Qu'est-ce que la fonction LOI.
Tu passes par LOI.GAMMA.N dès que ta variable est un temps d'attente jusqu'à plusieurs événements, un montant de sinistre ou une durée de vie, c'est-à-dire une grandeur positive avec une queue étalée à droite que la loi normale décrirait mal. C'est le bon outil quand la loi exponentielle simple ne suffit plus parce que tu attends plus d'un seul événement.
Concrètement, elle apparaît naturellement dans de nombreux contextes professionnels : dimensionner un call center en calculant la probabilité que 3 appels arrivent en moins de 15 minutes, calculer des provisions de sinistres en assurance automobile, planifier des maintenances préventives en fiabilité industrielle. La distribution Gamma généralise la loi exponentielle et englobe la loi du khi-deux comme cas particulier.
Syntaxe
=LOI.GAMMA.N(x; alpha; beta; cumulative)Clique sur un argument pour aller à son explication.
Excel utilise la paramétrisation (alpha, beta) où beta est le paramètre d'échelle. Moyenne = alpha × beta, Variance = alpha × beta². Cette convention peut différer des sources qui utilisent beta comme paramètre de taux (lambda = 1/beta) : vérifie toujours que ta valeur de beta donne bien la moyenne attendue.
Comprendre chaque paramètre de la fonction LOI.GAMMA.N
x
: la valeur pour laquelle calculer la probabilitéDoit être positive ou nulle (x >= 0). Représente typiquement un temps d'attente, une durée de vie, ou un montant.
Attention : Si x < 0, la fonction renvoie #NOMBRE!. Si x = 0, la densité est nulle pour alpha > 1, tend vers l'infini pour alpha < 1, et vaut 1/beta pour alpha = 1.
alpha
: le paramètre de forme (`k`)Doit être strictement positif (alpha > 0). Contrôle l'asymétrie de la distribution : pour alpha = 1 on obtient une exponentielle, pour un entier alpha = n on obtient la distribution d'Erlang (temps jusqu'au n-ième événement d'un processus de Poisson), et plus alpha augmente, plus la distribution tend vers la normale par le théorème central limite.
beta
: le paramètre d'échelle (`theta`)Doit être strictement positif (beta > 0). Contrôle l'étalement de la distribution. Dans un processus de Poisson de taux lambda (événements par heure), beta = 1/lambda.
cumulative
: booléen qui détermine le type de calculVRAI retourne la fonction de répartition P(X <= x), c'est-à-dire la probabilité cumulée. FAUX retourne la densité de probabilité f(x) au point x, sans signification probabiliste directe.
Dans la pratique, tu utiliseras VRAI pour presque tous les calculs de risque, de provisions et de dimensionnement, car tu as besoin de probabilités cumulées (« quelle est la probabilité que la durée de vie dépasse X ? »). La densité (FAUX) sert principalement à tracer la courbe de distribution.
Exemples pratiques pas à pas
Comment calculer la probabilité cumulée d'un temps d'attente avec la fonction LOI.GAMMA.N
Ta hotline reçoit 12 appels par heure en moyenne, soit un appel toutes les 0,083 heure, et tu veux savoir si un créneau a le temps d'en accumuler trois avant qu'un agent ne se libère. Le tableau liste les créneaux avec la durée observée sur chacun. Quand sa forme est un nombre entier, la fonction LOI.GAMMA.N mesure exactement le temps d'attente jusqu'au k-ième événement, ici jusqu'au troisième appel.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.GAMMA.N(. - 2En 1er argument : clique sur la durée du créneau,
B2, ici1,2heure. C'est la fenêtre de temps sur laquelle tu veux la probabilité que les trois appels soient déjà arrivés. - 3En 2ᵉ argument : saisis le nombre d'appels que tu attends,
3. Un entier posé en forme fait compter les événements à la fonction, qui mesure alors le temps d'attente jusqu'au troisième appel. - 4En 3ᵉ argument : saisis l'intervalle moyen entre deux appels,
0,083heure, soit1divisé par les12appels reçus chaque heure. L'échelle et la durée doivent parler de la même unité, l'heure des deux côtés. - 5En 4ᵉ argument : saisis
VRAIpour lire une probabilité cumulée et non la densité. - 6Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
=LOI.GAMMA.N(B2; 3; 0,083; VRAI)99,9937% pour une durée de 1,2 heure, que le format à une décimale arrondit à 100,0% sans que la certitude soit atteinte pour autant. Rien d'étonnant : trois appels espacés de 0,083 heure prennent 0,249 heure en moyenne (le produit alpha × bêta), donc une fenêtre de 1,2 heure les couvre presque toujours. Le créneau du soir, plus court, redescend à 99,6%.
Comment calculer la probabilité de dépasser une durée avec la fonction LOI.GAMMA.N
Tu veux dimensionner une file d'attente sur des fenêtres courtes et la vraie question n'est pas combien de créneaux ont reçu leurs trois appels, mais combien ne les ont toujours pas reçus à l'échéance. Le tableau reprend la forme 3 et l'échelle 0,083 heure de ta hotline, avec des fenêtres serrées à tester. Il faut donc retourner le résultat de la fonction LOI.GAMMA.N pour viser la queue droite de la distribution.
- 1Dans une cellule, écris
=1-LOI.GAMMA.N(. Tu ouvres la fonction derrière un1-qui servira à retourner son résultat une fois la parenthèse refermée. - 2En 1er argument : clique sur la fenêtre que tu testes,
B2, ici0,25heure. - 3En 2ᵉ argument : clique sur le nombre d'appels attendus,
C2, qui vaut3. - 4En 3ᵉ argument : clique sur l'intervalle moyen entre deux appels,
D2, soit0,083heure. - 5En 4ᵉ argument : saisis
VRAIpour lire une probabilité cumulée et non la densité. - 6Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée. La fonction seule mesure
P(X ≤ 0,25), soit les créneaux qui ont déjà reçu leurs trois appels, et le1-retourne cette lecture enP(X > 0,25)pour cibler ceux qui ne les ont pas encore.
=1-LOI.GAMMA.N(B2; C2; D2; VRAI)1 pour obtenir la question inverse. Sur un quart d'heure, 42,0% des créneaux n'ont toujours pas leurs trois appels, mais ce reste s'effondre à 6,1% sur une demi-heure : la queue de la loi gamma se referme vite dès que la forme dépasse 1.
Comment vérifier que les fonctions LOI.GAMMA.N et LOI.GAMMA rendent le même résultat
Un audit te demande de justifier le passage d'un classeur historique vers les fonctions modernes, et la réputation ne suffira pas comme argument. Plutôt que de reprendre ce qui se raconte sur l'une ou l'autre, tu poses les deux versions dans la même formule sur tes propres créneaux et tu regardes l'écart. Le tableau reprend la forme 3 et l'échelle 0,083 heure de la hotline, avec trois durées à contrôler.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.GAMMA.N(. - 2En 1er argument : clique sur la durée à contrôler,
B2, ici0,8heure. - 3En 2ᵉ argument : clique sur le nombre d'appels attendus,
C2, qui vaut3. - 4En 3ᵉ argument : clique sur l'intervalle moyen entre deux appels,
D2, soit0,083heure. - 5En 4ᵉ argument : saisis
VRAIpour comparer deux probabilités cumulées, jamais une densité. - 6Ferme la parenthèse, complète par
-LOI.GAMMA(B2; C2; D2; VRAI), puis appuie sur Entrée. La fonction LOI.GAMMA est la version historique et reprend la même syntaxe à quatre arguments, si bien que la soustraction met les deux nombres face à face et un écart nul prouve qu'ils sont identiques.
=LOI.GAMMA.N(B2; C2; D2; VRAI)-LOI.GAMMA(B2; C2; D2; VRAI)0. Sur ces arguments, la fonction LOI.GAMMA.N et la fonction LOI.GAMMA rendent le même nombre, avec la même syntaxe à quatre arguments. Ce qui sépare vraiment les deux, c'est le millésime du nom, pas la précision du calcul.
Les erreurs fréquentes avec la fonction LOI.GAMMA.N
Paramètres hors domaine : #NOMBRE!
#NOMBRE! apparaît quand x < 0, alpha <= 0, ou beta <= 0. Aucun de ces trois paramètres ne peut prendre une valeur nulle ou négative dans la distribution Gamma.
Solution : Vérifie tes valeurs d'entrée : x >= 0, alpha > 0 et beta > 0 sont les contraintes strictes. Si tes données peuvent contenir des valeurs hors domaine, protège la formule avec SIERREUR ou ajoute un test conditionnel en amont.
Résultat incohérent à cause d'une confusion de paramétrisation
Certaines sources et logiciels statistiques (R, Python scipy) utilisent beta comme le paramètre de taux (= 1/échelle), alors qu'Excel utilise beta comme le paramètre d'échelle. Utiliser la mauvaise valeur donne une distribution avec la mauvaise moyenne.
Solution : Vérifie que alpha × beta correspond bien à la moyenne observée de tes données. Si ta source donne un taux lambda, convertis-le : beta_Excel = 1/lambda. La vérification =LOI.GAMMA.N(alpha*beta; alpha; beta; VRAI) doit donner environ 0,5 (la médiane est proche de la moyenne pour des alpha élevés).
Mauvaise estimation des paramètres avec la méthode des moments
Sur de petits échantillons (moins de 30-50 observations), la méthode des moments peut produire des estimateurs biaisés, en particulier pour alpha.
Solution : Utilise le Solveur Excel pour l'estimation par maximum de vraisemblance : définis une cellule qui calcule la log-vraisemblance à partir de tes données et de (alpha, beta), puis fais varier alpha et beta pour la maximiser. Cette approche est plus robuste sur les petits échantillons.
LOI.GAMMA.N vs LOI.EXPONENTIELLE.N vs LOI.KHIDEUX.N vs LOI.WEIBULL
La distribution Gamma est une famille générale dont l'exponentielle et le khi-deux sont des cas particuliers. Weibull est une alternative pour modéliser l'usure, avec un paramètre de forme différent.
| Critère | LOI.GAMMA.N | LOI.EXPONENTIELLE.N | LOI.KHIDEUX.N | LOI.WEIBULL |
|---|---|---|---|---|
| Paramètre de forme | alpha quelconque > 0 | alpha = 1 (cas particulier) | alpha = n/2, beta = 2 | paramètre k distinct |
| Cas d'usage typique | Temps avant k événements Poisson, sinistres | Temps jusqu'au 1er événement | Tests d'ajustement, intervalles de confiance | Fiabilité avec usure ou rodage |
| Queue de distribution | Asymétrique droite (décroît selon alpha) | Très asymétrique droite | Asymétrique droite | Variable selon le paramètre de forme |
| Estimation des paramètres | Méthode des moments ou MLE | 1/moyenne | Degrés de liberté connus | Méthode des moments ou MLE |
Questions fréquentes
Utilise la Gamma pour modéliser le temps d'attente jusqu'à plusieurs événements dans un processus de Poisson, les durées de vie de composants, ou les montants de sinistres en assurance. Elle convient à toute variable positive avec asymétrie à droite. Elle généralise l'exponentielle et inclut le khi-deux comme cas particulier.
Alpha contrôle la forme : alpha = 1 donne une exponentielle, et plus alpha augmente, plus la distribution tend vers la symétrie. Beta est le paramètre d'échelle qui étale la distribution. La moyenne est alpha × beta et la variance est alpha × beta². Ces deux formules te permettent d'estimer les paramètres à partir de tes données.
Si les événements arrivent selon un processus de Poisson de taux lambda, le temps entre deux événements suit une Exponentielle(1/lambda), et le temps jusqu'au n-ième événement suit une Gamma(n, 1/lambda). La distribution Gamma est donc la somme de n variables exponentielles indépendantes de même paramètre.
Méthode des moments : calcule la moyenne m et la variance v de tes données. Alors beta = v/m et alpha = m²/v. Ces formules te donnent des estimateurs cohérents. Pour plus de précision sur des petits échantillons, utilise le Solveur Excel avec le maximum de vraisemblance.
Les montants de sinistres sont positifs et présentent une queue longue à droite : quelques sinistres majeurs dominent la distribution. La Gamma capture ces caractéristiques naturellement et permet de calculer les provisions techniques au quantile voulu avec LOI.GAMMA.INVERSE.N, sans hypothèse de normalité qui serait inadaptée.
LOI.GAMMA.N est la version moderne introduite dans Excel 2010. Elle remplace LOI.GAMMA (sans suffixe), qui est maintenue pour la compatibilité mais déconseillée pour les nouveaux classeurs. Les deux fonctions calculent la même chose mais Microsoft recommande LOI.GAMMA.N pour de meilleures performances numériques.
Pour aller plus loin
Continue sur ta lancée après la fonction LOI.GAMMA.N : la leçon associée, un modèle prêt à l'emploi et le guide pour progresser.
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