Qu'est-ce que la fonction PHI ?
PHI t'évite de retaper à la main la formule de la gaussienne (l'exponentielle et la racine de deux pi) chaque fois que tu as besoin de la hauteur de cette fameuse courbe en cloche en un point donné, celle qui décrit des phénomènes naturels allant des résultats d'examens aux erreurs de mesure. C'est une fonction assez pointue, qui reste rare en dehors des modèles statistiques.
Dans la pratique, PHI sert à tracer la gaussienne dans un graphique, à comparer des densités relatives entre plusieurs observations, et à construire des formules statistiques avancées. C'est une fonction théorique puissante, complémentaire de LOI.NORMALE.STANDARD qui donne les probabilités cumulées.
Comprendre chaque paramètre de la fonction PHI
x
: le point où évaluer la densitéIl s'agit d'un z-score, c'est-à-dire une valeur standardisée (exprimée en nombre d'écarts-types par rapport à la moyenne). Peut être n'importe quel nombre réel.
Pour x au-delà de ±4, la valeur de PHI s'approche très près de 0 et est souvent indiscernable de 0 pour des usages pratiques. La symétrie de la courbe implique que PHI(-x) = PHI(x) : tu n'as besoin d'explorer que les valeurs positives pour connaître toute la courbe.
Exemples pratiques pas à pas
Comment calculer la densité de la loi normale standard avec la fonction PHI
Tu prépares les points d'une courbe en cloche pour l'insérer dans un graphique, ou tu recalcules à la main une densité que ton modèle statistique utilise plus loin. Ta colonne contient une série de cotes z, c'est-à-dire des écarts à la moyenne exprimés en nombre d'écarts-types, et tu veux la hauteur de la gaussienne standard en chacun de ces points. La fonction PHI donne cette densité directement, sans que tu réécrives l'exponentielle et la racine de deux pi.
- 1Dans une cellule, écris
=PHI(. - 2En 1er argument : clique sur la cote à évaluer,
B2. Elle vaut1pour le pointP-01, une valeur qui se lit en nombre d'écarts-types par rapport à la moyenne et jamais dans l'unité d'origine de tes mesures. C'est une donnée déjà standardisée, sur une loi normale centrée sur0et d'écart-type1. - 3Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée, puis recopie la formule vers le bas pour tracer toute la courbe. Comme aucun argument ne fixe la moyenne ni l'écart-type, la fonction PHI travaille toujours sur cette loi standard, ce qui explique qu'une cote négative renvoie exactement la même densité que son opposée.
=PHI(B2)z = 1, la fonction PHI renvoie 0,2420 : c'est la hauteur de la cloche à un écart-type du centre, pas une probabilité. Une fois la formule recopiée, la colonne dessine toute la courbe et son sommet apparaît sur P-04, où z = 0 donne 0,3989, la valeur maximale que PHI puisse renvoyer. Compare P-04 et P-08 pour saisir la vitesse à laquelle la cloche s'écrase : à z = 2,5, la densité est tombée à 0,0175, soit vingt-trois fois moins qu'au centre.
Comment calculer la densité d'une loi normale quelconque avec la fonction PHI
Ton modèle ne tourne pas sur la loi normale standard mais sur une distribution centrée sur 100 avec un écart-type de 15, et tu as besoin de la densité en plusieurs points pour l'alimenter. La fonction PHI ne connaît qu'une seule loi normale, celle de moyenne 0 et d'écart-type 1, donc tu ne peux pas lui passer 115 tel quel. Tu ramènes d'abord ta mesure sur son échelle, puis tu remets le résultat à la tienne.
- 1Dans une cellule, écris
=PHI(. - 2En 1er argument : saisis le calcul qui standardise ta mesure,
(B2-C2)/D2. Le retrait de la moyenneC2recentre la mesure sur zéro, et la division par l'écart-typeD2la convertit en nombre d'écarts-types. C'est ainsi que115se ramène à la cote1, seule échelle que la fonction PHI sache lire. - 3Ferme la parenthèse, complète par
/D2, puis appuie sur Entrée. Cette division finale, hors des parenthèses de la fonction PHI, ramène la hauteur à l'échelle de ta distribution. Une densité s'étale sur toute la largeur de la courbe, donc des données réparties sur15unités au lieu d'une seule écrasent la cloche d'autant. Sans ce facteur, l'aire totale sous ta courbe ne vaudrait plus1et le chiffre n'aurait aucun sens physique.
=PHI((B2-C2)/D2)/D2M-01, la standardisation ramène 115 à une cote de 1, la fonction PHI renvoie 0,2420, puis la division par 15 ramène cette hauteur à l'échelle réelle et donne 0,0161. C'est la division finale qui fait tout : sans elle, tu afficherais 0,2420, une densité juste pour la loi standard mais quinze fois trop grande pour la tienne. Regarde aussi M-01 et M-04, à 15 points au-dessus et au-dessous de la moyenne : la densité y est identique, ce qui rend visible la symétrie de la fonction PHI autour de zéro.
Les erreurs fréquentes avec la fonction PHI
Avec PHI, les deux faux pas viennent du même malentendu : tu obtiens une hauteur de courbe, pas une probabilité. PHI(0) = 0,3989 te dit à quel point la densité est concentrée au centre, pas que 39,89 % des cas tombent en dessous.
L'autre déconvenue arrive dès que tu quittes la loi standard N(0,1) : si tu écris =PHI((x-mu)/sigma) sans diviser par sigma à la fin, le chiffre reste juste pour N(0,1) mais devient faux pour ta vraie distribution.
Confondre PHI et LOI.NORMALE.STANDARD : densité vs probabilité
PHI renvoie la densité (hauteur de la courbe) en un point, pas la probabilité que X soit inférieur à ce point. PHI(0) = 0,3989 ne signifie pas 39,89% de probabilité.
Solution : Utilise LOI.NORMALE.STANDARD(x;VRAI) ou LOI.NORMALE(x;mu;sigma;VRAI) pour obtenir une probabilité cumulée. Réserve PHI aux calculs de densité pure ou pour tracer une courbe.
Oublier de diviser par sigma pour une loi non standard
La formule =PHI((x-mu)/sigma) sans la division finale par sigma renvoie la densité de N(0,1) au z-score, pas la densité réelle de N(mu,sigma). Le résultat est numériquement incorrect pour toute distribution autre que standard.
Solution : La formule correcte pour la densité de N(mu,sigma) est =PHI((x-mu)/sigma)/sigma. La division par sigma est nécessaire car la densité se compresse quand sigma diminue et s'étire quand sigma augmente.
Questions fréquentes
PHI(x) renvoie la densité de probabilité (hauteur de la courbe) en un point x. C'est utile pour tracer la gaussienne ou comparer des fréquences relatives. LOI.NORMALE.STANDARD(x;VRAI) renvoie la probabilité cumulée (l'aire sous la courbe jusqu'à x). C'est ce que tu utilises pour répondre à des questions comme "quelle proportion de la population est en dessous de ce seuil ?". Dans la plupart des applications pratiques, c'est LOI.NORMALE.STANDARD qu'il faut.
PHI est utilisée pour tracer la courbe en cloche dans un graphique, calculer des densités relatives (comparer la probabilité de deux valeurs entre elles), et dans des formules statistiques avancées comme le modèle de Black-Scholes en finance. Elle est plus théorique que pratique pour la plupart des utilisateurs quotidiens. Si tu cherches simplement à calculer une probabilité sous une courbe normale, LOI.NORMALE est plus directe.
PHI(0) = 1 / sqrt(2pi) ≈ 0,3989 est le maximum. C'est la densité au centre de la distribution normale standard, là où la courbe est à son sommet.
Cette valeur n'est pas une probabilité : elle représente la "concentration" de la distribution en ce point. La courbe décroît symétriquement de chaque côté de ce maximum.
Non, PHI renvoie toujours une valeur positive ou nulle. C'est une densité de probabilité, qui ne peut mathématiquement jamais être négative. Pour x très grand en valeur absolue (au-delà de ±5), PHI renvoie des valeurs proches de 0 mais jamais négatives. La symétrie garantit que PHI(-x) = PHI(x) pour tout x.
PHI ne fonctionne directement qu'avec la distribution N(0,1). Pour une distribution N(mu, sigma), standardise d'abord le point x puis ajuste l'échelle : =PHI((x-mu)/sigma)/sigma.
Alternativement, utilise directement LOI.NORMALE(x;mu;sigma;FAUX) qui calcule la densité pour n'importe quelle distribution normale en une seule formule.
Pour aller plus loin
Continue sur ta lancée après la fonction PHI : la leçon associée, un modèle prêt à l'emploi et le guide pour progresser.
Tout voir
