PHI calcule la valeur de la fonction de densité de probabilité de la distribution normale standard (moyenne = 0, écart-type = 1) en un point donné. C'est la fameuse courbe en cloche, ou gaussienne, qui décrit des phénomènes naturels allant des résultats d'examens aux erreurs de mesure.
Dans la pratique, PHI sert à tracer la gaussienne dans un graphique, à comparer des densités relatives entre plusieurs observations, et à construire des formules statistiques avancées. C'est une fonction théorique puissante, complémentaire de LOI.NORMALE.STANDARD qui donne les probabilités cumulées.
Syntaxe de la fonction PHI
=PHI(x)Comprendre chaque paramètre de la fonction PHI
x
: le point où évaluer la densitéIl s'agit d'un z-score, c'est-à-dire une valeur standardisée (exprimée en nombre d'écarts-types par rapport à la moyenne). Peut être n'importe quel nombre réel.
Pour x au-delà de ±4, la valeur de PHI s'approche très près de 0 et est souvent indiscernable de 0 pour des usages pratiques. La symétrie de la courbe implique que PHI(-x) = PHI(x) : tu n'as besoin d'explorer que les valeurs positives pour connaître toute la courbe.
Astuce : Pour évaluer PHI sur une distribution non standard N(mu, sigma), standardise d'abord : =PHI((x-mu)/sigma)/sigma. La division finale par sigma est nécessaire car la densité se comprime ou s'étire avec l'écart-type.
Exemples pratiques pas à pas
Statisticien : tracer la courbe en cloche
Tu veux créer les points pour tracer une gaussienne dans un graphique Excel. Place les valeurs de x en colonne A de -3 à 3 par pas de 0,1, calcule =PHI(A2) en colonne B, puis insère un graphique Courbes.
| A | B | |
|---|---|---|
| 1 | x | PHI(x) |
| 2 | -3 | 0,0044 |
| 3 | -2 | 0,0540 |
| 4 | -1 | 0,2420 |
| 5 | 0 | 0,3989 |
| 6 | 1 | 0,2420 |
| 7 | 2 | 0,0540 |
| 8 | 3 | 0,0044 |
=PHI(A2)A2 contient -3 : PHI(-3) = 0,0044, une densité très faible (queue gauche de la courbe). À x = 0 (centre), PHI(0) = 0,3989 est le maximum. La courbe est parfaitement symétrique : PHI(-3) = PHI(3) = 0,0044.
Analyste RH : comparer des densités relatives
Tu veux comparer la probabilité relative d'observer différentes valeurs standardisées dans une évaluation de performance. Le ratio par rapport au centre montre combien une valeur est relativement probable par rapport à la moyenne.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Observation | z-score | Densité PHI | Ratio vs centre |
| 2 | Moyenne | 0 | 0,3989 | 100% |
| 3 | 1 écart-type | 1 | 0,2420 | 61% |
| 4 | 2 écarts-types | 2 | 0,0540 | 14% |
=PHI(B3)/PHI(0)B3 contient 1 (z-score à 1 écart-type) : PHI(1)/PHI(0) = 0,2420/0,3989 ≈ 61%. À 2 écarts-types (B4 = 2), le ratio tombe à 14% : ces valeurs sont rares. La formule permet de comparer visuellement la densité relative de chaque position.
Enseignant : calculer un z-score et sa densité
Un élève a obtenu 85 dans une classe dont la moyenne est 70 et l'écart-type 10. Tu veux connaître la densité de sa position dans la distribution.
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Note | Moyenne | Écart-type | z-score | PHI(z) |
| 2 | 85 | 70 | 10 | 1,5 | 0,1295 |
=PHI((A2-B2)/C2)A2 = 85 (note), B2 = 70 (moyenne), C2 = 10 (écart-type). Le z-score vaut (85-70)/10 = 1,5. PHI(1,5) = 0,1295 : la densité à 1,5 écart-type du centre est environ 32% du maximum, soit une zone moins fréquente mais pas rare.
Astuce de pro : Pour savoir quelle proportion d'élèves a obtenu une note inférieure à 85, utilise LOI.NORMALE.STANDARD ou LOI.NORMALE, pas PHI. PHI donne la hauteur de la courbe, pas la surface sous elle.
Mathématicien : vérifier la symétrie de la gaussienne
Tu veux démontrer que la courbe normale est parfaitement symétrique autour de 0 dans une présentation pédagogique.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | x | PHI(x) | PHI(-x) | Égaux ? |
| 2 | 1,5 | 0,1295 | 0,1295 | OUI |
| 3 | 2,3 | 0,0283 | 0,0283 | OUI |
=PHI(A2)=PHI(-A2)A2 contient 1,5 : PHI(1,5) = 0,1295 et PHI(-1,5) = 0,1295. La comparaison retourne VRAI. Même résultat pour A3 (2,3) : PHI(2,3) = PHI(-2,3) = 0,0283. La symétrie est parfaite pour toute valeur de x.
Modélisateur : densité pour une loi normale quelconque
Tu dois calculer la densité d'une loi normale N(mu = 100, sigma = 15) au point x = 115, par exemple pour modéliser des scores de QI (distribution historiquement calibrée sur cette gaussienne).
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | x | mu | sigma | Densité N(mu,sigma) |
| 2 | 115 | 100 | 15 | 0,0213 |
=PHI((A2-B2)/C2)/C2A2 = 115 (x), B2 = 100 (mu), C2 = 15 (sigma). Le z-score vaut (115-100)/15 = 1. PHI(1)/15 = 0,2420/15 ≈ 0,0213 : c'est la densité réelle de N(100,15) au point 115. Sans la division par 15, on obtiendrait 0,2420, valeur correcte pour N(0,1) mais incorrecte ici.
Envie de t'entraîner sur de vrais exercices Excel ?
M'entraîner
Les erreurs fréquentes avec la fonction PHI
Avec PHI, les deux faux pas viennent du même malentendu : tu obtiens une hauteur de courbe, pas une probabilité. PHI(0) = 0,3989 te dit à quel point la densité est concentrée au centre, pas que 39,89 % des cas tombent en dessous.
L'autre déconvenue arrive dès que tu quittes la loi standard N(0,1) : si tu écris =PHI((x-mu)/sigma) sans diviser par sigma à la fin, le chiffre reste juste pour N(0,1) mais devient faux pour ta vraie distribution.
Confondre PHI et LOI.NORMALE.STANDARD : densité vs probabilité
PHI renvoie la densité (hauteur de la courbe) en un point, pas la probabilité que X soit inférieur à ce point. PHI(0) = 0,3989 ne signifie pas 39,89% de probabilité.
Solution : Utilise LOI.NORMALE.STANDARD(x;VRAI) ou LOI.NORMALE(x;mu;sigma;VRAI) pour obtenir une probabilité cumulée. Réserve PHI aux calculs de densité pure ou pour tracer une courbe.
Oublier de diviser par sigma pour une loi non standard
La formule =PHI((x-mu)/sigma) sans la division finale par sigma renvoie la densité de N(0,1) au z-score, pas la densité réelle de N(mu,sigma). Le résultat est numériquement incorrect pour toute distribution autre que standard.
Solution : La formule correcte pour la densité de N(mu,sigma) est =PHI((x-mu)/sigma)/sigma. La division par sigma est nécessaire car la densité se compresse quand sigma diminue et s'étire quand sigma augmente.
Questions fréquentes sur la fonction PHI
Quelle est la différence entre PHI et LOI.NORMALE.STANDARD ?
PHI(x) renvoie la densité de probabilité (hauteur de la courbe) en un point x. C'est utile pour tracer la gaussienne ou comparer des fréquences relatives.
LOI.NORMALE.STANDARD(x;VRAI) renvoie la probabilité cumulée (l'aire sous la courbe jusqu'à x). C'est ce que tu utilises pour répondre à des questions comme "quelle proportion de la population est en dessous de ce seuil ?". Dans la plupart des applications pratiques, c'est LOI.NORMALE.STANDARD qu'il faut.
À quoi sert concrètement la fonction PHI ?
PHI est utilisée pour tracer la courbe en cloche dans un graphique, calculer des densités relatives (comparer la probabilité de deux valeurs entre elles), et dans des formules statistiques avancées comme le modèle de Black-Scholes en finance.
Elle est plus théorique que pratique pour la plupart des utilisateurs quotidiens. Si tu cherches simplement à calculer une probabilité sous une courbe normale, LOI.NORMALE est plus directe.
Quelle est la valeur maximale de PHI ?
PHI(0) = 1 / sqrt(2pi) ≈ 0,3989 est le maximum. C'est la densité au centre de la distribution normale standard, là où la courbe est à son sommet.
Cette valeur n'est pas une probabilité : elle représente la "concentration" de la distribution en ce point. La courbe décroît symétriquement de chaque côté de ce maximum.
PHI peut-elle donner des valeurs négatives ?
Non, PHI renvoie toujours une valeur positive ou nulle. C'est une densité de probabilité, qui ne peut mathématiquement jamais être négative.
Pour x très grand en valeur absolue (au-delà de ±5), PHI renvoie des valeurs proches de 0 mais jamais négatives. La symétrie garantit que PHI(-x) = PHI(x) pour tout x.
Comment utiliser PHI pour une distribution non standard ?
PHI ne fonctionne directement qu'avec la distribution N(0,1). Pour une distribution N(mu, sigma), standardise d'abord le point x puis ajuste l'échelle : =PHI((x-mu)/sigma)/sigma.
Alternativement, utilise directement LOI.NORMALE(x;mu;sigma;FAUX) qui calcule la densité pour n'importe quelle distribution normale en une seule formule.
Pour aller plus loin
Bloqué sur une formule Excel ?
Pose ta question à notre assistant Excel IA, il te sort la bonne formule en quelques secondes.
Essayer l'assistant IAGratuit · 10 questions par mois