Qu'est-ce que la fonction LOI.
La fonction LOI.LOGNORMALE (LOGNORM.DIST en anglais) te permet de modéliser des phénomènes strictement positifs avec une asymétrie naturelle. Elle est parfaite pour analyser des prix d'actions, des revenus, des tailles de particules ou tout ce qui ne peut pas être négatif et qui a tendance à avoir quelques valeurs très élevées.
Concrètement, c'est elle qu'on retrouve en finance pour valoriser des options avec le modèle Black-Scholes, en économie pour décrire la distribution des revenus, en contrôle qualité pour mesurer la conformité des particules ou en marketing digital pour segmenter les clients par montant de commande. Dès que tes données sont strictement positives et montrent une longue queue à droite, la loi lognormale est ton meilleur outil.
Syntaxe
=LOI.LOGNORMALE(x; moyenne; écart_type; cumulative)Clique sur un argument pour aller à son explication.
LOI.LOGNORMALE est la version héritée (compatible toutes versions). Sur Excel 2010 et ultérieur, son successeur LOI.LOGNORMALE.N offre les mêmes calculs avec une syntaxe identique.
Comprendre chaque paramètre de la fonction LOI.LOGNORMALE
Les quatre arguments s'enchaînent dans un ordre figé, et aucun n'est facultatif ici. D'abord la valeur x que tu testes, puis les deux paramètres du logarithme (moyenne et écart_type portent sur ln(x), jamais sur tes données brutes), enfin le booléen cumulative qui décide entre probabilité cumulée (VRAI) et densité (FAUX).
Le piège n'est pas l'ordre mais le sens : moyenne et écart_type ne sont pas la moyenne et l'écart-type de tes chiffres, mais ceux de leur logarithme naturel.
x
: c'est la valeur à laquelle tu veux évaluer la fonctionPar exemple, si tu analyses des prix d'actions et que tu veux savoir la probabilité qu'une action atteigne 120 euros, x = 120. Cette valeur doit être strictement positive.
En pratique, x peut être un montant de commande, une taille de particule, un revenu annuel ou n'importe quelle grandeur physique ou financière qui ne peut pas être nulle ou négative.
Attention : Une valeur x négative ou nulle produira l'erreur #NOMBRE!. C'est une propriété mathématique fondamentale : la loi lognormale ne modélise que des valeurs strictement positives.
moyenne
: c'est la moyenne du logarithme naturel des valeurs (moyenne de `ln(x)`), pas la moyenne des valeurs elles-mêmesCette nuance est cruciale : si tes données brutes ont une moyenne arithmétique de 100, ce n'est PAS le paramètre à utiliser ici.
Pour retrouver la vraie moyenne arithmétique à partir de ce paramètre, la formule est EXP(moyenne + écart_type²/2), qui sera toujours supérieure à la médiane EXP(moyenne) à cause de l'asymétrie.
écart_type
: c'est l'écart-type du logarithme naturel des valeurs (écart-type de `ln(x)`), pas l'écart-type des valeurs brutesPlus cet écart-type est grand, plus ta distribution sera asymétrique avec une longue queue à droite. Il doit être strictement supérieur à 0.
En finance, un écart-type de 0,3 à 0,8 est courant pour les volatilités des actifs. Un écart-type proche de 0 donne une distribution quasi-déterministe.
cumulative
: ce paramètre booléen (`VRAI` ou `FAUX`) te permet de choisir ce que tu veux calculer. Avec `VRAI`, tu obtiens la fonction de répartition cumulée : la probabilité que la variable soit inférieure ou égale à `x`Avec FAUX, tu obtiens la densité de probabilité, utile pour tracer la courbe de distribution ou calculer des probabilités dans un intervalle.
Exemples pratiques pas à pas
Comment calculer la probabilité cumulée avec la fonction LOI.LOGNORMALE
Tu suis un actif coté et tu dois chiffrer la probabilité qu'il reste sous un cours cible à l'horizon d'un an, parce qu'une couverture se décide sur une probabilité et pas sur une impression. Ton tableau exprime chaque cible en multiple du cours actuel, avec une dérive de 0,08 et une volatilité de 0,25 estimées sur le logarithme des rendements. La fonction LOI.LOGNORMALE rend cette probabilité en une seule opération.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.LOGNORMALE(. - 2En 1er argument : clique sur la cellule du multiple de cours visé,
B2. Elle vaut1,20pour un objectif à 120 % du cours actuel, et tu passes bien cette valeur telle quelle et non son logarithme, que la fonction calcule elle-même. - 3En 2ᵉ argument : saisis la moyenne du logarithme des cours,
0,08. Ce paramètre ne décrit pas la moyenne du cours mais celle de son logarithme, et c'est le piège classique de la fonction puisqu'il ne se lit jamais dans la même unité que le multiple. - 4En 3ᵉ argument : saisis l'écart-type de ce même logarithme,
0,25, qui mesure la volatilité et doit rester strictement positif. Un écart-type nul ou négatif renvoie l'erreur#NOMBRE!. - 5Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée, puis recopie la formule vers le bas pour couvrir toutes les cibles. La fonction refuse toute valeur de multiple nulle ou négative avec
#NOMBRE!, ce qui reste cohérent avec un cours qui ne peut pas descendre sous zéro.
=LOI.LOGNORMALE(B2; 0,08; 0,25)65,9 % de la première ligne annoncent la probabilité que le cours reste sous 1,2 fois sa valeur de départ. La ligne 1,00 est la plus parlante avec ses 37,4 % : la probabilité de finir sous le cours initial n'est pas de 50 %, parce que la distribution est asymétrique, contrairement à une loi normale.
Comment calculer la probabilité de dépassement avec la fonction LOI.LOGNORMALE
Ton comité d'investissement ne te demande pas la probabilité de rester sous une cible mais celle de l'atteindre, ce qui est exactement la question inverse. La fonction ne répond jamais à cette question directement, car elle cumule toujours depuis le bas de la distribution. Il faut donc retourner son résultat.
- 1Dans une cellule, écris
=1-LOI.LOGNORMALE(, en gardant le1-devant l'appel puisque c'est lui qui donnera la probabilité de dépassement, puis :- aEn 1er argument : clique sur la cellule du multiple visé,
B2, qui vaut1,2sur la première ligne. - bEn 2ᵉ argument : saisis la moyenne du logarithme des cours,
0,08, identique à celle de l'exemple précédent. - cEn 3ᵉ argument : saisis l'écart-type du logarithme,
0,25. La distribution décrite reste rigoureusement la même que dans l'exemple 1.
- aEn 1er argument : clique sur la cellule du multiple visé,
- 2Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée. Le
1-placé en tête transforme la probabilité de rester sous la cible en probabilité de la dépasser, et les deux colonnes d'une même ligne s'additionnent toujours à 100 %.
=1-LOI.LOGNORMALE(B2; 0,08; 0,25)1 retourne la question et donne la probabilité de la dépasser. La ligne 2 chiffre la rareté d'un doublement du cours à 0,7 % seulement, alors que la ligne 0,8 montre qu'il y a 88,7 % de chances de rester au-dessus de 80 % du cours actuel. Les deux colonnes d'une même ligne s'additionnent toujours à 100 %, puisque le cours est soit sous la cible, soit au-dessus.
Comment retrouver le résultat de la fonction LOI.LOGNORMALE avec la fonction LN
Le piège de cette fonction est que ses deux paramètres ne se lisent pas dans l'unité de tes données, et rien à l'écran ne te le rappelle. Confondre les deux ne déclenche aucune erreur, cela produit juste un résultat crédible et faux, du genre qui traverse une présentation sans être repéré. Refaire le calcul étape par étape est la seule façon de lever le doute une bonne fois.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.NORMALE.STANDARD.N(. - 2En 1er argument : saisis le score z reconstruit à la main,
(LN(B2)-0,08)/0,25. La fonction LN ramène le multiple sur l'échelle logarithmique, puis la soustraction de0,08recentre ce logarithme sur sa moyenne et la division par0,25le rapporte à son écart-type. - 3En 2ᵉ argument : saisis
VRAIpour convertir ce score z en probabilité cumulée, l'aire à gauche et non la hauteur de la courbe. - 4Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée, puis compare la colonne obtenue à celle de l'exemple 1. Les deux sont identiques ligne à ligne, ce qui prouve que
0,08et0,25portent bien sur le logarithme du multiple et jamais sur le multiple lui-même.
=LOI.NORMALE.STANDARD.N((LN(B2)-0,08)/0,25; VRAI)0,08 et 0,25 portent bien sur le logarithme du multiple, jamais sur le multiple lui-même.
Les erreurs fréquentes avec la fonction LOI.LOGNORMALE
Deux fautes reviennent sans arrêt avec cette fonction, et elles n'ont pas le même visage. La plus visible saute aux yeux : un x nul ou négatif, ou un écart_type à 0, et tu récoltes un #NOMBRE! puisque la lognormale ne vit que dans le positif strict.
La plus sournoise ne déclenche aucune alerte : passer la moyenne de tes valeurs brutes au lieu de la moyenne de leur ln. Le résultat sort, l'air parfaitement valide, mais il est faux de bout en bout.
Valeur x nulle ou négative
La loi lognormale n'est définie que pour x strictement positif. Une valeur x inférieure ou égale à 0 produit l'erreur #NOMBRE!. =LOI.LOGNORMALE(0; 2; 0,5; VRAI) et =LOI.LOGNORMALE(-10; 2; 0,5; VRAI) échouent tous les deux.
Solution : Vérifie que ta cellule x contient bien une valeur strictement positive. Si tes données peuvent être nulles, protège la formule avec SIERREUR ou un test SI(cellule>0; LOI.LOGNORMALE(...); "") pour éviter l'affichage d'erreurs.
Confusion entre moyenne des valeurs et moyenne de ln(valeurs)
Le paramètre moyenne n'est PAS la moyenne arithmétique de tes données X, mais la moyenne de LN(X). Utiliser directement la moyenne des valeurs brutes comme paramètre donne des résultats totalement faux, sans message d'erreur.
Solution : Calcule toujours le paramètre avec =MOYENNE(LN(plage_données)) appliqué à tes valeurs brutes. De même pour l'écart-type : =ECARTYPE(LN(plage_données)).
Écart-type négatif ou nul
Un écart-type de 0 ou négatif cause l'erreur #NOMBRE!. Un écart-type très proche de 0 donne une distribution presque déterministe, ce qui est rarement réaliste.
Solution : Assure-toi que écart_type > 0. Si tu calcules l'écart-type depuis des données, une série identique (tous les mêmes revenus par exemple) donnera 0 : il faut alors plus de variété dans le jeu de données.
Utilisation sur des données symétriques ou négatives
Si tes données peuvent être négatives ou suivent une distribution symétrique en cloche, la loi lognormale n'est pas adaptée. Les résultats seront mathématiquement valides mais économiquement sans sens.
Solution : Utilise LOI.NORMALE pour les données symétriques ou potentiellement négatives. Teste l'asymétrie avec un histogramme avant de choisir ta distribution.
Astuces avancées avec LOI.LOGNORMALE
Calcule les paramètres directement depuis tes données
Si tu as une série de valeurs brutes strictement positives, obtiens les deux paramètres en une formule : =MOYENNE(LN(plage)) pour la moyenne et =ECARTYPE(LN(plage)) pour l'écart-type du logarithme. Tu peux alors brancher ces cellules directement dans LOI.LOGNORMALE sans retaper les valeurs à la main.
Cela rend ton modèle dynamique : si tes données s'enrichissent, les probabilités se mettent à jour automatiquement.
Retrouve la médiane et la moyenne réelle
La médiane d'une distribution lognormale est EXP(moyenne) : c'est la valeur qui divise ta population en deux moitiés égales, toujours inférieure à la moyenne arithmétique à cause de l'asymétrie. La moyenne arithmétique réelle, elle, est EXP(moyenne + écart_type²/2).
Ces deux valeurs te donnent une lecture immédiate de la distribution : en revenus, la médiane est ce que gagne la personne du milieu, la moyenne est tirée vers le haut par les très hauts revenus.
Calcule la probabilité dans un intervalle
Pour obtenir la probabilité que X soit compris entre a et b, soustrais les deux probabilités cumulées : =LOI.LOGNORMALE(b; moy; ect; VRAI) - LOI.LOGNORMALE(a; moy; ect; VRAI). Ce pattern est utile pour quantifier la proportion de clients dont le panier est entre 50 et 150 euros, ou la part de particules dans la plage de conformité.
Aucune formule spéciale n'est nécessaire : la soustraction des deux cumulées donne directement la probabilité de l'intervalle.
Questions fréquentes
Car si X suit une loi lognormale, alors ln(X) suit une loi normale. Le logarithme naturel transforme une lognormale en normale, d'où le nom. C'est la propriété qui justifie d'utiliser les deux paramètres du logarithme plutôt que les statistiques directes des données brutes.
Utilise la loi lognormale pour des données strictement positives avec une asymétrie positive (longue queue à droite) : revenus, prix d'actifs financiers, tailles de particules, temps de réaction, montants de sinistres. La loi normale convient pour des données symétriques qui peuvent être négatives, comme des erreurs de mesure ou des températures.
Ce sont la moyenne et l'écart-type du logarithme des valeurs, pas des valeurs elles-mêmes. Si moyenne = 10,5 et écart-type = 0,6, la vraie médiane vaut EXP(10,5) = 36 315, et la vraie moyenne arithmétique vaut EXP(10,5 + 0,6²/2) = 43 380. Ne jamais confondre les deux niveaux.
Non, jamais. Toutes les valeurs sont strictement positives, ce qui en fait un modèle naturel pour les grandeurs physiques, biologiques ou financières. Dès que ta variable peut être nulle ou négative (températures, solde de trésorerie), la loi lognormale ne convient plus.
La médiane est EXP(moyenne), où moyenne est le paramètre passé à la fonction, c'est-à-dire la moyenne du logarithme des valeurs. Elle est toujours inférieure à la moyenne arithmétique réelle EXP(moyenne + écart_type²/2) à cause de l'asymétrie positive de la distribution.
Elles calculent exactement la même chose. LOI.LOGNORMALE est la version héritée disponible dans toutes les versions d'Excel. LOI.LOGNORMALE.N est son successeur introduit dans Excel 2010. La syntaxe est identique et les résultats sont les mêmes : tu peux utiliser l'une ou l'autre selon ta version.
Pour aller plus loin
Continue sur ta lancée après la fonction LOI.LOGNORMALE : la leçon associée, un modèle prêt à l'emploi et le guide pour progresser.
Tout voir
