Qu'est-ce que la fonction LOI.
LOI.BETA te sert dès que la loi normale te donnerait un résultat absurde : une probabilité négative, un taux de conformité au-dessus de 100 %, une durée de projet négative. Elle prend le relais chaque fois que ta variable reste naturellement coincée entre deux bornes et qu'il te faut quand même en tirer une probabilité exploitable.
Que tu sois chef de projet, analyste qualité ou data scientist, cette fonction t'aide à modéliser l'incertitude de façon réaliste : estimer la probabilité de finir un projet en 20 jours, évaluer la chance que ton taux de conformité dépasse 92 %, ou construire un intervalle de confiance bayésien sur ton taux de conversion.
Syntaxe
Clique sur un argument pour aller à son explication.
LOI.BETA cumule toujours, et c'est son principal piège : contrairement à LOI.NORMALE, LOI.GAMMA ou LOI.BINOMIALE, elle n'a aucun argument cumulative à basculer. Sa quatrième place est occupée par la borne inférieure A, pas par un indicateur VRAI ou FAUX. LOI.BETA est par ailleurs une fonction héritée des anciennes versions d'Excel : depuis Excel 2010, la version recommandée est LOI.BETA.N, qui ajoute justement un argument cumulative obligatoire en quatrième position et décale les bornes en cinquième et sixième. Les deux fonctions n'ont donc pas la même signature. Dans la plupart des cas, tu utiliseras seulement les 3 premiers paramètres de LOI.BETA et laisseras A et B à leurs valeurs par défaut (0 et 1).
Comprendre chaque paramètre de la fonction LOI.BETA
x
: la valeur à laquelle tu veux évaluer ta distributionPar exemple, si tu modélises la probabilité qu'un projet se termine à 75 % de son temps pessimiste, x = 0,75. Cette valeur doit toujours être comprise entre A et B (ou entre 0 et 1 par défaut).
alpha
: le premier paramètre de forme de ta distributionPlus alpha est grand par rapport à bêta, plus ta distribution penche vers la droite (vers les valeurs élevées). Alpha doit être strictement supérieur à 0.
En pratique, dans la méthode PERT de gestion de projet, alpha se calcule selon la formule : alpha = 1 + 4×(mode-A)/(B-A).
bêta
: le deuxième paramètre de formePlus bêta est grand par rapport à alpha, plus ta distribution penche vers la gauche (vers les valeurs faibles). Comme alpha, bêta doit être strictement supérieur à 0.
Dans une approche bayésienne avec n observations dont k succès, bêta = (n-k) + 1.
Attention : Ne confonds pas alpha et bêta avec la moyenne et la variance. La moyenne de la distribution est alpha/(alpha+bêta), pas simplement alpha. Si alpha = bêta, la distribution est symétrique autour de 0,5.
A
: la borne inférieure de ton intervalle, et le quatrième argument de LOI.BETA(facultatif)Par défaut, elle vaut 0. Change-la si tes données ne commencent pas à zéro. Par exemple, pour une durée de projet entre 10 et 30 jours, utilise A=10.
Attention : C'est ici que se glisse l'erreur la plus courante. Beaucoup de personnes écrivent VRAI en quatrième position par réflexe, parce que les autres lois d'Excel attendent un argument cumulative à cet endroit. LOI.BETA, elle, lit ce VRAI comme la borne A et le convertit en 1 : =LOI.BETA(0,5; 2; 5; VRAI) renvoie donc #NOMBRE!, puisque x = 0,5 tombe sous une borne inférieure devenue 1.
B
: la borne supérieure de ton intervalle, et le cinquième et dernier argument de LOI.BETA(facultatif)Par défaut, elle vaut 1. Change-la pour correspondre à ta réalité. Pour notre projet de 10 à 30 jours, utilise B=30.
Attention : Si tu utilises A et B, assure-toi que x est bien compris entre A et B. Si x < A ou x > B, Excel retourne l'erreur #NOMBRE!. La fonction s'arrête à cinq arguments : si tu tentes d'en passer un sixième, Excel refuse carrément de valider la formule.
Exemples pratiques pas à pas
Comment calculer une probabilité cumulée avec la fonction LOI.BETA
Tes lots sortent avec des proportions qui bougent d'un échantillon à l'autre, et tu veux savoir lesquelles sont banales et lesquelles méritent qu'on ouvre la ligne. L'historique de ce processus se décrit par une loi bêta de forme 2 et 5, et chaque échantillon apporte sa proportion mesurée. La fonction LOI.BETA te dit quelle part de la distribution se trouve sous chaque proportion, ce qui situe la mesure au lieu de la laisser flotter toute seule.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.BETA(. - 2En 1er argument : clique sur la proportion que tu viens de mesurer,
B2, soit0,3pour l'échantillon E-01. La formule pointe la cellule plutôt que le nombre, elle se recopie donc sur les lignes suivantes en suivant chaque proportion. - 3En 2ᵉ argument : saisis alpha, le premier paramètre de forme,
2. Il doit toujours rester strictement positif, faute de quoi la fonction renvoie l'erreur#NOMBRE!. - 4En 3ᵉ argument : saisis bêta, le second paramètre de forme,
5. Plus grand qu'alpha, il tasse la distribution vers les petites proportions, autour d'une moyenne de2 / (2 + 5), soit environ0,29. - 5Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée. Les bornes
AetBrestent omises, donc LOI.BETA cumule sur l'intervalle par défaut[0 ; 1]. Sa quatrième place appartient à la borneAet non à un indicateur cumulatif, et la fonction n'accepte jamais plus de cinq arguments.
=LOI.BETA(B2; 2; 5)0,3, et renvoie 58,0 %. Un peu plus de la moitié des proportions attendues tombent donc sous celle que tu viens de mesurer. LOI.BETA cumule toujours : elle n'a aucun argument pour lui demander autre chose.
Comment calculer une probabilité sur un intervalle borné avec la fonction LOI.BETA
On te demande de t'engager sur une date, et tu veux savoir quelle chance tu as vraiment de la tenir avant de la promettre. Les durées de cette tâche s'étalent entre 5 et 15 jours selon une loi bêta de forme 2 et 5, et tu testes plusieurs dates candidates. La fonction LOI.BETA te rend, pour chaque durée visée, la probabilité de finir dans ce délai ou avant, et le choix de la date devient un arbitrage chiffré.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.BETA(. - 2En 1er argument : clique sur la durée visée,
B2, ici7jours pour la tâche T-01. Elle doit impérativement tomber entre les deux bornes, sinon la fonction renvoie l'erreur#NOMBRE!. - 3En 2ᵉ argument : saisis alpha, le premier paramètre de forme,
2. C'est exactement la même forme que sur l'intervalle[0 ; 1], simplement redéployée sur des jours. - 4En 3ᵉ argument : saisis bêta, le second paramètre de forme,
5. Plus grand qu'alpha, il continue de faire pencher la distribution vers les durées courtes. - 5En 4ᵉ argument : saisis la borne basse de l'intervalle,
5. C'est bien le quatrième argument de LOI.BETA, sans aucun indicateur cumulatif glissé avant lui. - 6En 5ᵉ argument : saisis la borne haute de l'intervalle,
15. C'est le dernier argument que LOI.BETA accepte, et une durée de7jours y revient à la proportion0,2sur l'échelle réduite, d'où le même 34,5 % que donnerait=LOI.BETA(0,2; 2; 5). - 7Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée, puis recopie la formule vers le bas pour tester les autres durées candidates.
=LOI.BETA(B2; 2; 5; 5; 15)5 et 15 étalent la loi bêta sur l'intervalle réel des durées, ce qui permet de passer 7 directement en jours plutôt qu'en fraction. Ici, la fonction renvoie 34,5 % : tenir la tâche en sept jours n'arrive qu'une fois sur trois environ, contre presque neuf fois sur dix en dix jours.
Comment calculer la probabilité d'une plage avec la fonction LOI.BETA
Savoir qu'une proportion a 58 % de chances de tomber sous 0,3 ne te dit pas où elle atterrit vraiment, et c'est bien la tranche centrale qui t'intéresse pour régler tes seuils. Tu découpes donc ton domaine en plages et tu veux le poids de chacune, sur la même loi bêta de forme 2 et 5. Deux appels à LOI.BETA y suffisent, parce que celui de la borne haute contient déjà celui de la borne basse.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.BETA(. - 2En 1er argument : clique sur la borne haute de la plage,
C2, ici0,4. Ce premier appel cumule toute la distribution située sous cette borne. - 3En 2ᵉ argument : saisis alpha, le premier paramètre de forme,
2. Il reste strictement positif comme dans tout appel à LOI.BETA. - 4En 3ᵉ argument : saisis bêta, le second paramètre de forme,
5. Ces deux paramètres de forme doivent rester identiques dans les deux appels, sans quoi la soustraction n'aurait aucun sens. - 5Ferme la parenthèse, puis complète par
- LOI.BETA(B2; 2; 5)pour retrancher le cumul jusqu'à la borne basse0,2, et appuie sur Entrée. La soustraction ne garde que la plage comprise entre les deux bornes, ce qui donne 42,2 % sur la première ligne.
=LOI.BETA(C2; 2; 5) - LOI.BETA(B2; 2; 5)0,2 et 0,4, il reste 42,2 % de la distribution : c'est la plage où ton processus atterrit le plus souvent.
Les erreurs fréquentes avec la fonction LOI.BETA
Erreur #NOMBRE! avec alpha ou bêta négatifs ou nuls
Alpha et bêta doivent être strictement supérieurs à 0. Si tu obtiens #NOMBRE!, vérifie que tes calculs de paramètres donnent bien des valeurs positives. =LOI.BETA(0,5; 0; 2) retourne #NOMBRE! car alpha = 0 est interdit.
Solution : Vérifie tes calculs d'alpha et bêta avec une formule intermédiaire avant de les passer à LOI.BETA. Si tu calcules alpha depuis des données (approche bayésienne), assure-toi d'ajouter 1 : alpha = succès + 1, pas juste succès.
Erreur #NOMBRE! car x est hors de l'intervalle [A, B]
Si x est inférieur à A ou supérieur à B, Excel retourne #NOMBRE!. Vérifie toujours que ta valeur x est bien comprise dans tes bornes. Par exemple, =LOI.BETA(1,5; 2; 5; 0; 1) échoue car x = 1,5 dépasse B = 1.
Solution : Encadre ta valeur x avec une vérification : =SI(ET(x>=A; x<=B); LOI.BETA(x; alpha; bêta; A; B); "Hors intervalle"). Assure-toi que x, A et B sont cohérents.
Erreur #NOMBRE! dès que tu ajoutes VRAI à la fin de la formule
Tu as pris le réflexe des autres lois d'Excel, qui réclament toutes un argument cumulative en quatrième position. LOI.BETA n'en a pas : sa quatrième place est celle de la borne inférieure A. Ton VRAI est donc converti en 1, la borne basse devient 1, et =LOI.BETA(0,5; 2; 5; VRAI) renvoie #NOMBRE! parce que x = 0,5 se retrouve sous cette borne.
Solution : Retire l'argument, tout simplement : =LOI.BETA(0,5; 2; 5) renvoie 0,890625. LOI.BETA cumule déjà, il n'y a rien à activer. Si tu veux vraiment un argument cumulative, c'est LOI.BETA.N qu'il te faut, où il est obligatoire : =LOI.BETA.N(0,5; 2; 5; VRAI).
FAUX ne renvoie aucune erreur mais ne donne pas la densité
C'est le piège inverse du précédent, et il est plus sournois parce qu'il ne prévient pas. =LOI.BETA(0,5; 2; 5; FAUX) renvoie 0,890625, exactement le même résultat que sans le FAUX. La raison est que FAUX vaut 0, or 0 est déjà la valeur par défaut de la borne A : ton argument est avalé sans bruit. Tu crois lire une densité, tu lis une probabilité cumulée.
Solution : Ne passe jamais VRAI ni FAUX à LOI.BETA. Pour obtenir une densité, utilise LOI.BETA.N avec FAUX : =LOI.BETA.N(0,5; 2; 5; FAUX) renvoie 0,9375, une valeur bien différente du 0,890625 cumulé.
LOI.BETA vs LOI.NORMALE vs LOI.BINOMIALE vs LOI.GAMMA
Utilise LOI.BETA quand tes données sont naturellement bornées entre deux valeurs finies, comme des proportions, des taux ou des durées. Pour des données non bornées ou symétriques, LOI.NORMALE est plus adaptée. Pour des succès et des échecs discrets, tourne-toi vers LOI.BINOMIALE, et pour des temps d'attente positifs non bornés, vers LOI.GAMMA.
Une différence mérite toute ton attention, parce qu'elle est la source d'erreur numéro un sur cette fonction. LOI.NORMALE, LOI.BINOMIALE et LOI.GAMMA attendent toutes un argument cumulative obligatoire, à passer en VRAI ou FAUX pour choisir entre probabilité cumulée et densité. LOI.BETA est la seule du lot à ne pas en avoir : elle cumule toujours, et sa quatrième place appartient à la borne A.
| Critère | LOI.BETA | LOI.NORMALE | LOI.BINOMIALE | LOI.GAMMA |
|---|---|---|---|---|
| Type de données | Proportions, taux, durées bornées | Données continues non bornées | Succès/échecs discrets | Temps d'attente, durées positives |
| Intervalle de valeurs | [A, B] borné | ]-inf, +inf[ | Entiers [0, n] | [0, +inf[ |
| Cas d'usage typique | PERT, taux de conversion, conformité | Salaires, tailles, erreurs de mesure | Clics sur publicité, taux de défauts | Délai de livraison, durée d'une panne |
| Paramètres principaux | alpha, bêta (+ bornes A, B) | Moyenne, écart-type | n (essais), p (probabilité) | alpha (forme), bêta (échelle) |
| Argument cumulative | Aucun : cumule toujours (la 4e place est la borne A) | Obligatoire en 4e argument | Obligatoire en 4e argument | Obligatoire en 4e argument |
| Comment obtenir la densité | Impossible : passer par LOI.BETA.N avec FAUX | Passer FAUX en 4e argument | Passer FAUX en 4e argument | Passer FAUX en 4e argument |
Questions fréquentes
Utilise la loi bêta quand tes données sont bornées entre 0 et 1 (ou deux valeurs finies), comme des proportions, probabilités, taux de réussite, ou pourcentages. La loi normale suppose des données potentiellement infinies dans les deux sens. En pratique, si ta variable ne peut jamais dépasser 100 % ni être négative (taux de conversion, score qualité, avancement de projet), la loi bêta est plus réaliste.
Les paramètres alpha et bêta contrôlent la forme de la distribution. Si alpha est supérieur à bêta, la distribution penche vers la droite. Si bêta est supérieur à alpha, elle penche vers la gauche. Si alpha = bêta, la distribution est symétrique. Plus les valeurs sont grandes, plus la distribution est concentrée autour du centre. En approche bayésienne, alpha = succès + 1 et bêta = échecs + 1.
Tu ne peux pas, et c'est normal : LOI.BETA n'a aucun argument pour ça. Elle renvoie toujours la probabilité cumulée P(X <= x), c'est-à-dire la probabilité qu'une valeur soit inférieure ou égale à x. Si tu ajoutes VRAI en quatrième argument pour tenter de la piloter, elle le lit comme la borne inférieure A et te renvoie #NOMBRE!.
Pour la densité, il faut changer de fonction et utiliser LOI.BETA.N, où l'argument cumulative existe bel et bien et devient même obligatoire. Sur la même loi de forme 2 et 5 au point 0,5, =LOI.BETA.N(0,5; 2; 5; VRAI) renvoie 0,890625 (la cumulée, identique à =LOI.BETA(0,5; 2; 5)) tandis que =LOI.BETA.N(0,5; 2; 5; FAUX) renvoie 0,9375 (la densité, soit la hauteur de la courbe en ce point).
Oui, utilise les paramètres A (borne inférieure) et B (borne supérieure) pour définir n'importe quel intervalle. Par exemple, pour [10, 50], utilise A=10 et B=50. Excel transforme automatiquement l'intervalle en [0, 1] en interne.
Assure-toi toujours que ta valeur x est comprise entre A et B, sinon tu obtiens #NOMBRE!.
En gestion de projet, la loi bêta modélise l'incertitude des durées de tâches. Définis optimiste (a), pessimiste (b) et plus probable (mode). Calcule alpha = 1 + 4×(mode-a)/(b-a) et bêta = 5 - alpha pour approximer la distribution PERT.
Ensuite, =LOI.BETA(durée_cible; alpha; bêta; a; b) te donne la probabilité de terminer en durée_cible jours ou moins. Les bornes a et b viennent bien en quatrième et cinquième position, sans rien entre elles et les paramètres de forme : sur une tâche de 5 à 15 jours de forme 2 et 5, =LOI.BETA(8; 2; 5; 5; 15) renvoie 0,579825, soit près de 58 % de chances de tenir les huit jours.
Pour aller plus loin
Continue sur ta lancée après la fonction LOI.BETA : la leçon associée, un modèle prêt à l'emploi et le guide pour progresser.
Tout voir
