Fonction PHI ExcelDensité de la loi normale standard
PHI calcule la valeur de la fonction de densité de probabilité de la distribution normale standard (moyenne=0, écart-type=1) en un point donné. C'est la fameuse "courbe en cloche" ou gaussienne.
Formule mathématique : φ(x) = e^(-x²/2) / √(2π). PHI est utilisée dans les calculs statistiques avancés et pour visualiser la distribution normale.
Syntaxe de la fonction PHI
=PHI(x)Retourne la densité de probabilité φ(x) pour la distribution N(0,1). Le résultat est toujours positif.
Valeurs remarquables de PHI
| x | PHI(x) | Signification |
|---|---|---|
| 0 | 0.3989 | Maximum de la courbe (centre) |
| ±1 | 0.2420 | 1 écart-type de la moyenne |
| ±2 | 0.0540 | 2 écarts-types (5% extrêmes) |
| ±3 | 0.0044 | 3 écarts-types (0.3% extrêmes) |
Comprendre le paramètre
x
(obligatoire)Le point où évaluer la densité. C'est un "z-score" (valeur standardisée). Peut être n'importe quel nombre réel, mais les valeurs au-delà de ±4 donnent des résultats proches de 0.
Astuce : La courbe PHI est symétrique : PHI(-x) = PHI(x). Tu n'as besoin que des valeurs positives pour connaître toute la courbe.
Exemples pratiques pas à pas
Exemple 1 – Tracer la courbe en cloche
Tu veux créer les points pour tracer une gaussienne dans un graphique Excel.
Ces points dessinent la fameuse courbe en cloche symétrique.
| A | B | |
|---|---|---|
| 1 | x | PHI(x) |
| 2 | -3 | 0.0044 |
| 3 | -2 | 0.0540 |
| 4 | -1 | 0.2420 |
| 5 | 0 | 0.3989 |
| 6 | 1 | 0.2420 |
| 7 | 2 | 0.0540 |
| 8 | 3 | 0.0044 |
=PHI(A1)Exemple 2 – Comparer des densités relatives
Tu veux comparer la "probabilité relative" d'observer différentes valeurs standardisées.
À 1 écart-type du centre, la densité est 61% de celle au centre.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Valeur | z-score | Densité PHI | Ratio vs centre |
| 2 | Moyenne | 0 | 0.3989 | 100% |
| 3 | 1 écart-type | 1 | 0.2420 | 61% |
| 4 | 2 écarts-types | 2 | 0.0540 | 14% |
=PHI(B2)/PHI(0)Exemple 3 – Calculer un z-score et sa densité
Tu as une note d'examen et tu veux sa position relative dans une distribution normale.
Un z-score de 1.5 a une densité de 0.13, inférieure au maximum (0.40).
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Note | Moyenne | Écart-type | z-score | PHI(z) |
| 2 | 85 | 70 | 10 | 1.5 | 0.1295 |
=PHI((A1-B1)/C1)Exemple 4 – Vérifier la symétrie
Tu démontres que la courbe normale est parfaitement symétrique autour de 0.
PHI(x) = PHI(-x) pour toute valeur x. La courbe est symétrique.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | x | PHI(x) | PHI(-x) | Égaux ? |
| 2 | 1.5 | 0.1295 | 0.1295 | OUI |
| 3 | 2.3 | 0.0283 | 0.0283 | OUI |
=PHI(A1)=PHI(-A1)Exemple 5 – Formule de densité pour loi normale quelconque
Tu calcules la densité d'une loi normale N(μ=100, σ=15) en utilisant PHI.
Densité de N(100,15) au point x=115. Note la division par σ.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | x | μ | σ | Densité |
| 2 | 115 | 100 | 15 | 0.0213 |
=PHI((A1-B1)/C1)/C1Les erreurs fréquentes et comment les corriger
Confondre PHI et LOI.NORMALE.STANDARD
PHI donne la densité (hauteur de courbe), pas la probabilité cumulée.
Solution : Pour la probabilité que X ≤ x, utilise LOI.NORMALE.STANDARD(x;VRAI), pas PHI.
Interpréter PHI comme une probabilité
PHI(0) = 0.3989 ne signifie pas "39.89% de probabilité".
Solution : La densité n'est pas une probabilité. Seule l'aire sous la courbe (intégrale) donne une probabilité.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre PHI et LOI.NORMALE.STANDARD ?
PHI(x) retourne la densité de probabilité (hauteur de la courbe) en un point x. LOI.NORMALE.STANDARD(x;VRAI) retourne la probabilité cumulée (aire sous la courbe jusqu'à x). Ce sont deux concepts différents.
À quoi sert concrètement la fonction PHI ?
PHI est utilisée pour tracer la courbe en cloche (gaussienne), calculer des probabilités relatives, et dans des formules statistiques avancées. Elle est plus théorique que pratique pour la plupart des utilisateurs.
Quelle est la valeur maximale de PHI ?
PHI(0) = 0.3989... est le maximum. C'est la densité au centre de la distribution normale standard (moyenne=0, écart-type=1). La courbe est symétrique autour de ce point.
PHI peut-elle donner des valeurs négatives ?
Non, PHI retourne toujours une valeur positive ou nulle. C'est une densité de probabilité, qui ne peut jamais être négative. Pour x très grand (|x|>5), PHI approche 0.
Comment utiliser PHI pour une distribution non standard ?
PHI ne fonctionne qu'avec la distribution N(0,1). Pour une distribution N(μ,σ), standardise d'abord : PHI((x-μ)/σ)/σ. Ou utilise LOI.NORMALE directement.
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