Qu'est-ce que la fonction LOI.
La fonction LOI.GAMMA te permet de calculer des probabilités pour des phénomènes où les valeurs sont toujours positives et asymétriques. C'est l'outil idéal pour modéliser des temps d'attente, des durées de vie de composants, des montants de sinistres en assurance, ou toute variable qui ne peut pas être négative.
Que tu travailles en fiabilité industrielle, en actuariat ou en analyse de données météorologiques, LOI.GAMMA t'offre une flexibilité remarquable grâce à ses paramètres de forme et d'échelle, qui lui permettent de s'adapter à des distributions très variées.
Syntaxe
=LOI.GAMMA(x; alpha; bêta; cumulative)Clique sur un argument pour aller à son explication.
LOI.GAMMA est une fonction héritée (legacy) maintenue pour la compatibilité. La version recommandée depuis Excel 2010 est LOI.GAMMA.N, qui fonctionne de façon identique avec la même syntaxe.
Comprendre chaque paramètre de la fonction LOI.GAMMA
Les quatre arguments s'enchaînent dans un ordre fixe : la valeur x que tu veux évaluer, puis alpha (la forme), bêta (l'échelle), et enfin cumulative. Tous les quatre sont obligatoires, contrairement à beaucoup de fonctions où le dernier est facultatif.
Les deux qui méritent toute ton attention : alpha et bêta dessinent la distribution (moyenne = α × β), et cumulative bascule entre une probabilité (VRAI) et une densité de courbe (FAUX), deux résultats qui n'ont rien à voir.
x
: la valeur à laquelle tu veux évaluer ta distributionEn pratique, c'est le seuil qui t'intéresse : un temps d'attente en heures, une durée de vie d'un composant, un montant de sinistre. La valeur doit être supérieure ou égale à zéro.
Par exemple, si tu veux savoir la probabilité qu'un composant tombe en panne avant 3 000 heures, tu poses x = 3000. Si tu analyses un sinistre de 2 500 €, tu poses x = 2500.
alpha
: le paramètre de forme qui détermine la "personnalité" de ta distributionQuand alpha = 1, tu obtiens une loi exponentielle simple. Quand alpha augmente, la courbe devient plus symétrique et ressemble davantage à une cloche. Ce paramètre doit être strictement supérieur à zéro.
Si tu ne connais pas alpha, estime-le à partir de tes données historiques : alpha ≈ moyenne² / variance. C'est la méthode des moments, rapide et fiable pour un premier cadrage.
bêta
: le paramètre d'échelle qui contrôle l'étalement horizontal de ta distributionUne grande valeur de bêta étire la courbe vers la droite (événements plus rares, de plus grande ampleur), une petite valeur la compresse (événements plus fréquents, de faible ampleur). Doit être strictement supérieur à zéro.
Si tu as déjà estimé alpha par la méthode des moments, bêta = variance / moyenne. La moyenne de ta distribution sera α × β et la variance sera α × β².
cumulative
: un simple `VRAI` ou `FAUX` qui change complètement le résultatVRAI te donne la probabilité cumulée P(X ≤ x) : la probabilité que ta variable soit inférieure ou égale à x. FAUX te donne la densité de probabilité, c'est-à-dire la hauteur de la courbe à ce point précis.
Dans la grande majorité des cas pratiques, tu utiliseras VRAI pour obtenir des probabilités directement exploitables.
Attention : Avec cumulative = FAUX, la valeur retournée peut dépasser 1 : ce n'est pas une probabilité mais une densité. Une densité de 1,8 à un point donné ne veut pas dire 180% ! Utilise FAUX uniquement si tu traces la courbe de densité ou si tu travailles sur des calculs avancés de statistique mathématique.
Exemples pratiques pas à pas
Comment calculer la probabilité cumulée d'une durée de vie avec la fonction LOI.GAMMA
Un parc de relais et de cartes électroniques arrive en fin de cycle et tu dois placer la révision préventive au bon moment, sans immobiliser la production pour rien. Tes essais de fiabilité donnent une loi gamma de forme 2,5 et d'échelle 1000 heures, et le tableau liste chaque composant avec le cap d'heures à évaluer. La fonction LOI.GAMMA rend la part du parc déjà tombée en panne avant ce cap.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.GAMMA(. - 2En 1er argument : clique sur la cellule du cap d'heures que tu évalues,
B2. Elle vaut3000heures pour ce composant, et comme la formule pointe la cellule plutôt que le nombre, il te suffit d'y taper un autre cap pour relancer le calcul. - 3En 2ᵉ argument : saisis le paramètre de forme,
2,5. C'est lui qui donne son profil à la courbe : posé à1elle se confond avec une loi exponentielle, et plus il monte, plus elle se redresse en cloche. - 4En 3ᵉ argument : saisis le paramètre d'échelle,
1000. Il s'exprime dans l'unité de tes données, l'heure, et la durée de vie moyenne se lit dans le produit des deux paramètres,2,5 × 1000, soit2500heures. - 5En 4ᵉ argument : saisis la valeur qui demande la probabilité cumulée,
VRAI. AvecFAUX, la fonction LOI.GAMMA rendrait la densité en ce point, un nombre qui n'est pas un pourcentage. - 6Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
=LOI.GAMMA(B2; 2,5; 1000; VRAI)3000 heures et rend 69,4% : près de sept composants sur dix sont déjà tombés avant ce cap, alors que la durée de vie moyenne (le produit alpha × bêta) n'est que de 2500 heures. Avancer la révision à 1500 heures ne couvrirait que 30,0% du parc et laisserait donc passer la grande majorité des pannes.
Comment calculer la densité de probabilité avec la fonction LOI.GAMMA
Tu veux glisser la courbe de la distribution dans ton rapport de fiabilité, pas un pourcentage de plus. Le tableau reprend la forme 2,5 et l'échelle 1000 heures de tes essais, avec quelques points de temps à tracer. Le quatrième argument de la fonction LOI.GAMMA bascule justement entre la surface cumulée et la hauteur de la courbe en un point.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.GAMMA(. - 2En 1er argument : clique sur la cellule du point où tu veux la hauteur de la courbe,
B2. Elle vaut1500heures sur la première ligne, et c'est en ce point que la densité sera mesurée. - 3En 2ᵉ argument : clique sur la cellule du paramètre de forme,
C2. Elle contient2,5. C'est la même forme que pour la probabilité cumulée, et seule la lecture du résultat changera. - 4En 3ᵉ argument : clique sur la cellule du paramètre d'échelle,
D2. Elle contient1000heures, et ces deux paramètres dessinent exactement la distribution de l'exemple précédent. - 5En 4ᵉ argument : saisis la valeur qui demande la densité,
FAUX. C'est le seul changement par rapport à la probabilité cumulée, et il modifie complètement la nature du nombre obtenu, une hauteur de courbe et jamais un pourcentage. - 6Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
=LOI.GAMMA(B2; C2; D2; FAUX)FAUX, la fonction LOI.GAMMA rend la hauteur de la courbe au point demandé et non la surface accumulée sous elle. Au point 1500 heures, cette hauteur vaut 0,000308. Ces hauteurs minuscules ne veulent pas dire que les pannes sont rares : elles s'étalent simplement sur des milliers d'heures, et c'est l'échelle bêta qui les écrase. Une densité n'est jamais un pourcentage (avec une échelle de 0,05, la même fonction rend 5,76 au point 0,1, ce qu'aucune probabilité ne pourrait faire).
Attention : Une densité peut dépasser 1, donc elle ne se lit jamais comme une probabilité. Si tu as besoin d'un pourcentage exploitable dans une décision ou un reporting, repasse cumulative à VRAI.
Comment retrouver la loi exponentielle avec les fonctions LOI.GAMMA et LOI.EXPONENTIELLE
On te dit que la loi gamma « contient » la loi exponentielle comme cas particulier, et tu veux le vérifier sur tes propres chiffres avant de la reprendre dans un modèle que d'autres relieront. Le tableau fixe une forme à 1, une échelle de 10 heures et trois temps à contrôler. En posant les deux lois côte à côte dans la même formule et en les soustrayant, tu obtiens l'écart réel plutôt qu'une affirmation à croire sur parole.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.GAMMA(. - 2En 1er argument : clique sur la cellule du temps à contrôler,
B2. La même cellule servira aux deux lois, pour qu'elles soient comparées au même point. - 3En 2ᵉ argument : clique sur la cellule du paramètre de forme,
C2. Elle vaut1, et c'est cette valeur qui fait de la loi gamma le cas particulier annoncé, la loi exponentielle. - 4En 3ᵉ argument : clique sur la cellule du paramètre d'échelle,
D2. Elle vaut10heures, une échelle que la seconde fonction devra retrouver sous une autre forme. - 5En 4ᵉ argument : saisis la valeur qui demande la probabilité cumulée,
VRAI. La loi exponentielle recevra la même consigne, faute de quoi la soustraction comparerait une probabilité à une densité. - 6Ferme la parenthèse de la fonction LOI.GAMMA, complète par
-LOI.EXPONENTIELLE(B2; 1/D2; VRAI), puis appuie sur Entrée. La fonction LOI.EXPONENTIELLE lit le même temps enB2, mais son paramètre est un taux et non une échelle, d'où le1/D2qui vaut0,1panne par heure pour une échelle de10heures. Un écart nul confirme alors que les deux lois rendent le même nombre, sans arrondi intermédiaire.
=LOI.GAMMA(B2; C2; D2; VRAI)-LOI.EXPONENTIELLE(B2; 1/D2; VRAI)0. Avec une forme de 1, la fonction LOI.GAMMA reproduit donc la fonction LOI.EXPONENTIELLE au chiffre près. Tout tient dans la conversion du paramètre (l'échelle bêta de la gamma vaut l'inverse du taux lambda de l'exponentielle), sans laquelle l'écart ne serait pas nul.
Les erreurs fréquentes avec la fonction LOI.GAMMA
Le code qui revient le plus souvent est #NOMBRE!, et il signale presque toujours un paramètre hors limites : un alpha ou un bêta à zéro ou négatif, ou un x qui passe sous zéro. La loi gamma ne vit que sur les valeurs positives, donc dès qu'une de ces bornes est franchie, Excel refuse de calculer.
Les autres pièges sont plus sournois car ils ne renvoient aucune erreur : confondre bêta avec un taux lambda (à convertir en 1/lambda) ou lire une densité issue de cumulative = FAUX comme une probabilité te donnent des chiffres faux mais d'apparence normale.
Paramètres alpha ou bêta négatifs ou nuls
Alpha et bêta doivent être strictement supérieurs à zéro. Une valeur inférieure ou égale à 0 déclenche l'erreur #NOMBRE!. C'est la contrainte mathématique de la loi gamma : ses paramètres définissent une distribution sur les positifs.
Solution : Vérifie que tes cellules contiennent des valeurs strictement positives avant de lancer ta formule. Ajoute une validation avec =SI(ET(alpha>0; beta>0); LOI.GAMMA(...); "Paramètres invalides") si tes données peuvent contenir des zéros.
Valeur x négative
La loi gamma ne s'applique qu'aux valeurs positives ou nulles. Si x est négatif, Excel renvoie #NOMBRE!. C'est logique : la distribution gamma modélise des quantités qui ne peuvent pas être négatives (temps, distances, montants).
Solution : Contrôle la valeur de x avant d'appeler la fonction. Si tes données peuvent être négatives (par exemple une température), la loi gamma n'est probablement pas le bon modèle pour ton cas.
Confusion entre bêta et lambda
Certaines formulations mathématiques paramètrent la loi gamma avec un taux lambda = 1/bêta. Si tu importes des paramètres depuis une autre source, tu risques d'utiliser lambda là où Excel attend bêta, ce qui donne des résultats complètement faux.
Solution : Vérifie toujours la convention de paramétrage de ta source. Si elle utilise un taux lambda, convertis : bêta = 1/lambda. Un signe révélateur : si ta distribution semble trop étalée ou trop concentrée par rapport à tes données, c'est souvent ce problème.
Interpréter la densité comme une probabilité
Avec cumulative = FAUX, LOI.GAMMA retourne une densité qui peut dépasser 1. Ce n'est pas une probabilité. Une densité de 1,8 ne veut pas dire 180% de chances.
Solution : Utilise toujours cumulative = VRAI pour des probabilités directement exploitables. Réserve FAUX uniquement pour tracer la courbe de densité ou pour des calculs d'intégrale numérique.
Résultats imprécis avec des valeurs extrêmes
Pour des valeurs très grandes d'alpha ou de bêta, ou pour un x très grand, les calculs peuvent perdre en précision à cause des limites numériques d'Excel.
Solution : Si tu travailles avec des valeurs très grandes (millions, milliards), normalise tes données en les divisant par une constante avant le calcul, ou utilise une transformation logarithmique pour améliorer la stabilité numérique.
Astuces avancées avec LOI.GAMMA
Estime alpha et bêta à partir de tes données
Tu n'as pas de paramètres théoriques ? Utilise la méthode des moments directement dans ton tableau Excel : calcule moyenne et variance avec MOYENNE() et VAR.P(), puis alpha = MOYENNE²/VAR.P() et bêta = VAR.P()/MOYENNE().
C'est la façon la plus rapide d'ajuster une loi gamma à tes données historiques, sans logiciel statistique.
Utilise LOI.GAMMA pour modéliser les files d'attente
Si les arrivées dans ton système suivent un processus de Poisson, le temps d'attente pour le k-ième événement suit une loi gamma avec alpha = k. Par exemple, dans un centre d'appels avec une arrivée toutes les 2 minutes en moyenne, le temps avant le 5e appel suit =LOI.GAMMA(x; 5; 2; VRAI).
Cela te permet de dimensionner tes équipes et d'anticiper les pics de charge.
Calcule des intervalles de confiance avec LOI.GAMMA.INVERSE
Pour un intervalle de confiance à 90%, utilise LOI.GAMMA.INVERSE avec les probabilités 0,05 et 0,95 pour obtenir les bornes inférieure et supérieure.
Par exemple avec α = 3 et β = 100 : l'intervalle [LOI.GAMMA.INVERSE(0,05; 3; 100) ; LOI.GAMMA.INVERSE(0,95; 3; 100)] contiendra 90% de tes observations futures.
Questions fréquentes
VRAI te retourne la probabilité cumulée P(X ≤ x), utile pour calculer la probabilité qu'une variable soit inférieure ou égale à une valeur donnée. FAUX te donne la densité de probabilité au point x, qui représente la hauteur de la courbe à cet endroit. Dans la quasi-totalité des cas pratiques, utilise VRAI.
Alpha contrôle la forme de la distribution : alpha = 1 donne une distribution exponentielle, alpha > 1 crée une courbe en cloche. Bêta est le paramètre d'échelle qui étire ou compresse la distribution. Si tu as des données historiques, estime-les par la méthode des moments : alpha = moyenne² / variance, bêta = variance / moyenne.
La loi gamma est utilisée en fiabilité (temps jusqu'à défaillance), en assurance (montant des sinistres), en météorologie (précipitations), en finance (modélisation des pertes) et pour les files d'attente (temps d'attente cumulé). Elle convient à toute variable strictement positive avec une asymétrie à droite.
La loi gamma est une généralisation : avec alpha = 1, c'est une loi exponentielle. La somme de k variables exponentielles suit une loi gamma avec alpha = k. La loi du chi-deux est aussi un cas particulier de la loi gamma. Sa flexibilité lui permet de s'adapter à de nombreuses situations.
Cette erreur apparaît si x est négatif, ou si alpha ou bêta sont inférieurs ou égaux à zéro. Tous les paramètres doivent être strictement positifs (x ≥ 0, alpha > 0, bêta > 0). Vérifie chacune de tes cellules et assure-toi qu'aucune valeur nulle ou négative n'est passée à la fonction.
Pour aller plus loin
Continue sur ta lancée après la fonction LOI.GAMMA : la leçon associée, un modèle prêt à l'emploi et le guide pour progresser.
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