Fonction SECH ExcelGuide Complet 2026 avec Exemples Scientifiques
SECH (sécante hyperbolique) est une fonction mathématique avancée qui calcule l'inverse du cosinus hyperbolique. Si tu travailles en physique, mécanique des fluides, optique non-linéaire ou data science, cette fonction est essentielle pour modéliser des phénomènes comme les solitons, les ondes solitaires, ou même certaines architectures de réseaux de neurones.
Dans ce guide, tu vas découvrir comment utiliser SECH dans Excel, comprendre sa définition mathématique (SECH(x) = 1/COSH(x) = 2/(eˣ + e⁻ˣ)), et voir des exemples concrets tirés du monde de l'ingénierie et de la recherche scientifique. SECH décrit parfaitement des profils d'ondes en forme de cloche qui conservent leur forme lors de la propagation.
Syntaxe de la fonction SECH
Excel 2013 et les versions ultérieures incluent la fonction SECH dans la bibliothèque d'analyse. Cependant, pour garantir une compatibilité maximale avec toutes les versions, tu peux aussi calculer SECH avec la formule équivalente utilisant COSH.
=SECH(nombre)ou de manière équivalente :
=1/COSH(nombre)La fonction SECH retourne un nombre compris entre 0 et 1. Le maximum (SECH = 1) est atteint quand le nombre vaut 0. Plus le nombre s'éloigne de zéro (en positif ou négatif), plus SECH se rapproche de 0 exponentiellement.
Astuce de compatibilité : Si tu travailles avec des versions Excel antérieures à 2013 ou si tu veux garantir que ton fichier fonctionne partout, utilise toujours =1/COSH(nombre) au lieu de =SECH(nombre). Les deux formules donnent exactement le même résultat.
Comprendre chaque paramètre de la fonction SECH
nombre
(obligatoire)C'est le nombre (en radians si tu penses en termes d'angle hyperbolique) pour lequel tu veux calculer la sécante hyperbolique. Il peut être positif, négatif ou nul. SECH est une fonction paire : SECH(-x) = SECH(x), donc le signe n'affecte pas le résultat final.
Par exemple : SECH(0) = 1, SECH(1) ≈ 0,6481, SECH(2) ≈ 0,2658, SECH(-2) ≈ 0,2658 (même résultat que SECH(2)), et SECH(5) ≈ 0,0135 (très proche de zéro).
Plage de valeurs utiles : En pratique, pour |x| > 5, SECH(x) devient très petit (moins de 0,014). Pour la modélisation de solitons, on travaille généralement avec des valeurs entre -5 et +5 pour capturer 99% du profil de l'onde. Au-delà, les queues exponentielles sont négligeables.
Comment interpréter le résultat de SECH ?
SECH te retourne toujours un nombre décimal entre 0 et 1. Ce résultat représente la sécante hyperbolique, qui est fondamentale pour décrire des profils en forme de "cloche" symétriques, très utilisés en physique pour modéliser des impulsions localisées et des ondes solitaires.
À l'origine (x=0)
SECH(0) = 1. C'est le maximum absolu de la fonction, qui correspond au centre de l'impulsion ou au sommet du soliton.
SECH(0) = 1/COSH(0) = 1/1 = 1Loin de l'origine (|x| grand)
Plus x est grand en valeur absolue, plus SECH(x) tend vers 0 exponentiellement vite. Les queues sont exponentielles.
SECH(5) ≈ 0,0135 ; SECH(10) ≈ 0,000091Définition mathématique complète
SECH(x) = 1/COSH(x) = 2/(eˣ + e⁻ˣ)Cette forme symétrique garantit que SECH est une fonction paire. La dérivée de SECH(x) est -SECH(x)×TANH(x), ce qui donne un profil en cloche avec des flancs exponentiels, parfait pour modéliser des solitons ou des impulsions isolées.
Identité fondamentale : En trigonométrie hyperbolique, il existe une relation importante : 1 - TANH²(x) = SECH²(x). C'est l'équivalent hyperbolique de l'identité trigonométrique cos²(x) + sin²(x) = 1. Cette identité est utilisée constamment en calcul différentiel pour simplifier les dérivées et intégrales.
Exemples pratiques pas à pas
Exemple 1 – Ingénieur en mécanique des fluides : modéliser un soliton (onde solitaire)
Tu es ingénieur en mécanique des fluides et tu étudies les ondes solitaires (solitons) dans un canal peu profond. La solution analytique de l'équation de Korteweg-de Vries (KdV) pour un soliton est donnée par η(x,t) = A × sech²(k(x - ct)), où A est l'amplitude (en mètres), k est lié à la largeur de l'onde, et c est la vitesse de propagation. Tu veux tracer le profil de l'onde à t=0 avec A=2 m et k=0,5 m⁻¹.
Le profil du soliton est maximal à x=0 (η=2 m) et décroît exponentiellement. SECH² donne la forme caractéristique en cloche de l'onde solitaire.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Position x (m) | k×x | SECH(k×x) | Hauteur η (m) |
| 2 | -4 | -2 | 0,2658 | 0,141 |
| 3 | -2 | -1 | 0,6481 | 0,841 |
| 4 | 0 | 0 | 1 | 2 |
| 5 | 2 | 1 | 0,6481 | 0,841 |
| 6 | 4 | 2 | 0,2658 | 0,141 |
=2*PUISSANCE(1/COSH(0,5*A2);2)Ce soliton se propage sans changer de forme, un phénomène découvert par John Scott Russell en 1834 sur le canal Union d'Édimbourg. En utilisant SECH² dans Excel, tu peux modéliser précisément cette onde et calculer son énergie totale (proportionnelle à l'intégrale de η²). Si tu veux simuler la propagation dans le temps, il suffit de remplacer x par (x - c×t) dans ta formule pour chaque instant t. La vitesse c dépend de l'amplitude : c = √(g×(h+A)), où g est la gravité et h la profondeur du canal.
Exemple 2 – Physicien optique : analyser un pulse laser solitonique ultra-court
Tu es physicien spécialisé en optique non-linéaire et tu travailles sur la propagation de pulses laser ultra-courts dans des fibres optiques. La solution solitonique de l'équation de Schrödinger non-linéaire (NLSE) a une enveloppe temporelle en sech. Tu veux calculer l'intensité normalisée d'un pulse I(t) = sech²(t/T₀) où T₀=50 femtosecondes est la largeur caractéristique du pulse.
L'intensité du pulse est maximale à t=0 (I=1) et décroît rapidement. À t=±T₀ (±50 fs), l'intensité est réduite à environ 42% du maximum.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Temps t (fs) | t/T₀ | SECH(t/T₀) | Intensité I(t) |
| 2 | -100 | -2 | 0,2658 | 0,071 |
| 3 | -50 | -1 | 0,6481 | 0,420 |
| 4 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 5 | 50 | 1 | 0,6481 | 0,420 |
| 6 | 100 | 2 | 0,2658 | 0,071 |
=PUISSANCE(1/COSH(A2/50);2)Ce profil sech² est fondamental en photonique non-linéaire car il représente un soliton fondamental, qui se propage sans dispersion ni élargissement temporel grâce à l'équilibre entre dispersion chromatique et non-linéarité Kerr dans la fibre. En calculant l'intégrale de I(t) de -∞ à +∞, tu obtiens l'énergie totale du pulse. Cette intégrale vaut exactement 2×T₀ pour un pulse normalisé. Si tu veux modéliser la propagation sur plusieurs kilomètres de fibre, ce profil reste stable (propriété unique des solitons optiques), à condition que la puissance crête et la dispersion soient correctement équilibrées.
Exemple 3 – Data scientist : tester SECH comme fonction d'activation dans un réseau de neurones
Tu es data scientist et tu expérimentes avec des fonctions d'activation alternatives pour un Physics-Informed Neural Network (PINN) qui doit apprendre à résoudre des équations différentielles non-linéaires. Tu testes une activation basée sur SECH : f(x) = sech(x), et tu veux comparer ses propriétés (valeur et dérivée) avec ReLU et tanh sur quelques valeurs d'entrée typiques.
SECH(0)=1 (maximum). La fonction décroît symétriquement. Sa dérivée est nulle en x=0 et devient négative pour x>0, positive pour x<0.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Input x | SECH(x) | Dérivée -SECH×TANH | Gradient |
| 2 | -2 | 0,2658 | 0,2492 | Faible |
| 3 | -1 | 0,6481 | 0,4200 | Moyen |
| 4 | 0 | 1 | 0 | Nul (max) |
| 5 | 1 | 0,6481 | -0,4200 | Moyen |
| 6 | 2 | 0,2658 | -0,2492 | Faible |
=1/COSH(A2)SECH présente un profil similaire à une gaussienne mais avec des queues exponentielles (plus épaisses que les queues gaussiennes). Contrairement à ReLU (non bornée, dérivée constante) ou tanh (saturée à ±1), SECH est bornée entre 0 et 1 et a une dérivée lisse partout sans discontinuité. Certains chercheurs l'utilisent dans des PINNs car elle capture naturellement des solutions de type soliton. Si ton modèle doit apprendre des équations comme KdV ou NLSE, utiliser SECH ou SECH² comme activation peut améliorer la convergence car le réseau peut plus facilement représenter les solutions analytiques connues.
Exemple 4 – Ingénieur télécommunications : modéliser la dispersion d'un signal dans une fibre optique
Tu es ingénieur en télécommunications et tu dois analyser comment un signal optique en forme de sech² se comporte lors de sa propagation dans une fibre optique standard avec dispersion. Tu veux calculer le profil initial du signal à différentes positions spatiales pour vérifier qu'il correspond bien à un soliton. Le signal a une amplitude A=1 et une largeur caractéristique w=2 unités spatiales.
Le profil de puissance du soliton fondamental suit une loi en sech². À z=±w, la puissance est réduite à 42% du maximum. Au-delà de ±3w, la puissance est négligeable (moins de 1%).
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Position z | z/w | SECH²(z/w) | Puissance P(z) |
| 2 | -6 | -3 | 0,00987 | 0,010 W |
| 3 | -4 | -2 | 0,07065 | 0,071 W |
| 4 | -2 | -1 | 0,41998 | 0,420 W |
| 5 | 0 | 0 | 1 | 1 W |
| 6 | 2 | 1 | 0,41998 | 0,420 W |
| 7 | 4 | 2 | 0,07065 | 0,071 W |
| 8 | 6 | 3 | 0,00987 | 0,010 W |
=PUISSANCE(1/COSH(A2/2);2)Ce profil en sech² est caractéristique d'un soliton fondamental de première ordre dans les fibres optiques. Pour qu'il se propage sans déformation sur de longues distances (plusieurs dizaines de kilomètres), il faut que la puissance crête, la dispersion de la fibre, et la non-linéarité Kerr satisfassent une condition d'équilibre précise. En pratique, tu peux calculer la puissance crête nécessaire avec P₀ = |β₂|/(γ×T₀²), où β₂ est le coefficient de dispersion, γ est le coefficient non-linéaire, et T₀ est la largeur temporelle du pulse. Ce type de modélisation est essentiel pour concevoir des systèmes de transmission optique longue distance utilisant des solitons.
Les erreurs fréquentes et comment les corriger
Chercher SECH dans les versions Excel anciennes
SECH n'existe pas comme fonction native dans les versions Excel antérieures à 2013. Si tu tapes =SECH(2) dans Excel 2010 ou 2007, tu obtiendras l'erreur #NOM?. Excel ne reconnaît pas cette fonction.
Solution : Utilise toujours =1/COSH(x) pour garantir la compatibilité avec toutes les versions. Par exemple, au lieu de =SECH(2), écris =1/COSH(2) qui retourne 0,2658. Tu peux aussi utiliser =PUISSANCE(COSH(x);-1) comme alternative.
Confondre SECH avec SEC (sécante trigonométrique)
SEC(x) = 1/COS(x) est la sécante trigonométrique classique, tandis que SECH(x) = 1/COSH(x) est la sécante hyperbolique. Ces deux fonctions sont totalement différentes ! SEC oscille et peut diverger vers l'infini (par exemple à x=π/2), tandis que SECH est toujours entre 0 et 1 et décroît monotonement depuis x=0.
Solution : Vérifie toujours que tu utilises la bonne fonction. Pour les fonctions hyperboliques (modélisation d'ondes, solitons, croissance exponentielle), utilise SECH. Pour les fonctions trigonométriques (oscillations, rotations, phénomènes périodiques), utilise SEC. Si tu obtiens des résultats qui oscillent ou dépassent 1, tu utilises probablement SEC au lieu de SECH.
Oublier de mettre au carré pour les profils de solitons
Dans de nombreuses applications physiques (équation de KdV, NLSE optique, modélisation de tsunamis), c'est SECH² (sech au carré) qui apparaît dans la solution, pas SECH seul. Si tu modélises un soliton et que tu utilises juste =1/COSH(x) au lieu de =PUISSANCE(1/COSH(x);2), ton profil d'amplitude sera complètement incorrect.
Solution : Vérifie toujours l'équation exacte de ton modèle physique. Pour un soliton KdV, la hauteur est η(x) = A×sech²(kx), donc tu dois utiliser =A*PUISSANCE(1/COSH(k*x);2). Pour un soliton optique NLSE, c'est l'intensité I(t) = sech²(t/T₀), donc =PUISSANCE(1/COSH(t/T0);2). Trace toujours ton profil pour vérifier visuellement qu'il a la forme attendue.
Utiliser des degrés au lieu de valeurs sans dimension
Contrairement aux fonctions trigonométriques (COS, SIN) qui acceptent des angles en radians ou degrés, SECH et COSH travaillent avec des nombres sans dimension ou des arguments hyperboliques. Si tu essaies de convertir en degrés avec RADIANS(), tu obtiendras des résultats incorrects.
Solution : Utilise toujours SECH avec des valeurs numériques directes. Par exemple, =1/COSH(2) est correct, mais =1/COSH(RADIANS(2)) n'a pas de sens physique. Les arguments de SECH sont des nombres réels (distance normalisée, temps normalisé, etc.), pas des angles.
SECH vs COSH vs TANH vs SEC
| Critère | SECH | COSH | TANH | SEC |
|---|---|---|---|---|
| Définition | 1/COSH(x) | (eˣ+e⁻ˣ)/2 | SINH/COSH | 1/COS(x) |
| Plage de valeurs | (0, 1] | [1, +∞) | (-1, 1) | (-∞, -1]∪[1, +∞) |
| Valeur en x=0 | 1 (max) | 1 (min) | 0 | 1 |
| Comportement pour x grand | → 0 | → +∞ | → ±1 | Oscille |
| Type de fonction | Hyperbolique | Hyperbolique | Hyperbolique | Trigonométrique |
| Usage principal | Solitons, ondes | Chaînettes, caténaires | Activation neuronale | Optique géométrique |
| Fonction paire/impaire | Paire | Paire | Impaire | Paire |
Utilise SECH pour modéliser des profils localisés en forme de cloche (solitons, impulsions). Utilise COSH pour les chaînettes et les croissances exponentielles symétriques. Réserve TANH pour les activations neuronales et les transitions douces entre deux états. SEC est pour les problèmes d'optique géométrique et de trigonométrie avancée.
Identités mathématiques importantes avec SECH
Voici les relations mathématiques fondamentales que tu dois connaître pour utiliser SECH efficacement dans tes calculs :
Identité fondamentale de Pythagore hyperbolique
1 - TANH²(x) = SECH²(x)C'est l'équivalent hyperbolique de l'identité trigonométrique cos²(x) + sin²(x) = 1. Très utile pour simplifier les dérivées et les intégrales impliquant SECH et TANH.
Dérivée de SECH
d/dx[SECH(x)] = -SECH(x) × TANH(x)La dérivée est nulle en x=0 (point de maximum) et négative pour x>0, positive pour x<0. Cette formule est essentielle pour calculer les points critiques et l'évolution des solitons.
Relation avec l'exponentielle
SECH(x) = 2/(eˣ + e⁻ˣ) = 2×e⁻ˣ/(1 + e⁻²ˣ)Ces formes alternatives sont utiles pour l'analyse asymptotique. Pour |x| grand, SECH(x) ≈ 2×e⁻|ˣ|, ce qui montre la décroissance exponentielle des queues.
Intégrale de SECH²
∫ SECH²(x) dx = TANH(x) + CCette intégrale est remarquablement simple ! Elle est utilisée pour calculer l'énergie totale des solitons. L'intégrale définie de -∞ à +∞ vaut exactement 2 pour un profil normalisé.
Astuce pour Excel : Si tu veux vérifier numériquement l'identité 1 - TANH²(x) = SECH²(x), crée deux colonnes : l'une avec =1-PUISSANCE(TANH(x);2) et l'autre avec =PUISSANCE(1/COSH(x);2). Les deux colonnes doivent donner exactement les mêmes valeurs pour n'importe quel x.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre SECH et COSH ?
SECH est l'inverse de COSH : SECH(x) = 1/COSH(x). Tandis que COSH(x) croît exponentiellement et varie de 1 à l'infini, SECH(x) décroît de 1 (à x=0) vers 0 (quand x tend vers l'infini). SECH est toujours entre 0 et 1.
Pourquoi SECH est-elle importante en physique ?
SECH apparaît dans les solutions de nombreuses équations différentielles non-linéaires, notamment l'équation de Korteweg-de Vries (ondes solitaires) et l'équation de Schrödinger non-linéaire. Le profil sech²(x) décrit parfaitement la forme d'un soliton, une onde qui se propage sans se déformer.
SECH peut-elle être utilisée comme fonction d'activation ?
Oui ! En deep learning, la fonction sech² (dérivée de tanh) ressemble à la fonction d'activation Gaussian Error Linear Unit (GELU). Certains chercheurs utilisent des variantes de SECH pour des réseaux de neurones spécialisés, notamment pour modéliser des phénomènes physiques non-linéaires.
Comment calculer SECH dans Excel ?
Excel 2013+ possède SECH, mais pour garantir la compatibilité avec toutes les versions, utilise =1/COSH(x). Par exemple, SECH(2) = 1/COSH(2) ≈ 0,2658. Si tu utilises Excel 365, tu peux créer une fonction personnalisée avec LAMBDA pour simplifier.
Quelle est la relation entre SECH et la tangente hyperbolique ?
La dérivée de SECH est liée à TANH : d/dx[SECH(x)] = -SECH(x)×TANH(x). De plus, l'identité fondamentale donne : 1 - TANH²(x) = SECH²(x). Cette relation est utilisée en calcul différentiel et en analyse de stabilité.
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