Qu'est-ce que la fonction LOI.
LOI.WEIBULL est la fonction statistique qui modélise la durée de vie des équipements et analyse leur fiabilité. Elle répond aux questions cruciales de la maintenance industrielle : quelle est la probabilité qu'une pièce tombe en panne avant 1 000 heures ? À quel moment planifier une intervention préventive ?
Concrètement, elle sert à estimer les coûts de garantie d'un produit électronique avant sa mise sur le marché, à identifier le moment critique de remplacement d'une pompe industrielle, ou à distinguer les défauts de jeunesse (alpha < 1) de l'usure progressive (alpha > 1). Si tu travailles en maintenance, qualité ou fiabilité, c'est un outil d'anticipation indispensable.
Syntaxe
=LOI.WEIBULL(x; alpha; beta; cumulative)Clique sur un argument pour aller à son explication.
LOI.WEIBULL est la version ancienne (compatible Excel 2007 et antérieur) ; sa version modernisée s'appelle LOI.WEIBULL.N. Les deux calculent la même chose, mais LOI.WEIBULL.N est recommandée pour les nouvelles feuilles de calcul.
Comprendre chaque paramètre de la fonction LOI.WEIBULL
Les quatre arguments s'enchaînent dans un ordre que tu ne peux pas bousculer : le temps x que tu veux tester, puis alpha (la forme de l'usure), puis beta (le temps caractéristique), et enfin cumulative. Aucun n'est facultatif, et c'est surtout alpha et beta qu'on intervertit par réflexe : ils se ressemblent mais ne jouent pas du tout le même rôle.
Garde le même type d'unité pour x et beta (heures avec heures, jours avec jours), sinon le résultat tombe juste numériquement mais ne veut plus rien dire.
x
: le temps (ou nombre de cycles) auquel tu veux évaluer la probabilitéPar exemple, si tu veux savoir la probabilité qu'une pompe tienne 5 000 heures, x = 5000. Cette valeur doit être positive ou nulle.
alpha
: le paramètre de forme, qui détermine le comportement du taux de défaillance dans le tempsIl doit être strictement supérieur à 0.
Alpha < 1 : taux de défaillance décroissant, typique des défauts de jeunesse (mortalité infantile). Alpha = 1 : taux constant, équivalent à la loi exponentielle, pour des pannes aléatoires. Alpha > 1 : taux croissant, caractéristique de l'usure progressive.
beta
: le paramètre d'échelle, aussi appelé temps caractéristiqueC'est le temps auquel environ 63,2 % des éléments auront échoué. Plus beta est grand, plus la durée de vie est longue. Il doit être strictement supérieur à 0.
Pour comparer deux équipements : celui qui a le beta le plus élevé est le plus fiable (à alpha égal). Si tu hésites entre deux fournisseurs avec beta = 5000 h et beta = 6000 h, le second est plus durable.
cumulative
: paramètre booléen qui choisit ce que tu calculesVRAI retourne la fonction de répartition cumulée : la probabilité qu'un élément échoue avant ou au temps x. FAUX retourne la densité de probabilité : utile pour calculer le taux de défaillance instantané.
Pour la maintenance préventive, tu utiliseras presque toujours VRAI.
Attention : Une fiabilité de 90 % à 1 000 heures ne signifie pas que l'équipement durera 1 000 heures. Cela signifie qu'il a 90 % de chances de dépasser 1 000 heures sans panne. C'est une nuance importante pour la planification.
Exemples pratiques pas à pas
Comment calculer la probabilité de défaillance avant une durée donnée avec la fonction LOI.WEIBULL
Un roulement testé au banc tient en moyenne quelques milliers d'heures, et tu dois fixer la date de la révision préventive avant que la machine ne s'arrête d'elle-même en pleine production. Tes essais te donnent deux paramètres par composant, une forme et une échelle, et tu veux traduire ça en un risque à 3 000 heures. La fonction LOI.WEIBULL convertit ces deux paramètres en une probabilité de panne, ce qui rend la décision de maintenance discutable avec des chiffres.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.WEIBULL(. - 2En 1er argument : clique sur la cellule de l'âge auquel tu poses la question,
A2, soit 3 000 heures de service. C'est le seul point du temps que la fonction regarde, elle ignore tout ce qui s'est passé avant. - 3En 2ᵉ argument : clique sur la cellule du paramètre de forme,
B2. Elle vaut2,1pour ce roulement, et au-dessus de 1 ce chiffre indique que la pièce s'use et que son risque de panne grandit avec l'âge. - 4En 3ᵉ argument : clique sur la cellule du paramètre d'échelle,
C2, soit 5 000 heures. C'est la durée de vie caractéristique de la pièce, celle qui fixe l'échelle de temps de toute la courbe. - 5En 4ᵉ argument : saisis
VRAIpour obtenir une probabilité de panne cumulée depuis la mise en service. AvecFAUX, la fonction rendrait une densité, qui ne se lit pas comme un pourcentage. - 6Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
=LOI.WEIBULL(A2; B2; C2; VRAI)29,0 % des roulements lâchent avant 3 000 heures, donc sept sur dix passent. La quatrième ligne mérite un arrêt, parce que 6 000 heures y valent exactement l'échelle et que la défaillance y atteint 63,2 %.
Comment lire le paramètre de forme avec la fonction LOI.WEIBULL
Deux pièces montées sur la même machine affichent la même durée de vie caractéristique de 5 000 heures, et l'atelier en conclut qu'elles se révisent au même moment. C'est faux, parce qu'une carte électronique ne meurt pas comme un roulement : l'une claque sans prévenir, l'autre s'use. La fonction LOI.WEIBULL chiffre l'écart à travers son paramètre de forme, sur des données par ailleurs identiques.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.WEIBULL(. - 2En 1er argument : clique sur la cellule de l'âge testé,
B2, soit 3 000 heures. Cette durée est identique pour les deux composants, afin que la comparaison ne porte que sur la forme. - 3En 2ᵉ argument : clique sur la cellule du paramètre de forme,
C2, qui vaut1pour la carte électronique. À cette valeur précise, le risque de panne devient constant dans le temps et la loi de Weibull se confond avec une loi exponentielle. - 4En 3ᵉ argument : clique sur la cellule du paramètre d'échelle,
D2, soit 5 000 heures. Cette échelle est elle aussi commune aux deux lignes. - 5En 4ᵉ argument : saisis
VRAIpour comparer deux probabilités de panne. La densité obtenue avecFAUXne se lirait pas comme un pourcentage et fausserait la comparaison. - 6Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée, puis recopie la formule sur la seconde ligne pour lire les deux composants d'un coup.
=LOI.WEIBULL(B2; C2; D2; VRAI)45,1 % contre 29,0 % : seul le paramètre de forme sépare ces deux lignes. À 1, il décrit une panne qui frappe au hasard, aussi probable le premier jour que le dernier ; à 2,1, il décrit une usure, et une pièce qui s'use est plus sûre qu'une pièce aléatoire tant qu'elle est jeune.
Comment calculer une survie conditionnelle avec la fonction LOI.WEIBULL
Un roulement a déjà tourné 3 000 heures sans incident et l'équipe propose de le laisser jusqu'à la prochaine grande révision, à 5 000 heures. La probabilité de panne d'une pièce neuve ne répond pas à cette question, puisque celle-ci a survécu et que sa population de départ n'existe plus. La fonction LOI.WEIBULL, appelée deux fois, ramène les survivants d'un âge à ceux d'un autre.
- 1Dans une cellule, écris
=(puis le numérateur1-LOI.WEIBULL(B3; B4; B5; VRAI). Cette part est celle des roulements encore vivants à 5 000 heures (B3), comptée à partir du parc neuf. - 2Referme la parenthèse du numérateur, écris
/(, puis le dénominateur1-LOI.WEIBULL(B2; B4; B5; VRAI). Il pointe cette foisB2. Ces 3 000 heures déjà tenues sont la population réellement disponible aujourd'hui, celle à laquelle appartient ta pièce. - 3Les deux appels partagent la forme
B4et l'échelleB5, parce qu'il s'agit du même composant observé à deux âges et jamais de deux pièces différentes. - 4Ferme la parenthèse du dénominateur et appuie sur Entrée. Ce rapport ramène le calcul aux seuls survivants, là où une soustraction se contenterait d'écarter les deux chiffres.
=(1-LOI.WEIBULL(B3; B4; B5; VRAI))/(1-LOI.WEIBULL(B2; B4; B5; VRAI))51,8 % obtenu est nettement moins flatteur que les 71 % de survie affichés au départ, parce qu'un roulement de 3 000 heures a déjà consommé la partie facile de sa vie.
Les erreurs fréquentes avec la fonction LOI.WEIBULL
Le code #NOMBRE! est celui que tu croiseras le plus : il surgit dès qu'alpha ou beta glisse à zéro ou en négatif, ce qui arrive vite quand ces paramètres viennent d'un calcul ou d'une cellule mal remplie. Les deux autres pièges sont plus sournois car ils ne déclenchent aucune alerte : inverser alpha et beta, ou mélanger les unités entre x et beta, te renvoie un nombre parfaitement crédible mais complètement faux.
Erreur #NOMBRE! : paramètres négatifs ou nuls
Alpha et beta doivent être strictement positifs. Une valeur nulle ou négative produit l'erreur #NOMBRE!. La valeur x doit être positive ou nulle (pas négative).
Solution : Vérifie les valeurs de tes paramètres : =LOI.WEIBULL(5000; 0; 3000; VRAI) est invalide (alpha = 0), mais =LOI.WEIBULL(5000; 2,1; 3000; VRAI) fonctionne. Assure-toi qu'alpha et beta viennent de calculs ou de tables qui garantissent des valeurs strictement positives.
Résultat aberrant : confusion entre alpha et beta
L'ordre des paramètres est crucial : alpha (forme) vient avant beta (échelle). Les inverser donne des résultats numériquement cohérents mais totalement faux.
Solution : Mémorise l'ordre : =LOI.WEIBULL(x; alpha; beta; cumulative). Si tu hésites, teste avec des valeurs connues : pour alpha = 1 et beta = 1000, la probabilité à x = 1000 doit être environ 63,2 %.
Résultat faux : unités incohérentes entre x et beta
Si beta est en heures et x en jours (ou inversement), tes résultats sont aberrants. La fonction ne détecte pas cet écart d'unité.
Solution : Convertis tout dans la même unité avant de calculer. Si beta vaut 5 000 heures et que tu veux évaluer la fiabilité à 3 mois, convertis : 3 mois × 730 h/mois = 2 190 heures, puis utilise x = 2190.
Questions fréquentes
La loi exponentielle est un cas particulier de Weibull avec alpha = 1. Weibull est plus flexible car elle modélise des taux de défaillance croissants (alpha > 1), décroissants (alpha < 1) ou constants (alpha = 1) selon le type d'usure. La loi exponentielle ne peut modéliser que des taux constants.
Si alpha est inférieur à 1, le taux de défaillance décroît dans le temps : c'est la mortalité infantile, typique des défauts de fabrication. Si alpha = 1, le taux est constant : pannes aléatoires, indépendantes du temps. Si alpha est supérieur à 1, le taux croît : c'est l'usure progressive, la défaillance devient de plus en plus probable avec le temps.
Beta représente le temps caractéristique : c'est le temps auquel environ 63,2 % des éléments auront échoué. Plus beta est grand, plus la durée de vie est longue. C'est une valeur de référence utile pour comparer deux équipements, à condition qu'ils aient le même alpha.
La durée de vie moyenne (espérance) se calcule avec la fonction Gamma : =beta*GAMMA.PRECISE(1+1/alpha). Cette valeur peut être plus ou moins différente de beta selon la forme de la distribution. Pour une communication avec des non-spécialistes, la médiane (=beta*PUISSANCE(LN(2);1/alpha)) est souvent plus parlante.
LOI.WEIBULL est utile pour l'analyse de fiabilité des équipements, la prévision de durée de vie, l'estimation des coûts de garantie, et la planification de la maintenance préventive. Elle est particulièrement adaptée aux composants mécaniques soumis à l'usure, aux produits électroniques avec défauts de fabrication, et à tout équipement dont les données historiques de panne sont disponibles.
Ces deux fonctions calculent exactement la même chose. LOI.WEIBULL.N est la version modernisée introduite dans Excel 2010, dans le cadre de la normalisation des noms de fonctions statistiques. Pour toute nouvelle feuille de calcul, préfère LOI.WEIBULL.N ; LOI.WEIBULL reste disponible pour la compatibilité avec les anciennes versions.
Pour aller plus loin
Continue sur ta lancée après la fonction LOI.WEIBULL : la leçon associée, un modèle prêt à l'emploi et le guide pour progresser.
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