Qu'est-ce que la fonction LOI.
LOI.BINOMIALE (BINOM.DIST en anglais) te sert dès que tu dois transformer un taux historique en risque chiffré, sur n'importe quel scénario qui ne connaît que deux issues : ça passe ou ça casse, ça convertit ou non. C'est la fonction à sortir quand une décision doit s'appuyer sur une probabilité précise plutôt que sur un ressenti ou une moyenne approximative.
Concrètement, c'est elle qui répond à des questions comme : « Quelle probabilité d'accepter un lot avec au maximum 3 défauts ? », « Est-ce que 6 conversions sur 20 leads est un bon mois ou un coup de chance ? », « Quel risque de perdre plus de 5 clients ce mois-ci ? ». Elle transforme un taux historique en probabilité chiffrée et te permet de prendre des décisions basées sur les données plutôt que sur l'intuition.
Syntaxe
=LOI.BINOMIALE(nombre_succès; essais; probabilité_succès; cumulative)Clique sur un argument pour aller à son explication.
Dans les versions récentes d'Excel (2013+), LOI.BINOMIALE.N est la version mise à jour avec la même syntaxe. LOI.BINOMIALE reste disponible pour compatibilité avec tous les classeurs. Dans Excel en anglais, le nom est BINOM.DIST.
Comprendre chaque paramètre de la fonction LOI.BINOMIALE
Les quatre arguments s'enchaînent dans un ordre fixe : combien de succès tu vises, sur combien d'essais, avec quelle probabilité par essai, et enfin le mode de calcul. Aucun n'est facultatif ici, contrairement à beaucoup de fonctions Excel.
C'est le dernier, cumulative, qui change tout le sens du résultat : FAUX te donne « exactement k succès », VRAI te donne « k succès ou moins ». Te tromper de mode renvoie une réponse plausible mais fausse, sans la moindre erreur pour t'alerter.
nombre_succès
: le nombre de succès que tu cherches à analyserPar exemple, si tu veux savoir quelle est la probabilité d'avoir exactement 3 pièces défectueuses sur un lot, tu entres 3. Ce nombre doit être compris entre 0 et le nombre total d'essais.
C'est la valeur k dans la notation mathématique P(X = k). Exemples pratiques : 3 conversions sur 20 leads, 2 défauts sur 50 pièces, 8 réponses positives sur 100 emails envoyés, 5 clients perdus sur 40 clients actifs.
Attention : Le nombre de succès doit être compris entre 0 et le nombre d'essais inclus. Si tu entres nombre_succès > essais, Excel renvoie #NOMBRE!.
essais
: le nombre total d'essais indépendants (aussi noté `n`)Si tu contrôles un échantillon de 100 pièces, tu entres 100. Si tu analyses 50 leads commerciaux, tu entres 50. Ce paramètre doit être un nombre entier positif.
Chaque essai doit être indépendant des autres : le résultat d'un test ne doit pas influencer le suivant. Si tu prélèves des pièces sans les remettre dans un petit lot, les essais ne sont plus indépendants (utilise plutôt LOI.HYPERGEOMETRIQUE).
probabilité_succès
: la probabilité qu'un seul essai soit un succès, notée `p`Ce nombre doit être entre 0 et 1. Si ton taux de défaut historique est de 2%, tu entres 0,02 (et non 2). Si ton taux de conversion est de 15%, tu entres 0,15. Cette probabilité doit rester constante pour tous les essais.
Attention : un « succès » dans le contexte binomial représente l'événement que tu mesures, même si c'est négatif. Si tu mesures les défauts, un défaut est un « succès » statistique. Si tu mesures les conversions, une conversion est un « succès ».
Attention : La probabilité doit être entre 0 et 1. Entrer 5 au lieu de 0,05 déclenche #NOMBRE!. Si ta cellule est formatée en pourcentage (5%), tu peux la référencer directement et Excel convertira automatiquement.
cumulative
: détermine le type de probabilité calculéDeux valeurs possibles :
FAUX (ou 0) : probabilité d'obtenir exactement k succès. C'est la fonction de masse de probabilité, utile pour des analyses ponctuelles (« exactement 3 conversions »).
VRAI (ou 1) : probabilité d'obtenir au plus k succès, c'est-à-dire la somme des probabilités de 0 à k. C'est la fonction de répartition cumulative, utile pour définir des seuils (« 3 conversions ou moins », « au maximum 2 défauts »).
Exemples pratiques pas à pas
Comment calculer une probabilité cumulée avec la fonction LOI.BINOMIALE
Un lot de 100 pièces arrive du fournisseur et ta règle d'acceptation est simple : tu le prends s'il compte au maximum 3 défauts. Ce fournisseur tourne historiquement à 2% de défaut, et tu veux savoir à quelle fréquence ta règle va bloquer une livraison. La fonction LOI.BINOMIALE additionne pour toi les probabilités d'avoir zéro, un, deux ou trois défauts, et te donne directement la part des lots qui passeront le contrôle.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.BINOMIALE(. - 2En 1er argument : saisis le nombre de défauts que tu tolères au maximum,
3. En loi binomiale, ce qu'on appelle un « succès » est simplement l'événement compté, ici un défaut, même s'il n'a rien de réjouissant. - 3En 2ᵉ argument : saisis la taille du lot contrôlé,
100. Chaque pièce compte pour un essai indépendant des autres, sur lequel le défaut peut apparaître ou non. - 4En 3ᵉ argument : saisis le taux de défaut du fournisseur en décimale,
0,02et non2. L'argument attend une valeur comprise entre0et1, et saisir le pourcentage tel quel renvoie l'erreur#NOMBRE!. - 5En 4ᵉ argument : saisis
VRAIpour additionner les cas zéro, un, deux et trois défauts, c'est-à-direP(X ≤ 3). AvecFAUX, tu n'obtiendrais que la probabilité d'avoir exactement trois défauts, un nombre bien plus petit qui ne correspond pas à ta règle d'acceptation. - 6Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
=LOI.BINOMIALE(3;100;0,02;VRAI)0, 1, 2 ou 3 défauts, et c'est cette somme que la fonction renvoie : 85,9% des lots franchissent ton contrôle. Sur 100 pièces à 2% de défaut, la moyenne attendue est de deux défauts seulement, donc ton seuil de trois est déjà confortable, et pourtant 14,1% des livraisons seront refusées. C'est le prix d'un critère strict, et ce chiffre te sert à négocier soit le seuil, soit la qualité du fournisseur.
Comment calculer la probabilité d'au moins k succès avec la fonction LOI.BINOMIALE
Ton objectif du mois est de signer 6 clients, tu as 20 leads qualifiés en pipeline et ton taux de transformation tourne autour de 25%. La question n'est plus « au plus » mais « au moins », et LOI.BINOMIALE ne sait pas la traiter directement. Tu vas donc calculer la probabilité de l'échec, celle de rester sous l'objectif, puis la retrancher de 1 pour obtenir celle de la réussite.
- 1Dans une cellule, écris
=1-pour préparer le complément. La fonction ne calcule jamais un « au moins », seulement un « au plus », et atteindre l'objectif de six clients revient justement à en convertir six ou plus. On calcule donc la probabilité de l'échec pour la retrancher de1. - 2Écris
LOI.BINOMIALE(à la suite, puis :- aEn 1er argument : saisis le nombre de conversions du scénario d'échec,
5, soit ton objectif moins un. Laisser6ici est l'erreur classique, car tu ferais alors basculer le cas où l'objectif est pile atteint du côté des échecs. - bEn 2ᵉ argument : saisis le nombre de leads du pipeline,
20. C'est le total d'opportunités sur lesquelles une conversion peut se produire ou non. - cEn 3ᵉ argument : saisis ton taux de transformation en décimale,
0,25. Un25à la place déclencherait#NOMBRE!, car l'argument doit rester entre0et1. - dEn 4ᵉ argument : saisis
VRAIpour obtenir le cumulP(X ≤ 5), la probabilité de rester sous l'objectif. C'est cette probabilité d'échec que le1 -du début va transformer en probabilité de réussite.
- aEn 1er argument : saisis le nombre de conversions du scénario d'échec,
- 3Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée. Tout ce qui n'est pas « cinq conversions ou moins » est forcément « six ou plus », donc
1 - P(X ≤ 5)te donne bien la probabilité d'atteindre l'objectif.
=1-LOI.BINOMIALE(5;20;0,25;VRAI)P(X ≤ 5), la probabilité de manquer l'objectif, et la retranche de 1 pour obtenir P(X ≥ 6). Résultat : 38,3%, soit un peu plus d'une chance sur trois. Ce niveau modeste n'a rien d'étonnant, puisque 20 leads à 25% donnent une moyenne attendue de 5 conversions, juste en dessous de la cible. Pour faire basculer la probabilité du bon côté, il faut soit alimenter le pipeline, soit remonter le taux de transformation.
Comment calculer la probabilité entre deux bornes avec la fonction LOI.BINOMIALE
Ta campagne part sur 150 emails, ton taux de réponse habituel est de 8%, et tu veux savoir si atterrir entre 10 et 15 réponses est un scénario probable ou une exception. Une seule cumulative ne suffit plus ici : elle te donnerait tout ce qui se trouve sous une valeur, jamais une tranche. La méthode consiste à calculer les deux extrémités séparément, puis à soustraire l'une de l'autre.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.BINOMIALE(. - 2En 1er argument : saisis la borne haute de ta fourchette,
15. Ce premier appel calculeraP(X ≤ 15), toutes les campagnes qui récoltent au maximum quinze réponses, y compris les décevantes qui n'atteignent même pas dix. - 3En 2ᵉ argument : saisis le nombre d'emails envoyés,
150. Cette valeur sera identique dans le second appel, car les deux probabilités portent sur la même campagne. - 4En 3ᵉ argument : saisis ton taux de réponse habituel en décimale,
0,08. Elle aussi devra être reprise à l'identique dans le second appel. - 5En 4ᵉ argument : saisis
VRAIpour obtenir un cumul. La soustraction de deux cumulatifs isole une tranche, alors queFAUXretrancherait deux probabilités ponctuelles l'une de l'autre, ce qui ne représente rien. - 6Ferme la parenthèse, complète par
-LOI.BINOMIALE(9;150;0,08;VRAI), puis appuie sur Entrée. Tu descends d'un cran sous ta cible avec9et non10, car la fonction compte « dix ou moins » quand tu écris10, et tu retrancherais alors le cas des dix réponses qui appartient pourtant à ta fourchette.
=LOI.BINOMIALE(15;150;0,08;VRAI)-LOI.BINOMIALE(9;150;0,08;VRAI)P(X ≤ 15) et P(X ≤ 9) isole exactement la tranche de 10 à 15 réponses, et la fonction renvoie 62,2%. Ce niveau élevé s'explique par la position de la fourchette : 150 emails à 8% donnent une moyenne attendue de 12 réponses, pile au centre de l'intervalle. Ta campagne a donc près de deux chances sur trois d'atterrir dans cette zone, ce qui te donne un repère : un résultat en dehors mérite d'être expliqué plutôt que subi.
Comment situer un seuil par rapport à l'espérance avec la fonction LOI.BINOMIALE
Tu suis 80 clients actifs, ton churn mensuel tourne à 4%, et tu dimensionnes ton équipe de rétention sur l'hypothèse de deux départs maximum. Le calcul est le même qu'à l'exemple 1, une simple cumulative, mais tu vas cette fois confronter son résultat à la moyenne attendue de la distribution. C'est cette comparaison qui te dira si ton hypothèse de travail tient debout ou si elle relève du vœu pieux.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.BINOMIALE(. - 2En 1er argument : saisis le nombre de départs que ton plan de rétention absorbe,
2. Le « succès » statistique est ici le churn, l'événement que tu comptes, même s'il est tout sauf une bonne nouvelle. - 3En 2ᵉ argument : saisis ton portefeuille de clients actifs,
80. Chacun peut partir ou rester au cours du mois, et c'est ce qui en fait un essai à deux issues. - 4En 3ᵉ argument : saisis ton taux de churn mensuel converti en décimale,
0,04et non4. Au-delà de1, l'argument déclenche#NOMBRE!. - 5En 4ᵉ argument : saisis
VRAIpour additionner les cas zéro, un et deux départs, c'est-à-direP(X ≤ 2). AvecFAUX, tu n'obtiendrais que la probabilité d'exactement deux départs, sans le « ou moins » dont ton seuil a besoin. - 6Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
=LOI.BINOMIALE(2;80;0,04;VRAI)37,5%. Le chiffre paraît bas jusqu'à ce que tu le rapproches de l'espérance : 80 clients à 4% donnent en moyenne 3,2 départs par mois, donc ton seuil de deux est placé sous cette moyenne. Espérer un mois plus favorable que la moyenne ne peut évidemment pas être probable, et c'est exactement ce que la formule te dit. Avec moins de quatre chances sur dix de tenir ce plafond, mieux vaut dimensionner ta rétention sur trois ou quatre départs.
Les erreurs fréquentes avec la fonction LOI.BINOMIALE
Le coupable récurrent, c'est la probabilité saisie en pourcentage : taper 5 pour 5 % au lieu de 0,05 déclenche aussitôt #NOMBRE!, car l'argument doit rester entre 0 et 1. Le même code d'erreur surgit dès que ton nombre de succès dépasse le nombre d'essais.
Deux autres pièges ne lèvent aucune alerte et sont donc plus sournois : confondre VRAI et FAUX, et appliquer la binomiale à des tirages sans remise, où la probabilité bouge à chaque essai.
Erreur #NOMBRE! : probabilité en pourcentage au lieu de décimale
Si tu entres 5 au lieu de 0,05 pour une probabilité de 5%, Excel renvoie #NOMBRE! car les probabilités doivent être comprises entre 0 et 1.
Solution : Utilise toujours le format décimal : 5% = 0,05, 25% = 0,25. Si ta cellule est formatée en pourcentage et affiche 5%, tu peux la référencer directement sans diviser par 100 : Excel convertit automatiquement.
Erreur #NOMBRE! : nombre de succès supérieur au nombre d'essais
Il est mathématiquement impossible d'avoir plus de succès que d'essais. Entrer nombre_succès > essais déclenche #NOMBRE!.
Solution : Vérifie que nombre_succès <= essais. Si tu travailles avec des références de cellules, ajoute un test de validation : =SI(A1>B1; "Erreur : k > n"; LOI.BINOMIALE(A1; B1; 0,05; VRAI)).
Confusion entre VRAI et FAUX pour le paramètre cumulative
Si tu veux « exactement 3 conversions » et que tu mets VRAI, tu obtiens « 3 conversions ou moins », ce qui donne un résultat bien plus élevé. Cette confusion fausse toutes les analyses de seuil.
Solution : Mémorise la règle : VRAI = cumulatif = « au plus k » ; FAUX = exact = « exactement k ». Dans 80% des cas business (seuils, analyses de risque), utilise VRAI. Pour « au moins k succès », utilise =1-LOI.BINOMIALE(k-1; n; p; VRAI).
Résultats incorrects : essais non indépendants (échantillonnage sans remise)
Si tu prélèves des pièces d'un petit lot sans les remettre, les tirages ne sont plus indépendants. La probabilité change après chaque tirage. LOI.BINOMIALE suppose une probabilité constante et donne des résultats incorrects dans ce cas.
Solution : Utilise LOI.HYPERGEOMETRIQUE quand tu échantillonnes sans remise dans une population finie. Règle pratique : si ton échantillon représente moins de 5% de la population totale, la loi binomiale reste une approximation acceptable.
Résultats trompeurs : probabilité qui varie selon les essais
Si ton taux de conversion varie selon le segment de clients ou la période (par exemple 30% pour les clients VIP, 10% pour les autres), utiliser une probabilité moyenne fausse les résultats.
Solution : Segmente tes analyses : crée une formule LOI.BINOMIALE par segment avec sa propre probabilité. Pour les VIP : =LOI.BINOMIALE(k; n_vip; 0,3; VRAI) et pour les réguliers : =LOI.BINOMIALE(k; n_reg; 0,1; VRAI).
Astuces avancées avec LOI.BINOMIALE
Calculer les probabilités "au moins k" et "entre a et b"
Pour "au moins k succès", LOI.BINOMIALE ne le calcule pas directement. Tu passes par le complément : =1-LOI.BINOMIALE(k-1; n; p; VRAI). Par exemple, pour au moins 3 conversions sur 20 leads : =1-LOI.BINOMIALE(2; 20; 0,25; VRAI).
Pour "entre a et b succès", tu calcules P(X ≤ b) - P(X ≤ a-1) : =LOI.BINOMIALE(b; n; p; VRAI) - LOI.BINOMIALE(a-1; n; p; VRAI). Cette technique couvre tous les cas que la formule directe ne gère pas.
Espérance et écart-type d'une loi binomiale
La moyenne (espérance) attendue vaut n × p et l'écart-type vaut √(n × p × (1-p)). Pour 100 essais avec p = 0,03, tu t'attends en moyenne à 3 succès avec un écart-type de √(100 × 0,03 × 0,97) ≈ 1,7.
Dans Excel : =100*0,03 pour l'espérance et =RACINE(100*0,03*0,97) pour l'écart-type. Ces deux indicateurs te donnent une fourchette réaliste pour piloter tes prévisions.
Quand passer à une autre distribution ?
LOI.BINOMIALE nécessite un nombre d'essais fixe, une probabilité constante et des essais indépendants. Quand ces conditions ne sont pas réunies, oriente-toi vers une autre fonction.
Si la probabilité est très faible (p < 0,05) et que le nombre d'essais est grand, LOI.POISSON est une meilleure approximation. Si les essais ne sont pas indépendants (échantillonnage sans remise dans une population finie), utilise LOI.HYPERGEOMETRIQUE. Si n×p > 5 et n×(1-p) > 5, LOI.NORMALE approche bien la binomiale tout en étant plus simple à manipuler.
LOI.BINOMIALE vs LOI.BINOMIALE.N vs LOI.POISSON vs LOI.NORMALE
Garde LOI.BINOMIALE quand tu connais le nombre d'essais à l'avance et que la probabilité par essai reste constante : contrôle qualité, conversions, churn. Si tu es sur Excel 2013 ou plus récent, LOI.BINOMIALE.N fait exactement la même chose avec une syntaxe identique.
Bascule sur LOI.POISSON quand l'événement est rare (p < 0,05) et le nombre d'essais flou, et sur LOI.NORMALE quand tu mesures une grandeur continue plutôt que tu ne comptes des succès.
| Critère | LOI.BINOMIALE | LOI.BINOMIALE.N | LOI.POISSON | LOI.NORMALE |
|---|---|---|---|---|
| Type de variable | Discrète (comptage) | Discrète (comptage) | Discrète (comptage) | Continue (mesure) |
| Nombre d'essais | Fixe et connu (n) | Fixe et connu (n) | Non fixé (événements rares) | N/A (distribution continue) |
| Probabilité événement | Constante, entre 0 et 1 | Constante, entre 0 et 1 | Très faible (p < 0,05) | N/A |
| Version Excel | Toutes versions | Excel 2013+ | Toutes versions | Toutes versions |
| Cas d'usage typique | Contrôle qualité, conversions | Identique (version récente) | Défauts rares, accidents | Mesures physiques, tailles |
Questions fréquentes
Utilise LOI.BINOMIALE quand tu as exactement deux résultats possibles (succès/échec), que chaque essai est indépendant, que la probabilité reste constante et que tu connais le nombre d'essais à l'avance. Exemples typiques : contrôle qualité, tests de produits, enquêtes oui/non, conversion de leads. Si l'une de ces conditions n'est pas respectée, oriente-toi vers LOI.HYPERGEOMETRIQUE (essais dépendants) ou LOI.POISSON (événements rares, p < 0,05).
FAUX te donne la probabilité d'obtenir exactement k succès (P(X = k)). VRAI te donne la probabilité d'obtenir au plus k succès (P(X ≤ k)), c'est-à-dire la somme de toutes les probabilités de 0 à k.
VRAI est plus courant dans le business pour définir des seuils d'acceptation et analyser les risques. FAUX est utile pour des analyses ponctuelles.
Utilise la formule =1-LOI.BINOMIALE(k; n; p; VRAI). Comme VRAI te donne P(X ≤ k), faire 1 moins ce résultat te donne P(X > k).
Par exemple, pour plus de 5 défauts sur 100 pièces avec un taux de 2% : =1-LOI.BINOMIALE(5; 100; 0,02; VRAI). Pour au moins k (c'est-à-dire k ou plus) : =1-LOI.BINOMIALE(k-1; n; p; VRAI).
Oui, Excel gère de très grands nombres d'essais. Cependant, au-delà de 100 essais avec une probabilité proche de 0,5, la loi normale approche bien la binomiale et peut être plus rapide à interpréter.
Pour des événements rares (p < 0,05), préfère LOI.POISSON. Si ton échantillon représente plus de 5% de la population totale et que tu échantillonnes sans remise, utilise LOI.HYPERGEOMETRIQUE.
Cette erreur apparaît dans trois cas : la probabilité n'est pas entre 0 et 1 (tu as peut-être entré 5 au lieu de 0,05), le nombre de succès est négatif ou supérieur au nombre d'essais, ou le nombre d'essais est négatif.
Vérifie dans l'ordre : (1) probabilité entre 0 et 1 ? (2) nombre_succès compris entre 0 et essais ? (3) essais positif ? Ces trois vérifications résolvent la quasi-totalité des erreurs #NOMBRE!.
Pour aller plus loin
Continue sur ta lancée après la fonction LOI.BINOMIALE : la leçon associée, un modèle prêt à l'emploi et le guide pour progresser.
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