asymétrie de la courbe, et plus il grandit plus la distribution se rapproche d'une cloche symétrique. - 4En 3ᵉ argument : saisis le paramètre d'échelle exprimé en heures,
2500. C'est cette valeur qui fixe l'unité du résultat, la durée sort donc elle aussi en heures. - 5Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
=LOI.GAMMA.INVERSE.N(B2; 4; 2500)0,90 devient 16701,96 heures : c'est la durée sous laquelle tombent 90 % des composants. L'écart avec la durée de vie moyenne (4 × 2500, soit 10000 heures) mesure toute l'asymétrie de la loi gamma, dont la queue droite s'étire loin au-delà de sa moyenne.
Comment vérifier une durée avec les fonctions LOI.GAMMA.INVERSE.N et LOI.GAMMA.N
Avant d'intégrer ces deux fonctions dans un modèle de garantie que d'autres feront tourner, tu veux savoir si l'aller-retour entre elles est fiable, y compris sur des durées très loin de la moyenne. Le tableau part de trois durées réelles plutôt que de trois centiles, sur la forme 4 et l'échelle 2500 heures de tes essais. Si la boucle rend la durée de départ, la paire est fiable dans les deux sens.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.GAMMA.INVERSE.N(. - 2En 1er argument : écris la conversion de la durée en probabilité et referme-la,
LOI.GAMMA.N(B2; C2; D2; VRAI). Cet appel intérieur transforme la durée de départ,B2, en probabilité cumulée à partir de la même forme et de la même échelle. LeVRAIfinal n'est pas négociable, car la fonction ne sait inverser qu'une probabilité cumulée, jamais une densité. - 3En 2ᵉ argument : clique sur la cellule du paramètre de forme,
C2. C'est la même valeur4que celle donnée à l'appel intérieur, pour que l'aller et le retour parlent de la même distribution. - 4En 3ᵉ argument : clique sur la cellule du paramètre d'échelle,
D2. Elle reprend l'échelle2500heures utilisée à l'intérieur, sans quoi la boucle ne se refermerait pas. - 5Ferme la parenthèse, complète par
-B2, puis appuie sur Entrée. La soustraction compare la durée d'arrivée à la durée de départ, et un écart nul prouve que le passage par la probabilité intermédiaire n'a rien perdu.
=LOI.GAMMA.INVERSE.N(LOI.GAMMA.N(B2; C2; D2; VRAI); C2; D2)-B25000 heures deviennent 14,3% de probabilité sous la fonction LOI.GAMMA.N, puis ces 14,3% redeviennent 5000 heures sous la fonction LOI.GAMMA.INVERSE.N. La soustraction rend 0, et non un résidu : le passage par une probabilité intermédiaire ne perd rien en route. Les deux fonctions sont bien réciproques, dans ce sens comme dans l'autre.
Comment calculer le seuil dépassé par une proportion donnée avec la fonction LOI.GAMMA.INVERSE.N
Le contrat ne dit pas « 90 % des pièces tombent en panne avant », il dit « 90 % des pièces tiennent au-delà ». La nuance renverse complètement le calcul et c'est le piège qui coûte le plus cher sur cette fonction, parce que le résultat faux reste parfaitement plausible. Le tableau liste les engagements à tenir, toujours sur la forme 4 et l'échelle 2500 heures.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.GAMMA.INVERSE.N(. - 2En 1er argument : écris le complément de la proportion visée,
1-B2. La fonction raisonne toujours par en dessous, donc la part de0,90censée dépasser le seuil doit d'abord devenir0,10, la part qui reste en dessous. - 3En 2ᵉ argument : clique sur la cellule du paramètre de forme,
C2. Elle vaut4, la forme mesurée sur tes essais. - 4En 3ᵉ argument : clique sur la cellule du paramètre d'échelle exprimé en heures,
D2. Elle vaut2500, et c'est elle qui donne au résultat son unité. - 5Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
=LOI.GAMMA.INVERSE.N(1-B2; C2; D2)0,90 directement rendrait 16701,96 heures, la durée que 90 % des composants n'atteignent pas, soit presque quatre fois trop : c'est le contraire de la promesse. Le vrai seuil tenu par 9 composants sur 10 est 4361,92 heures.
Attention : Ce piège ne déclenche aucune erreur : les deux formules rendent un nombre d'heures crédible. Le réflexe qui sauve est de comparer le résultat à la durée de vie moyenne (alpha × bêta, ici 10000 heures) : un seuil tenu par 90 % des pièces doit forcément tomber bien en dessous de cette moyenne, pas au-dessus.
Les erreurs fréquentes avec la fonction LOI.GAMMA.INVERSE.N
Le #NOMBRE! est de loin ce que tu croiseras le plus : il tombe dès que ta probabilité touche 0 ou 1 pile, ou qu'alpha ou beta passe en négatif ou à zéro. Le second symptôme, #VALEUR!, signale plutôt qu'un argument est du texte déguisé en nombre, souvent une cellule mal formatée ou une virgule décimale prise pour autre chose.
Erreur #NOMBRE! sur les paramètres
Cette erreur survient quand la probabilité est exactement 0 ou 1, ou quand alpha ou beta sont négatifs ou nuls. Excel ne peut pas calculer un quantile pour une probabilité de 0 (qui donnerait 0) ou de 1 (qui donnerait l'infini). Si tes données contiennent des valeurs négatives, la loi gamma n'est peut-être pas adaptée à ton cas.
Solution : Vérifie que ta probabilité est strictement entre 0 et 1 (par exemple 0,001 au lieu de 0, ou 0,999 au lieu de 1). Vérifie aussi que alpha et beta sont strictement positifs.
Erreur #VALEUR! avec des arguments non numériques
Cette erreur apparaît quand l'un des arguments contient du texte au lieu d'un nombre. Cela arrive souvent quand tu références une cellule qui contient un texte formaté comme un nombre, ou quand tu utilises une virgule au lieu d'un point décimal selon tes paramètres régionaux.
Solution : Utilise CNUM() pour convertir un texte en nombre si nécessaire. Vérifie aussi le format de tes cellules et assure-toi d'utiliser le bon séparateur décimal pour ta version d'Excel.
Questions fréquentes
LOI.GAMMA.INVERSE.N est la version moderne, introduite dans Excel 2010. Elle remplace LOI.GAMMA.INVERSE qui est conservée uniquement pour la compatibilité avec les anciennes versions. Les deux fonctions produisent exactement les mêmes résultats, mais Microsoft recommande d'utiliser LOI.GAMMA.INVERSE.N pour tous les nouveaux classeurs car elle offre une meilleure précision dans certains cas limites.
En gestion des stocks, la distribution gamma modélise souvent les délais de livraison ou les temps entre les commandes. Tu peux calculer le délai maximum à prévoir pour couvrir un certain pourcentage de cas. Par exemple, si tes délais suivent une loi gamma avec alpha=3 et beta=2, alors LOI.GAMMA.INVERSE.N(0,95; 3; 2) te donne le délai en dessous duquel 95 % de tes livraisons arrivent. Ce résultat t'aide à définir ton stock de sécurité.
Pour estimer alpha et beta à partir de données réelles, utilise la méthode des moments. Calcule la moyenne (m) avec MOYENNE et la variance (v) avec VAR.S, puis pose alpha = m² / v et beta = v / m.
Par exemple, si la moyenne de tes temps d'attente est 6 minutes et la variance est 12, alors alpha = 36 / 12 = 3 et beta = 12 / 6 = 2. Ces estimations te permettent d'utiliser la fonction pour calculer des percentiles sur des données réelles.
La loi gamma est idéale quand tes données sont strictement positives et asymétriques vers la droite, ce qui est typique des temps d'attente, des durées de vie ou des montants de sinistres. Contrairement à la loi normale qui est symétrique et peut prendre des valeurs négatives, la loi gamma est toujours positive. Si tu modélises des durées ou des montants qui ne peuvent pas être négatifs et qui présentent une longue queue à droite, la loi gamma est généralement un meilleur choix.
L'erreur #NOMBRE! apparaît quand les paramètres sont invalides. Vérifie que ta probabilité est strictement entre 0 et 1 (ni 0 ni 1 exactement), et que alpha et beta sont strictement positifs.
Une probabilité de 0 ou 1 causerait un résultat infini, qu'Excel ne peut pas calculer. Si tu as besoin de valeurs très proches de 0 ou 1, utilise des valeurs comme 0,001 ou 0,999. Vérifie aussi que tes cellules ne contiennent pas de texte au lieu de nombres.
Pour aller plus loin
Continue sur ta lancée après la fonction LOI.GAMMA.INVERSE.N : la leçon associée, un modèle prêt à l'emploi et le guide pour progresser.
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