Qu'est-ce que la fonction LOI.
LOI.BINOMIALE.NEG te sert dès que ton objectif se fixe en nombre de succès à atteindre plutôt qu'en nombre d'essais à réaliser : un commercial qui vise 5 ventes, un labo qui attend 10 résultats positifs, un contrôle qualité qui traque 3 pièces défectueuses avant de recalibrer sa machine. Elle te permet de juger, avant même de te lancer, si un scénario optimiste (peu de refus en chemin) reste plausible ou s'il relève du coup de chance.
Cette fonction est considérée comme une version ancienne : Microsoft recommande d'utiliser LOI.BINOMIALE.NEG.N pour les nouveaux classeurs. Mais si tu travailles sur des fichiers existants ou que tu dois garantir une compatibilité maximale, LOI.BINOMIALE.NEG te donnera les mêmes résultats en densité. Attention : elle n'a que trois arguments, le mode cumulé étant réservé à LOI.BINOMIALE.NEG.N.
Syntaxe
=LOI.BINOMIALE.NEG(nombre_échecs; nombre_succès; probabilité_succès)Clique sur un argument pour aller à son explication.
Cette fonction est conservée pour compatibilité. Pour les nouveaux classeurs, utilise LOI.BINOMIALE.NEG.N qui a la même syntaxe et une meilleure précision numérique.
Comprendre chaque paramètre de la fonction LOI.BINOMIALE.NEG
Les quatre arguments se lisent comme une phrase : combien d'échecs (nombre_échecs), pour combien de succès visés (nombre_succès), avec quelle chance à chaque essai (probabilité_succès). Le quatrième, cumulative, ne change pas le calcul mais la question : FAUX te donne « exactement ce nombre d'échecs », VRAI te donne « au plus ce nombre ». Tous sont obligatoires, et c'est ce dernier qu'on règle de travers le plus souvent.
nombre_échecs
: le nombre d'échecs pour lequel tu veux calculer la probabilitéPar exemple, si tu veux savoir quelle est la probabilité de recevoir 20 refus avant d'obtenir 5 ventes, tu mets 20 ici. Ce paramètre doit être supérieur ou égal à zéro.
Il représente les essais infructueux qui précèdent les succès, pas le nombre total d'essais. Le nombre total d'essais est nombre_échecs + nombre_succès.
nombre_succès
: le nombre de succès que tu veux atteindre : c'est ton quota ou seuilC'est ce qui distingue cette loi de la loi binomiale classique : ici, tu fixes les succès à l'avance plutôt que le nombre d'essais. Un commercial qui doit faire 5 ventes fixe ce paramètre à 5. Ce nombre doit être au moins égal à 1.
La loi binomiale négative est en quelque sorte l'inverse de la loi binomiale : l'une fixe les essais, l'autre fixe les succès.
probabilité_succès
: la probabilité de succès pour chaque essai individuel, exprimée en décimale entre 0 et 1Si ton taux de conversion est de 20%, tu entres 0,2. Cette probabilité doit rester constante d'un essai à l'autre : c'est l'hypothèse d'indépendance de la loi binomiale.
Un taux élevé (p proche de 1) signifie peu d'échecs attendus. Un taux faible (p proche de 0) signifie beaucoup d'échecs avant d'atteindre le quota.
Attention : L'erreur la plus fréquente : entrer 20 au lieu de 0,2 pour 20%. Excel attend une probabilité entre 0 et 1. Si tu obtiens des résultats impossibles (probabilités négatives ou supérieures à 1), vérifie ce paramètre en premier.
cumulative
: un paramètre logique (VRAI ou FAUX) qui détermine le type de calcul. Avec `FAUX` : Excel calcule P(X = nombre_échecs), la probabilité d'avoir exactement ce nombre d'échecs avant d'atteindre les succès requis. Avec `VRAI` : Excel calcule P(X ≤ nombre_échecs), la probabilité cumulée d'avoir au plus ce nombre d'échecsUtile pour répondre à « quelle est la probabilité d'y arriver en au maximum N essais ?»
Exemples pratiques pas à pas
Comment calculer la probabilité d'un nombre exact d'échecs avec la fonction LOI.BINOMIALE.NEG
Tu fais du phoning avec un taux de conversion de 15% par appel, et ton quota de la semaine est de 5 ventes. La question n'est pas « combien de ventes vais-je faire en 40 appels », mais son exact inverse : les 5 ventes sont posées comme acquises dans le raisonnement, et c'est le nombre de refus encaissés en route qui devient l'inconnue. La fonction LOI.BINOMIALE.NEG calcule la probabilité que ce nombre de refus vaille exactement 20, autrement dit que ta 5e vente tombe pile au 25e appel.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.BINOMIALE.NEG(. - 2En 1er argument : saisis le nombre de refus dont tu veux la probabilité,
20. Ce n'est pas le total des appels passés, seulement les appels ratés qui précèdent la dernière vente. - 3En 2ᵉ argument : saisis ton quota de ventes,
5. C'est ce chiffre posé à l'avance qui distingue la loi binomiale négative de LOI.BINOMIALE : la fonction classique fixe le nombre d'essais et compte les succès, tandis que celle-ci fixe les succès et compte les échecs. - 4En 3ᵉ argument : saisis ton taux de conversion écrit en décimale,
0,15et non15. L'argument attend un nombre compris entre0et1, et saisir le pourcentage tel quel déclenche l'erreur#NOMBRE!. - 5Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée. LOI.BINOMIALE.NEG s'arrête à ces trois arguments, et le mode cumulé, celui qui répondrait « au plus 20 refus », appartient à la variante LOI.BINOMIALE.NEG.N que présente l'exemple suivant.
=LOI.BINOMIALE.NEG(20;5;0,15)P(X = 20) : la probabilité que le nombre de refus vaille exactement 20, ni 19 ni 21. Elle affiche 3,13%, soit environ une chance sur 32 que la 5e vente tombe pile au 25e appel. Le chiffre paraît faible, et c'est normal pour une probabilité exacte : le nombre de refus peut prendre des dizaines de valeurs différentes, et chacune ne récupère qu'une petite part du total. Avec 5 ventes à 15%, la moyenne se situe autour de 28 refus, donc 20 décrit déjà une semaine plutôt favorable.
Comment obtenir une probabilité cumulée avec la fonction LOI.BINOMIALE.NEG.N
Ton taux de défaut en sortie de ligne est de 2%, et tu dois mettre la main sur 3 pièces défectueuses pour recalibrer la machine. Chaque pièce conforme que tu inspectes compte comme un échec au sens de la loi, et tu veux savoir si l'opération tient dans une session raisonnable. La question porte cette fois sur « au plus 100 pièces conformes » et non sur un nombre exact : il te faut le mode cumulé, donc la variante moderne LOI.BINOMIALE.NEG.N, la seule à accepter un quatrième argument.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.BINOMIALE.NEG.N(. - 2En 1er argument : saisis le plafond de pièces conformes que tu acceptes d'inspecter,
100. Combiné au mode cumulé, ce nombre ne désigne plus une valeur exacte mais une limite haute. - 3En 2ᵉ argument : saisis le nombre de défauts à trouver,
3. Le « succès » statistique est ici la pièce défectueuse, parce que c'est l'événement que tu comptes, même s'il n'a rien de réjouissant. - 4En 3ᵉ argument : saisis ton taux de défaut converti en décimale,
0,02. Il doit rester constant d'une pièce à l'autre, ce qui suppose une production stable sur la période observée. - 5En 4ᵉ argument : saisis
VRAIpour demanderP(X ≤ 100), la somme de tous les cas de zéro à cent pièces conformes. AvecFAUX, tu n'obtiendrais que le cas des cent pièces exactement, une valeur minuscule qui ne répond pas à ta question. - 6Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée. Vérifie au passage que tu as bien écrit LOI.BINOMIALE.NEG.N et non LOI.BINOMIALE.NEG, car la version historique s'arrête à trois arguments et refuse ce quatrième.
=LOI.BINOMIALE.NEG.N(100;3;0,02;VRAI)100 pièces conformes, et la fonction renvoie 33,97%. Tu n'as donc qu'une chance sur trois de réunir tes 3 défauts en restant sous la barre des 100 pièces saines. Le résultat est cohérent avec la moyenne de la distribution : à 2% de défaut, il faut compter environ 147 pièces conformes pour en croiser 3 mauvaises, si bien que ton plafond de 100 se situe nettement en dessous de ce que l'opération réclame. Prévois une inspection plus large, ou accepte que la calibration prenne du temps.
Comment budgétiser un nombre d'essais avec la fonction LOI.BINOMIALE.NEG
Tes manipulations de laboratoire réussissent dans 30% des cas et il te faut 10 résultats positifs pour boucler ta publication. Les réactifs coûtent cher, donc tu veux chiffrer le scénario où tout se passe bien : 10 succès obtenus au bout de 25 manipulations seulement, c'est-à-dire 15 échecs en chemin. Ici encore, c'est le nombre de succès qui est fixé et le nombre d'essais qui varie, exactement l'inverse d'un protocole à taille fixe que traiterait LOI.BINOMIALE.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.BINOMIALE.NEG(. - 2En 1er argument : saisis le nombre de manipulations ratées de ton scénario,
15. Le total d'expériences n'apparaît nulle part dans la formule, il se déduit en additionnant les échecs et les succès, soit25ici. - 3En 2ᵉ argument : saisis le nombre de résultats positifs exigés par la revue,
10. C'est ta contrainte de départ, celle qui ne bouge pas, et c'est elle qui justifie d'utiliser cette loi plutôt que la loi binomiale classique. - 4En 3ᵉ argument : saisis le taux de réussite d'une manipulation isolée écrit en décimale,
0,3. Il doit rester le même d'une expérience à l'autre, sinon l'hypothèse d'indépendance tombe et le modèle ne tient plus. - 5Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée. Tu obtiens une densité, la probabilité du cas exact : LOI.BINOMIALE.NEG ne connaît pas le mode cumulé, réservé à LOI.BINOMIALE.NEG.N.
=LOI.BINOMIALE.NEG(15;10;0,3)P(X = 15) et renvoie 3,67% : moins de quatre chances sur cent que ton 10e résultat positif tombe pile à la 25e manipulation. Le chiffre semble décevant, mais il ne dit pas que le scénario est mauvais, il dit qu'il est précis. La probabilité se répartit entre toutes les valeurs possibles du nombre d'échecs, et 15 n'en récupère qu'une tranche. Rapporté à l'espérance d'environ 23 échecs, boucler l'étude en 25 expériences reste un vrai coup de chance, à ne pas inscrire au budget comme hypothèse de base.
Comment vérifier qu'un objectif est atteignable avec la fonction LOI.BINOMIALE.NEG.N
Tes agents résolvent 40% des tickets dès le premier contact et tu leur fixes 8 résolutions par jour. Sur le papier l'objectif se tient, mais tu veux savoir combien de tickets non résolus il faut absorber pour y arriver, et si 12 suffisent. Le mode cumulé de LOI.BINOMIALE.NEG.N te donne directement la probabilité de tenir sous ce plafond, ce qui transforme une ligne de tableau de bord en chiffre discutable en réunion.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.BINOMIALE.NEG.N(. - 2En 1er argument : saisis le nombre maximum de tickets non résolus que la journée peut absorber,
12. Ajouté aux8résolutions visées, cela représente20tickets traités au total. - 3En 2ᵉ argument : saisis l'objectif de résolutions au premier contact,
8. C'est le point fixe du raisonnement, et c'est ce qui rend la loi binomiale négative pertinente ici : tu ne fixes pas le volume de tickets à traiter, tu fixes le résultat à atteindre. - 4En 3ᵉ argument : saisis le taux de résolution au premier contact exprimé en décimale,
0,4. Il doit rester stable sur la période observée pour que le modèle garde son sens. - 5En 4ᵉ argument : saisis
VRAIpour obtenirP(X ≤ 12), c'est-à-dire douze tickets non résolus ou moins. C'est bien la formulation de ton objectif : tu ne cherches pas exactement douze échecs, tu cherches à ne pas les dépasser. - 6Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée. Garde LOI.BINOMIALE.NEG.N pour cet appel, car le quatrième argument n'existe que dans cette variante et l'écrire dans LOI.BINOMIALE.NEG fait échouer la formule.
=LOI.BINOMIALE.NEG.N(12;8;0,4;VRAI)12 tickets non résolus et renvoie 58,41%. Un agent a donc un peu plus d'une chance sur deux de décrocher ses 8 résolutions en traitant 20 tickets au maximum. L'espérance explique ce chiffre : à 40% de résolution au premier contact, il faut en moyenne 12 tickets non résolus pour en boucler 8, soit exactement le plafond que tu as posé. Caler un objectif pile sur la moyenne revient donc à le manquer une journée sur deux, et c'est le genre de constat qui justifie de viser 7 résolutions ou d'élargir la fenêtre de traitement.
Les erreurs fréquentes avec la fonction LOI.BINOMIALE.NEG
Le coupable récurrent, c'est la probabilité : tu tapes 20 en pensant « 20% » alors qu'Excel attend 0,2, et comme la valeur dépasse 1, il te renvoie un #NOMBRE!. Les deux autres pannes sont silencieuses ou trompeuses : un nombre_succès à zéro qui casse aussi en #NOMBRE!, et surtout le mode cumulative mis à l'envers, qui ne déclenche aucune erreur mais répond à une autre question que la tienne.
Erreur #NOMBRE! : paramètres invalides
nombre_échecs est négatif, nombre_succès est inférieur à 1, ou probabilité_succès n'est pas comprise entre 0 et 1. Excel ne peut pas calculer une probabilité binomiale avec ces contraintes.
Solution : Vérifie tes trois premiers paramètres : nombre_échecs >= 0, nombre_succès >= 1, probabilité_succès dans ]0 ; 1[. Protège ta formule avec =SIERREUR(LOI.BINOMIALE.NEG(...); "Paramètres invalides") si tes valeurs viennent de cellules calculées.
Probabilité de succès saisie en pourcentage au lieu de décimale
Entrer 20 au lieu de 0,2 pour un taux de 20% produit une erreur #NOMBRE! puisque la probabilité dépasse 1. C'est l'erreur la plus courante avec toutes les fonctions de loi statistique.
Solution : Divise toujours ton pourcentage par 100 avant de l'entrer. Utilise la cellule source en format Pourcentage (%) et référence-la directement : Excel affiche 20% mais stocke 0,2, ce qui est la valeur correcte pour la formule.
Confusion entre VRAI et FAUX pour le paramètre cumulative
Le mode cumulatif n'existe que sur la variante moderne LOI.BINOMIALE.NEG.N : FAUX y donne la probabilité d'avoir exactement k échecs, VRAI la probabilité d'avoir au plus k échecs. Utiliser le mauvais mode produit une réponse à une question différente de celle que tu posais.
Solution : Demande-toi si ta question est « exactement » (FAUX) ou « au plus » (VRAI), et bascule sur LOI.BINOMIALE.NEG.N pour le cumulé. Pour calculer « au moins k échecs », utilise : =1-LOI.BINOMIALE.NEG.N(k-1; nombre_succès; prob; VRAI). Cette inversion complémentaire est nécessaire car Excel ne propose pas ce mode directement.
Erreur avec un paramètre de trop ou une mauvaise syntaxe
LOI.BINOMIALE.NEG (version historique) ne prend que trois arguments et n'accepte PAS de paramètre cumulative : ajouter un quatrième argument VRAI/FAUX en croyant activer un mode cumulé fait échouer la formule. C'est LOI.BINOMIALE.NEG.N qui gère le quatrième argument.
Solution : Pour LOI.BINOMIALE.NEG, garde exactement trois arguments : nombre_échecs, nombre_succès, probabilité_succès. Si tu as besoin du mode cumulé, passe à LOI.BINOMIALE.NEG.N (quatre arguments, avec cumulative).
Questions fréquentes
La loi binomiale compte le nombre de succès dans un nombre fixe d'essais : tu fixes les essais, tu calcules les succès. La loi binomiale négative fait l'inverse : tu fixes le nombre de succès voulu et tu calcules la probabilité d'un certain nombre d'échecs en route. L'une fixe les essais, l'autre fixe les succès. Ce sont deux façons complémentaires de modéliser des expériences répétées.
Tu l'utilises quand tu attends un quota de succès et que tu veux modéliser les essais infructueux qui précèdent. Exemples concrets : nombre d'appels nécessaires avant de conclure 5 ventes, nombre de pièces à tester avant de trouver 3 défauts, nombre de tentatives avant d'obtenir r résultats positifs. Si c'est le nombre d'essais qui est fixé (pas les succès), utilise la loi binomiale classique.
Le nom vient de la formule mathématique qui utilise des coefficients binomiaux avec des exposants négatifs. En pratique, la loi modélise des situations inverses de la loi binomiale : tu fixes les succès au lieu de fixer les essais. L'aspect « négatif » est purement mathématique et n'a aucune connotation pratique. La loi est positive et bien définie pour toutes les valeurs de ses paramètres dans leur domaine.
Oui. En statistiques avancées, la loi binomiale négative est utilisée pour modéliser des données de comptage présentant plus de variance que la loi de Poisson : c'est ce qu'on appelle la surdispersion. C'est courant en épidémiologie (nombre de cas par patient), en écologie (distribution des espèces) et en analyse de textes (fréquence de mots). Dans ces contextes, c'est la version à deux paramètres (r et p) qui est utilisée.
FAUX donne P(X = nombre_échecs) : la probabilité d'avoir exactement ce nombre d'échecs avant d'obtenir les succès requis. VRAI donne P(X ≤ nombre_échecs) : la probabilité d'avoir au plus ce nombre d'échecs. En pratique, VRAI est souvent plus utile pour la planification car il répond à « quelle est la probabilité d'atteindre mon quota en au maximum N essais ».
Le nombre total d'essais attendus (succès + échecs confondus) est E(Total) = r / p, où r est le nombre de succès voulu et p la probabilité de succès par essai. Par exemple, pour 5 ventes avec un taux de 15% : E(Total) = 5 / 0,15 ≈ 33 appels. L'écart-type du nombre d'échecs est racine carrée de r×(1-p)/p² : pour notre exemple, environ 13 échecs d'écart-type, ce qui explique pourquoi on recommande de prévoir 40 appels minimum.
Pour aller plus loin
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