Qu'est-ce que la fonction LOI.
LOI.POISSON (POISSON.DIST en anglais) te sert quand un chiffre moyen ne te dit pas ce que tu as vraiment besoin de savoir : à quelle fréquence un scénario nettement au-dessus ou en dessous de cette moyenne va réellement se présenter. Elle sert de base à toute décision qui ne peut pas se contenter d'une moyenne brute.
Concrètement, c'est elle qui aide un responsable de service client à dimensionner ses équipes selon l'affluence probable, un responsable qualité à valider un seuil de défauts acceptable, ou un administrateur système à planifier des maintenances en estimant les fenêtres sans incident. Si tu travailles avec des données de fréquence et que tu veux passer des moyennes historiques à des probabilités décisionnelles, LOI.POISSON est ton outil.
Syntaxe
=LOI.POISSON(x; moyenne; cumulative)Clique sur un argument pour aller à son explication.
Dans une distribution de Poisson, la moyenne et la variance sont égales (toutes deux égales à lambda). C'est une propriété mathématique unique qui la distingue des autres distributions statistiques.
Comprendre chaque paramètre de la fonction LOI.POISSON
Les trois arguments s'enchaînent dans cet ordre : d'abord x (le nombre d'événements qui t'intéresse), puis moyenne (le lambda observé sur ton historique), enfin cumulative. Ici aucun n'est facultatif, et c'est ce dernier qui fait basculer le sens du calcul : FAUX te donne « exactement x », VRAI te donne « x ou moins ».
Le piège discret se cache entre x et moyenne : les deux doivent parler du même intervalle. Un lambda calculé à l'heure et un x pensé pour la journée donnent un résultat parfaitement faux sans la moindre alerte.
x
: le nombre d'événements pour lequel tu veux calculer la probabilitéCe doit être un entier positif ou zéro. Si tu saisis un décimal comme 5,7, Excel l'arrondit automatiquement à 5. Des valeurs négatives renvoient l'erreur #NOMBRE!.
Par exemple, si tu veux savoir quelle est la probabilité de recevoir exactement 5 appels dans l'heure, x = 5. Si tu cherches la probabilité qu'il n'y ait aucun défaut sur un lot, x = 0.
moyenne
: le paramètre lambda (λ) de la distribution : le nombre moyen d'événements attendus dans l'intervalle que tu analysesSi ton service client reçoit en moyenne 15 appels par heure, moyenne = 15. Si tu constates en moyenne 2,3 défauts par lot de production, moyenne = 2,3.
Ce paramètre doit être strictement positif. Une valeur nulle ou négative renvoie l'erreur #NOMBRE!.
Attention : Assure-toi que x et moyenne se rapportent au même intervalle de temps ou d'espace. Si tu connais lambda pour une heure mais que tu veux calculer sur 30 minutes, divise lambda par 2. Pour passer à une journée entière, multiplie par 24.
cumulative
: ce paramètre détermine le type de probabilité que tu veux calculerUtilise FAUX pour obtenir la probabilité d'avoir exactement x événements (fonction de masse de probabilité). Utilise VRAI pour obtenir la probabilité d'avoir x événements ou moins (fonction de répartition cumulative).
Avec FAUX, tu réponds à « quelle est la probabilité de recevoir exactement 8 appels ? ». Avec VRAI, tu réponds à « quelle est la probabilité de recevoir au maximum 8 appels ? » (de 0 à 8 inclus).
Exemples pratiques pas à pas
Comment calculer la probabilité d'un nombre exact d'événements avec la fonction LOI.POISSON
Ton équipe encaisse 8 appels par heure en moyenne, et tu prépares le planning du trimestre. La question qui décide de tes effectifs est simple : à quelle fréquence faut-il s'attendre à une heure chargée à 10 appels ? Un pic qui survient une fois par an ne se planifie pas, un pic qui revient toutes les dix heures se planifie. LOI.POISSON transforme ta moyenne historique en probabilité, et donc en décision de staffing.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.POISSON(. - 2En 1er argument : saisis le nombre d'événements dont tu veux la probabilité,
10appels. Ce doit être un entier positif ou zéro, et un décimal comme10,7serait arrondi à10sans le moindre avertissement. - 3En 2ᵉ argument : saisis le lambda de la loi de Poisson, la moyenne constatée sur ton historique,
8appels par heure. C'est le seul paramètre qui décrit ta distribution, là où la loi normale en demande deux. Assure-toi que cette moyenne et le nombre d'appels se rapportent au même intervalle. Un lambda horaire confronté à un nombre pensé pour la journée donnerait un résultat faux sans déclencher la moindre erreur. - 4En 3ᵉ argument : saisis
FAUX, qui demande la probabilité d'observer exactement10appels, ni 9 ni 11. C'est le mode à choisir dès que ta question contient le mot « exactement ». - 5Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
=LOI.POISSON(10; 8; FAUX)
Comment calculer la probabilité de rester sous un seuil avec la fonction LOI.POISSON
L'auditeur qualité arrive la semaine prochaine et il veut une preuve chiffrée que ton processus tient le seuil de 5 défauts par lot. Ton historique montre 3 défauts en moyenne par lot de 1 000 pièces. Cette fois, la question ne porte plus sur un nombre précis de défauts mais sur tout ce qui reste sous une limite, de 0 à 5 défauts inclus. Il suffit de basculer le dernier argument pour qu'Excel additionne lui-même tous ces cas.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.POISSON(. - 2En 1er argument : saisis la limite haute de ta tolérance,
5défauts, et non le nombre de défauts que tu observes d'habitude. En mode cumulatif, cette valeur joue le rôle d'un plafond, et la borne reste inclusive, si bien que5couvre déjà le cas des cinq défauts. Si ta spécification disait « moins de 5 défauts », il faudrait saisir4. - 3En 2ᵉ argument : saisis la moyenne de ton historique,
3défauts par lot. Elle doit se rapporter au même périmètre que la limite précédente, ici le lot de 1 000 pièces dans les deux cas. - 4En 3ᵉ argument : saisis
VRAI. Excel additionne alors les probabilités de 0, 1, 2, 3, 4 et 5 défauts, ce qui t'évite d'écrire six formules et d'en faire la somme à la main. - 5Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée. Pour obtenir le risque de dépasser le seuil, souvent le vrai sujet d'un audit, calcule ensuite le complément avec
=1-LOI.POISSON(5; 3; VRAI).
=LOI.POISSON(5; 3; VRAI)VRAI et FAUX. Neuf lots sur dix respectent donc le seuil, et le complément à 100 %, soit 8,39 %, chiffre le risque de dépassement que ton plan d'actions correctives doit couvrir.
Comment estimer la fréquence d'un pic d'activité avec la fonction LOI.POISSON
Ton entrepôt reçoit 25 commandes par heure en moyenne et tu dois décider si un préparateur de renfort se justifie au-delà de 30 commandes. Une probabilité brute ne te dira rien d'exploitable pour un planning, alors tu vas la convertir en fréquence concrète : combien d'heures par semaine ce scénario se présente-t-il vraiment ? C'est cette lecture qui transforme un pourcentage statistique en décision d'organisation.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.POISSON(. - 2En 1er argument : saisis le volume qui déclenche ta question,
30commandes. L'ordre des deux premiers arguments compte, car les intervertir reviendrait à poser une tout autre question. - 3En 2ᵉ argument : saisis la moyenne de référence,
25commandes par heure. Fige-la avec des références absolues si tu comptes recopier la formule sur les volumes voisins, de 26 à 35 commandes par exemple. - 4En 3ᵉ argument : saisis
FAUX, puisque tu vises un volume précis. Pour la probabilité de dépasser 30 commandes, tu écrirais plutôt=1-LOI.POISSON(30; 25; VRAI), ce qui est une question différente. - 5Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée. Convertis ensuite le résultat en fréquence en divisant 1 par la probabilité obtenue, et
=1/0,0454donne environ 22, donc une heure sur vingt-deux, le langage que comprend un planning.
=LOI.POISSON(30; 25; FAUX)
Comment calculer la probabilité de zéro événement avec la fonction LOI.POISSON
Tu prépares une migration serveur et tu voudrais la caler sur un mois tranquille, sans incident. Ton historique en compte 1,5 par mois en moyenne, et une moyenne inférieure à 2 donne l'impression trompeuse que les mois calmes sont fréquents. Le cas x = 0 est le plus instructif de la fiche, parce qu'il montre à quel point l'intuition se trompe sur les événements rares. Il t'amène aussi à la question qui compte vraiment, celle du risque d'avoir au moins un incident.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.POISSON(. - 2En 1er argument : saisis
0, le nombre d'incidents visé. La valeur zéro est parfaitement légitime pour LOI.POISSON, et c'est même le seul cas où « exactement zéro » et « au maximum zéro » désignent la même chose, si bien queFAUXetVRAIy donnent le même résultat. - 3En 2ᵉ argument : saisis la moyenne de ton historique,
1,5incident par mois. Un lambda décimal ne pose aucun problème, là où le nombre d'incidents doit rester entier. - 4En 3ᵉ argument : saisis
FAUXpour rester cohérent avec la question posée, celle d'un mois strictement sans incident. - 5Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée. Passe ensuite au complément avec
=1-LOI.POISSON(0; 1,5; FAUX), qui donne la probabilité d'au moins un incident, le chiffre à présenter pour justifier une astreinte.
=LOI.POISSON(0; 1,5; FAUX)x à zéro, la formule se réduit à une seule opération, l'exponentielle de moins lambda, et renvoie 22,31 %. À peine un mois sur quatre se passe donc sans le moindre incident, alors que la moyenne de 1,5 pouvait laisser espérer mieux. C'est le complément qui doit guider ta décision : 77,69 % de risque de rencontrer au moins un incident pendant la fenêtre de migration, ce qui rend l'astreinte difficilement discutable.
Les erreurs fréquentes avec la fonction LOI.POISSON
Le plus souvent, c'est un #NOMBRE! qui s'affiche, et il vient d'un argument que la loi de Poisson refuse : une moyenne nulle ou négative (lambda doit être strictement positif), ou un x en dessous de zéro (on ne compte pas un nombre négatif d'événements).
Mais l'erreur la plus sournoise ne déclenche aucun code : intervertir VRAI et FAUX, ou oublier d'ajuster lambda quand tu changes d'intervalle, te renvoie un chiffre crédible et pourtant faux.
Erreur #NOMBRE! avec une moyenne négative ou nulle
La distribution de Poisson nécessite une moyenne strictement positive (λ > 0). Si le paramètre moyenne est nul ou négatif, Excel ne peut pas effectuer le calcul.
Solution : Vérifie que ta cellule de moyenne contient bien une valeur positive. Si tu la calcules dynamiquement avec MOYENNE, assure-toi qu'elle ne peut jamais tomber à zéro ou en négatif dans tes données.
Paramètre x négatif déclenchant #NOMBRE!
Il est logiquement impossible d'avoir un nombre négatif d'événements. Si x est inférieur à 0, Excel renvoie l'erreur #NOMBRE!.
Solution : Assure-toi que x est soit zéro, soit un entier positif. Si tu références une cellule, vérifie qu'elle ne peut pas recevoir une valeur négative.
Résultat inattendu causé par la confusion entre VRAI et FAUX
FAUX donne la probabilité d'avoir exactement x événements, VRAI la probabilité d'avoir x événements ou moins. Inverser ces deux valeurs produit un résultat numériquement différent sans générer d'erreur.
Solution : Relis ta question : si elle contient « exactement » ou « précisément », utilise FAUX. Si elle contient « au plus », « au maximum » ou « moins de », utilise VRAI.
Résultat faux parce que l'intervalle de temps n'a pas été ajusté
Si tu connais lambda pour une heure mais que tu calcules sur 30 minutes ou une journée, le résultat est faux. LOI.POISSON suppose que x et moyenne s'appliquent au même intervalle.
Solution : Adapte lambda à l'intervalle analysé : pour 30 minutes, divise par 2. Pour 24 heures, multiplie par 24. La règle est : λ₂ = λ₁ × (durée₂ / durée₁).
LOI.POISSON vs LOI.BINOMIALE vs LOI.NORMALE
Choisis LOI.POISSON quand tu comptes des événements rares qui peuvent survenir un grand nombre de fois sans plafond connu : appels par heure, défauts par lot, incidents par mois. Tu n'as alors qu'un seul paramètre à fournir, lambda, puisque la moyenne et la variance se confondent.
Dès que ton nombre d'essais est fixé d'avance (combien de pièces conformes sur un lot de taille connue), passe à LOI.BINOMIALE. Et quand lambda dépasse 10, LOI.NORMALE approxime très bien Poisson sur des grandeurs continues.
| Critère | LOI.POISSON | LOI.BINOMIALE | LOI.NORMALE |
|---|---|---|---|
| Type de variable | Discrète (entiers) | Discrète (entiers) | Continue (réels) |
| Cas d'usage typique | Événements rares sur un grand nb d'opportunités | Nb fixe d'essais avec probabilité constante | Données continues sur de grandes populations |
| Paramètres | λ (moyenne = variance) | n (essais), p (probabilité de succès) | μ (moyenne), σ (écart-type) |
| Exemple métier | Appels/heure, défauts/lot | Pièces conformes sur un lot de taille fixe | Tailles, poids, notes d'examen |
| Règle d'utilisation | Événements rares (p < 5%) + grand n | n fixe et connu à l'avance | λ > 10 (bonne approximation de Poisson) |
Astuces avancées avec LOI.POISSON
Calcule la probabilité d'un intervalle entre deux valeurs
Pour obtenir la probabilité d'avoir entre 5 et 10 événements inclus, soustrais deux probabilités cumulées : =LOI.POISSON(10; λ; VRAI) - LOI.POISSON(4; λ; VRAI). Tu obtiens « au maximum 10 » moins « au maximum 4 », soit exactement la fenêtre 5-10.
Cette technique s'applique chaque fois que tu veux encadrer un scénario : ni trop peu (sous-charge), ni trop (surcharge).
Adapte lambda quand l'intervalle change
Si tu connais lambda pour une heure mais que tu analyses une tranche de 15 minutes, divise : λ₁₅min = λ₁h / 4. Pour une journée entière de 8h de travail, multiplie : λ₈h = λ₁h × 8. Le principe : lambda doit toujours être proportionnel à l'intervalle analysé.
Cette adaptation te permet de construire des simulations multi-échelles depuis une seule mesure de référence.
Vérifie que Poisson est bien adapté à tes données
Avant d'utiliser LOI.POISSON, confirme que tes événements sont indépendants les uns des autres et que la probabilité reste stable dans le temps. Si un appel entrant augmente la probabilité du suivant (effet de clustering), la distribution de Poisson sous-estime les pics de charge.
Dans ce cas, une distribution binomiale négative modélise mieux la sur-dispersion.
Questions fréquentes
Utilise LOI.POISSON quand tu modélises des événements rares sur un grand nombre d'opportunités : appels par heure, défauts par lot, accidents par mois. LOI.BINOMIALE convient mieux quand tu as un nombre fixe et connu d'essais indépendants avec une probabilité constante, comme un tirage à pile ou face.
Lambda est le nombre moyen d'événements attendus dans l'intervalle que tu analyses. Si tu reçois en moyenne 12 emails par heure, lambda = 12. C'est à la fois la moyenne ET la variance de la distribution de Poisson, ce qui la distingue des autres distributions.
Avec FAUX, tu obtiens la probabilité d'avoir exactement x événements (fonction de masse). Avec VRAI, tu obtiens la probabilité d'avoir x événements ou moins (fonction de répartition cumulative). Par exemple, avec FAUX tu calcules « exactement 5 appels », avec VRAI tu calcules « au maximum 5 appels ».
Un résultat de 0,18 signifie 18% de probabilité. Si tu analysais la probabilité de recevoir exactement 3 appels avec une moyenne de 4 appels/heure, tu pourrais dire : « il y a 18% de chances de recevoir exactement 3 appels cette heure-ci ». Multiplie par 100 pour l'exprimer en pourcentage.
Oui, quand tu as un grand nombre d'essais (n > 20) et une faible probabilité de succès (p < 0,05), LOI.POISSON avec λ = n × p approxime très bien LOI.BINOMIALE. C'est pratique car LOI.POISSON est plus simple à calculer. Pour n = 100 et p = 0,02, utilise λ = 2.
Au-delà de lambda > 10, l'approximation normale est acceptable : remplace LOI.POISSON par =LOI.NORMALE.N(x; λ; RACINE(λ); VRAI). Pour des valeurs très grandes (lambda > 700), Excel peut renvoyer des imprécisions de calcul, et l'approximation normale devient alors indispensable.
Pour aller plus loin
Continue sur ta lancée après la fonction LOI.POISSON : la leçon associée, un modèle prêt à l'emploi et le guide pour progresser.
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