Fonction de compatibilité
Cette fonction est conservée pour assurer la compatibilité avec les anciennes versions d'Excel (Excel 2007 et antérieures). Elle reste fonctionnelle mais n'est plus recommandée pour les nouveaux classeurs.
Utilise plutôt : LOI.EXPONENTIELLE.N qui offre plus de fonctionnalités et une meilleure précision.
Fonction LOI.EXPONENTIELLEDistribution exponentielle – Guide 2026
La fonction LOI.EXPONENTIELLE te permet de modéliser le temps d'attente entre événements aléatoires. En clair, elle répond à des questions comme : "Combien de temps avant la prochaine panne ?", "Quelle est la probabilité qu'un client arrive dans les 5 prochaines minutes ?", ou "Combien de temps cette ampoule va-t-elle tenir ?". Que tu travailles en fiabilité, en analyse de données ou en gestion de files d'attente, cette fonction est ton allié pour prévoir l'imprévisible.
Syntaxe de la fonction LOI.EXPONENTIELLE
La syntaxe de LOI.EXPONENTIELLE est simple : tu lui donnes un temps, un taux d'événements, et tu choisis si tu veux une probabilité cumulée ou une densité.
=LOI.EXPONENTIELLE(x; lambda; cumulative)Comprendre chaque paramètre de la fonction LOI.EXPONENTIELLE
x
(obligatoire)C'est le temps d'attente que tu veux analyser. Ça peut être des minutes, des heures, des jours... tant que c'est cohérent avec ton paramètre lambda. La valeur doit être supérieure ou égale à zéro (pas de temps négatif !).
Exemple concret : Tu es responsable maintenance et tu veux savoir la probabilité qu'une machine tienne 100 heures sans panne ? Utilise x = 100. Tu gères un centre d'appels et tu analyses un temps d'attente de 5 minutes ? Utilise x = 5.
lambda
(obligatoire)Le paramètre lambda (λ) représente le taux moyen d'événements par unité de temps. Si λ = 0,5 événement par minute, ça signifie qu'en moyenne, un événement se produit toutes les 2 minutes (1/0,5 = 2). Le temps moyen entre événements est toujours 1/λ. Lambda doit être strictement supérieur à zéro.
Conversion pratique : Si on te dit "1 panne tous les 10 jours en moyenne", alors λ = 1/10 = 0,1 panne par jour. Si tu as "6 appels par heure", alors λ = 6/60 = 0,1 appel par minute. Pense toujours à l'inverse : temps moyen = 1/λ !
cumulative
(obligatoire)Un simple VRAI ou FAUX qui change tout. VRAI te donne la probabilité cumulée P(X ≤ x) : "Quelle est la probabilité que l'événement se produise avant le temps x ?". FAUX te donne la densité de probabilité, qui représente le taux instantané à ce moment précis.
Attention : Dans 99% des cas, tu veux VRAI pour obtenir des probabilités utilisables. FAUX te donne une densité (qui peut être supérieure à 1) et ne représente pas directement une probabilité. Utilise FAUX seulement si tu construis des modèles statistiques avancés !
Exemples pratiques pas à pas
Exemple 1 – Responsable centre d'appels : prévoir les temps d'attente
Tu es responsable d'un centre d'appels ou manager support client. Ton centre reçoit en moyenne 6 appels par heure, soit λ = 6/60 = 0,1 appel par minute. Tu veux calculer la probabilité que le prochain appel arrive dans les 5 prochaines minutes pour optimiser la planification de tes équipes.
Résultat : 39,35% de chances qu'un appel arrive dans les 5 prochaines minutes. Le temps moyen entre appels est 1/0,1 = 10 minutes.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Temps (min) | Lambda (/min) | P(X ≤ temps) | Interprétation |
| 2 | 5 | 0,1 | 39,35% | Appel dans 5 min |
| 3 | 10 | 0,1 | 63,21% | Appel dans 10 min |
| 4 | 15 | 0,1 | 77,69% | Appel dans 15 min |
=LOI.EXPONENTIELLE(5;0,1;VRAI)Moins d'1 chance sur 2 d'avoir un appel dans les 5 prochaines minutes. Si tu veux atteindre 90% de probabilité qu'un appel arrive, il faudra attendre environ 23 minutes (résous -LN(1-0,9)/0,1). Pratique pour dimensionner tes équipes !
Exemple 2 – Ingénieur fiabilité : prévoir la durée de vie d'une ampoule LED
Tu es ingénieur fiabilité ou responsable qualité produit. Tes ampoules LED ont un taux de défaillance constant de 0,0001 par heure de fonctionnement. Tu veux calculer la probabilité qu'une ampoule fonctionne plus de 5000 heures (environ 7 mois en utilisation continue) pour définir ta garantie produit.
Résultat : 60,65% des ampoules fonctionneront plus de 5000 heures. Pour la probabilité de survie, utilise 1-P(défaillance).
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Heures | Taux λ (/h) | P(défaillance) | P(survie) | Années équiv. |
| 2 | 5000 | 0,0001 | 39,35% | 60,65% | 0,57 |
| 3 | 10000 | 0,0001 | 63,21% | 36,79% | 1,14 |
| 4 | 20000 | 0,0001 | 86,47% | 13,53% | 2,28 |
=1-LOI.EXPONENTIELLE(5000;0,0001;VRAI)Plus de 6 ampoules sur 10 dépasseront les 5000 heures. Le temps moyen de fonctionnement est 1/0,0001 = 10 000 heures. Tu peux donc proposer une garantie de 5000 heures en toute confiance, avec une marge de sécurité confortable !
Exemple 3 – Physicien : modéliser la désintégration radioactive
Tu es physicien ou chercheur en sciences nucléaires. Ton isotope radioactif a une demi-vie de 10 ans. Sachant que λ = ln(2)/demi-vie ≈ 0,0693 par an, tu veux calculer la probabilité qu'un atome se désintègre dans les 5 prochaines années pour tes prévisions expérimentales.
Résultat : 29,29% de probabilité de désintégration en 5 ans. Après 10 ans (une demi-vie), 50% des atomes se sont désintégrés, ce qui vérifie la définition.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Années | Lambda | P(désintégration) | Interprétation |
| 2 | 5 | 0,0693 | 29,29% | Demi de la demi-vie |
| 3 | 10 | 0,0693 | 50,00% | Une demi-vie |
| 4 | 20 | 0,0693 | 75,00% | Deux demi-vies |
=LOI.EXPONENTIELLE(5;0,0693;VRAI)En 5 ans (la moitié de la demi-vie), environ 29% des atomes se sont désintégrés. Après 10 ans, ce sera 50%. Et après 20 ans (deux demi-vies), 75% auront disparu. C'est la magie de la décroissance exponentielle !
Exemple 4 – E-commerçant : analyser le temps entre achats
Tu es responsable e-commerce ou data analyst retail. Ton site enregistre en moyenne 2 ventes par heure en soirée (λ = 2 ventes/heure). Tu veux savoir la probabilité d'attendre entre 20 et 40 minutes avant la prochaine vente pour optimiser ton remarketing en temps réel.
Résultat : 21,61% de chances d'attendre entre 20 et 40 min. Attention aux unités : lambda est par heure, donc convertis les minutes en heures (20/60 et 40/60).
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Temps min | Temps max | Lambda (/h) | P(20≤X≤40 min) |
| 2 | 20 min | 40 min | 2 | 21,61% |
=LOI.EXPONENTIELLE(40/60;2;VRAI)-LOI.EXPONENTIELLE(20/60;2;VRAI)Environ 1 fois sur 5, l'attente sera entre 20 et 40 minutes. Le temps moyen entre ventes est 1/2 = 0,5 heure = 30 minutes. Si tu n'as pas eu de vente depuis 30 minutes, pas de panique : grâce à la propriété sans mémoire, la proba pour les 30 prochaines minutes reste la même !
Exemple 5 – Comprendre VRAI vs FAUX : densité ou probabilité cumulée
Comparaison pratique entre la fonction de densité (FAUX) qui te donne le taux instantané, et la fonction cumulative (VRAI) qui te donne la probabilité totale jusqu'à un point. Ici avec λ = 0,5 pour bien visualiser la différence.
La densité décroît exponentiellement : les événements sont plus probables au début. La cumulative croît et tend vers 100%.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Temps x | Densité f(x) | Cumulée F(x) | Signification |
| 2 | 1 | 0,3033 | 0,3935 | Taux et probabilité à t=1 |
| 3 | 2 | 0,1839 | 0,6321 | 63% avant t=2 |
| 4 | 4 | 0,0677 | 0,8647 | 86% avant t=4 |
=LOI.EXPONENTIELLE(1;0,5;FAUX)Note bien : la densité à t=1 est 0,3033 (pas une probabilité !). C'est juste le taux instantané. Pour une probabilité réelle, regarde la colonne "Cumulée" : 39,35% de chances que l'événement se produise avant t=1. La densité au temps 0 est toujours égale à λ (ici 0,5).
Applications avancées
La propriété magique : absence de mémoire
La loi exponentielle est la seule distribution continue possédant la propriété d'absence de mémoire. Mathématiquement : P(X supérieur s+t | X supérieur s) = P(X supérieur t). En français : le futur ne dépend pas du passé !
Exemple concret : Tu attends un bus depuis 10 minutes ? La probabilité d'attendre 5 minutes de plus est exactement la même que si tu venais d'arriver. Le temps déjà écoulé n'a aucun impact sur l'attente future. Fascinant, non ?
Attention : Cette propriété n'est valide que pour les processus sans usure ni vieillissement. Pour les systèmes qui s'usent avec le temps (voitures, machines), utilise plutôt une distribution de Weibull qui peut modéliser l'augmentation du taux de défaillance.
Le lien avec la loi de Poisson
Si N(t) suit une loi de Poisson de paramètre λt (nombre d'événements dans l'intervalle [0,t]), alors le temps T jusqu'au premier événement suit une loi exponentielle de paramètre λ. Ce sont deux faces de la même médaille !
Autrement dit : LOI.EXPONENTIELLE(t; λ; VRAI) te donne la probabilité qu'aucun événement ne se soit produit avant le temps t. C'est exactement LOI.POISSON(0; λ×t; VRAI). Si les pannes suivent un processus de Poisson avec 0,5 panne par mois, le temps jusqu'à la première panne suit LOI.EXPONENTIELLE(t; 0,5; VRAI).
Taux de défaillance constant en fiabilité
Dans l'analyse de fiabilité, la loi exponentielle modélise la phase de "vie utile" d'un produit où le taux de défaillance est constant (la partie plate de la fameuse courbe en baignoire). Le taux de défaillance h(t) est constant et égal à λ.
Formule de fiabilité : Pour calculer la fiabilité à un temps t (probabilité que ton système fonctionne encore) : R(t) = 1 - LOI.EXPONENTIELLE(t; λ; VRAI) = e^(-λt). Au temps t = MTTF = 1/λ, la fiabilité est toujours de 36,79%. C'est une constante universelle !
Estimer lambda à partir de tes données
Tu as des données observées et tu veux estimer λ ? C'est simple : le meilleur estimateur de λ est l'inverse de la moyenne de tes observations. λ = 1/moyenne. Mesure tes temps entre événements, calcule leur moyenne avec MOYENNE(), puis prends l'inverse.
Exemple pratique : Tu as observé des temps d'attente de 8, 12, 5, 15, et 10 minutes. La moyenne est 10 minutes. Donc λ estimé = 1/10 = 0,1 événement par minute, soit 6 événements par heure. Pour un intervalle de confiance à 95%, utilise les formules du chi-deux avec tes n observations.
Minimum de variables exponentielles (systèmes en parallèle)
Propriété super pratique : si X₁, X₂, ..., Xₙ sont des variables exponentielles indépendantes de paramètres λ₁, λ₂, ..., λₙ, alors min(X₁, X₂, ..., Xₙ) suit une loi exponentielle de paramètre λ₁ + λ₂ + ... + λₙ. Les taux s'additionnent !
Application : Dans ton système avec plusieurs composants en parallèle, si chaque composant i a un taux de défaillance λᵢ, le temps jusqu'à la première défaillance suit une exponentielle avec λ = Σλᵢ. Exemple : 3 serveurs en parallèle avec taux de panne 0,1, 0,2, et 0,15 par mois. Le temps jusqu'à la première panne suit LOI.EXPONENTIELLE(t; 0,45; VRAI). Temps moyen : 1/0,45 ≈ 2,22 mois.
Médiane et quantiles pratiques
La médiane d'une loi exponentielle est ln(2)/λ ≈ 0,693/λ. C'est toujours inférieur à la moyenne 1/λ car la distribution est asymétrique avec une longue queue à droite.
Formule des quantiles : Pour calculer le quantile à p% : temps = -LN(1-p)/λ. Par exemple, le 90ème percentile (90% des événements se produisent avant ce temps) est -LN(0,1)/λ = 2,303/λ. Avec λ = 0,5, c'est 4,61 unités de temps. Très utile pour les SLA !
Les erreurs fréquentes et comment les éviter
Lambda négatif ou nul
Le paramètre lambda doit être strictement positif. Une valeur inférieure ou égale à 0 te donnera l'erreur #NOMBRE!. Vérifie toujours que ton taux d'événements est positif et bien défini avant de lancer ta formule.
Valeur x négative
Les temps d'attente ne peuvent pas être négatifs ! Si x est inférieur à zéro, Excel te retournera #NOMBRE!. La loi exponentielle ne s'applique qu'aux valeurs positives ou nulles, ce qui est logique pour modéliser des durées.
Confusion des unités de temps (l'erreur N°1 !)
C'est LA plus grosse erreur : lambda et x doivent être dans les mêmes unités de temps. Si λ = 2 événements par heure, x doit être en heures. Pour 30 minutes, utilise x = 0,5 heure, pas 30 !
Utilisation avec des systèmes qui s'usent
La loi exponentielle suppose un taux de défaillance constant. Ne l'utilise PAS pour modéliser des systèmes qui s'usent (taux croissant) ou se rodent (taux décroissant). Les pneus, batteries, et composants mécaniques nécessitent d'autres distributions.
Confusion entre lambda et bêta
Attention : Excel utilise λ (le taux) comme paramètre, mais certaines formulations mathématiques utilisent β = 1/λ (le temps moyen). Assure-toi de bien identifier quel paramètre tu as !
Mauvaise interprétation de la densité
Avec cumulative = FAUX, la valeur retournée est une densité, pas une probabilité ! Pour λ = 2, LOI.EXPONENTIELLE(0; 2; FAUX) = 2, ce qui est supérieur à 1. C'est normal pour une densité.
Oubli de la probabilité complémentaire
Pour calculer P(X supérieur à a), n'oublie pas d'utiliser 1 - LOI.EXPONENTIELLE(a; λ; VRAI), pas juste la fonction directement ! LOI.EXPONENTIELLE te retourne P(X ≤ a), donc pour "plus de a", il faut soustraire de 1. Exemple : la probabilité d'attendre plus de 5 minutes est 1 - LOI.EXPONENTIELLE(5; λ; VRAI). Ne te trompe pas de sens !
Questions fréquentes
Quelle différence entre VRAI et FAUX pour cumulative ?
VRAI te retourne la probabilité cumulée P(X ≤ x), c'est-à-dire la probabilité qu'un événement se produise avant le temps x. FAUX te donne la densité de probabilité au point x, qui représente le taux instantané de défaillance ou d'occurrence à ce moment précis.
Comment interpréter le paramètre lambda (λ) ?
Lambda représente le taux moyen d'événements par unité de temps. Par exemple, λ = 0,1 signifie 0,1 événement par heure, soit 1 événement toutes les 10 heures en moyenne. Le temps moyen entre événements est 1/λ. Simple et pratique !
Quelle est la relation entre loi exponentielle et loi de Poisson ?
Si les événements suivent un processus de Poisson (nombre d'événements par période), alors le temps entre ces événements suit une loi exponentielle. Ce sont deux faces de la même médaille : Poisson compte les événements, l'exponentielle mesure le temps entre eux.
Pourquoi dit-on que la loi exponentielle est sans mémoire ?
C'est la propriété d'absence de mémoire : la probabilité qu'un événement se produise dans les prochaines k minutes est la même, que tu aies déjà attendu 0, 10 ou 100 minutes. Le passé n'influence pas le futur. Par exemple, une ampoule qui a déjà fonctionné 1000h n'a pas plus ou moins de chances de griller dans la prochaine heure.
Dans quels cas ne PAS utiliser la loi exponentielle ?
N'utilise pas la loi exponentielle si : (1) les événements ne sont pas indépendants, (2) le taux d'occurrence varie dans le temps, (3) il y a un phénomène d'usure (la probabilité de défaillance augmente avec le temps), (4) tes données montrent plusieurs modes ou pics. Dans ces cas, considère d'autres distributions comme Weibull ou gamma.
Fonctions similaires
Deviens un pro d'Excel
Rejoins Le Dojo Club pour maîtriser toutes les fonctions Excel et les statistiques avancées.
Essayer pendant 30 jours