Fonction COSH ExcelGuide Complet 2026 avec Exemples Pratiques
COSH (cosinus hyperbolique) est une fonction mathématique avancée d'Excel qui calcule le cosinus hyperbolique d'un nombre. Si tu es ingénieur, physicien ou mathématicien, tu l'utiliseras pour modéliser des câbles suspendus (chaînettes), analyser des phénomènes de propagation d'ondes, ou résoudre des équations différentielles complexes.
Contrairement au cosinus classique (COS) qui oscille entre -1 et +1, COSH croît exponentiellement et reste toujours supérieure ou égale à 1. Dans ce guide complet, tu vas découvrir comment utiliser COSH efficacement avec des exemples concrets tirés de situations professionnelles réelles.
Syntaxe de la fonction COSH
=COSH(nombre)La fonction COSH calcule le cosinus hyperbolique selon la formule mathématique : COSH(x) = (e^x + e^(-x)) / 2, où e est la constante d'Euler (environ 2,71828).
Le résultat est toujours supérieur ou égal à 1, avec une valeur minimale atteinte en x=0 où COSH(0) = 1.
Comprendre chaque paramètre de la fonction COSH
nombre
(obligatoire)C'est l'angle en radians pour lequel tu veux calculer le cosinus hyperbolique. Ça peut être une valeur directe comme 2, une référence à une cellule comme A1, ou même une formule comme B1/10.
Le nombre peut être positif, négatif ou nul. COSH est une fonction paire, ce qui signifie que COSH(x) = COSH(-x). Par exemple, COSH(2) et COSH(-2) donnent exactement le même résultat : 3,7622.
Astuce : Si tu travailles en degrés plutôt qu'en radians, convertis d'abord avec RADIANS(). Par exemple : =COSH(RADIANS(90)). Cependant, pour les fonctions hyperboliques, on travaille généralement directement en valeurs numériques sans notion d'angle.
Exemples pratiques pas à pas
Exemple 1 – Ingénieur civil : calculer la forme d'un câble suspendu (chaînette)
Tu es ingénieur civil et tu dois calculer la hauteur d'un câble électrique suspendu entre deux pylônes espacés de 100 mètres. La forme naturelle d'un câble suspendu suit une courbe appelée chaînette, décrite par la fonction y = a × COSH(x/a), où a est un paramètre qui dépend de la tension et du poids du câble.
La formule calcule la hauteur du câble à 10m du centre. À x=0, la hauteur minimale est a=20m.
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | Position x (m) | Paramètre a | Hauteur y (m) |
| 2 | 0 | 20 | 20,00 |
| 3 | 10 | 20 | 21,25 |
| 4 | 20 | 20 | 25,05 |
| 5 | 30 | 20 | 32,15 |
| 6 | 40 | 20 | 43,10 |
=20*COSH(10/20)Cette formule est essentielle pour dimensionner les lignes électriques et s'assurer que le câble ne touche jamais le sol, même sous l'effet de la dilatation thermique ou du vent.
Exemple 2 – Physicien : analyser la propagation d'une onde dans un milieu
Tu es physicien et tu étudies la propagation d'ondes dans un câble de transmission. L'amplitude de l'onde suit une loi qui combine sinus et cosinus hyperboliques. Tu dois calculer l'amplitude à différents points pour vérifier que le signal ne dépasse pas un seuil critique de 50 unités.
L'amplitude croît exponentiellement selon COSH(β×z). Au-delà de z=4, elle dépasse le seuil.
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | Distance z | Coefficient β | Amplitude |
| 2 | 0 | 0,5 | 1,00 |
| 3 | 1 | 0,5 | 1,13 |
| 4 | 2 | 0,5 | 2,76 |
| 5 | 3 | 0,5 | 10,07 |
| 6 | 4 | 0,5 | 27,31 |
=COSH(0.5*1)Cette croissance exponentielle explique pourquoi les signaux doivent être amplifiés régulièrement dans les longues lignes de transmission pour compenser l'atténuation.
Exemple 3 – Mathématicien : vérifier l'identité fondamentale COSH² - SINH² = 1
Tu es mathématicien et tu veux démontrer numériquement que l'identité hyperbolique COSH²(x) - SINH²(x) = 1 est vraie pour différentes valeurs de x. C'est l'équivalent hyperbolique de la célèbre identité trigonométrique cos²(x) + sin²(x) = 1.
La différence COSH²(x) - SINH²(x) vaut toujours 1, quelle que soit la valeur de x.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | x | COSH²(x) | SINH²(x) | Différence |
| 2 | 0 | 1,00 | 0,00 | 1,00 |
| 3 | 1 | 2,38 | 1,38 | 1,00 |
| 4 | 2 | 14,15 | 13,15 | 1,00 |
| 5 | 5 | 5506,25 | 5505,25 | 1,00 |
| 6 | -3 | 100,17 | 99,17 | 1,00 |
=COSH(1)^2 - SINH(1)^2Cette identité est fondamentale en mathématiques et prouve que les fonctions hyperboliques sont liées à l'hyperbole de la même manière que les fonctions trigonométriques sont liées au cercle.
Exemple 4 – Architecte : calculer la courbure d'une structure suspendue
Tu es architecte et tu conçois un toit suspendu pour un stade. La structure suit une forme de chaînette inverse pour répartir les contraintes de manière optimale. Tu dois calculer la hauteur de la structure à différents points pour préparer les plans de construction.
La hauteur suit la formule h = H - a×COSH(x/a), où H est la hauteur maximale au centre.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Distance (m) | Flèche a (m) | Hauteur totale (m) | Élévation (m) |
| 2 | 0 | 15 | 30 | 15,00 |
| 3 | 10 | 15 | 30 | 17,23 |
| 4 | 20 | 15 | 30 | 23,78 |
| 5 | 30 | 15 | 30 | 36,23 |
| 6 | 40 | 15 | 30 | 58,65 |
=30 - 15*COSH(10/15)Cette forme de chaînette inverse (retournée) est structurellement très efficace car elle transforme toutes les forces en traction pure, sans moment de flexion. C'est le principe utilisé dans la conception de nombreux ponts et toits suspendus célèbres.
Astuces avancées pour utiliser COSH efficacement
Approximation pour grandes valeurs : Quand x est grand (x > 5), COSH(x) ≈ e^x / 2. Tu peux utiliser =EXP(A1)/2 pour gagner en précision et éviter les dépassements de capacité.
Relation avec les exponentielles : Si tu veux calculer manuellement COSH pour comprendre le résultat, utilise =(EXP(A1)+EXP(-A1))/2. Ça donne exactement le même résultat que COSH(A1).
Tracer une chaînette parfaite : Pour créer un graphique de chaînette dans Excel, génère une série de valeurs x de -5 à 5 avec un pas de 0,5, puis calcule y = COSH(x) pour chaque point. Insère un graphique en nuage de points avec courbe lisse.
Combiner avec SINH pour la tangente : La tangente hyperbolique se calcule avec TANH(x) = SINH(x)/COSH(x). Si tu as déjà calculé COSH et SINH séparément, divise-les au lieu de rappeler TANH pour optimiser tes calculs.
Les erreurs fréquentes et comment les corriger
Erreur #NOMBRE! - Dépassement de capacité
COSH croît exponentiellement. À partir de x ≈ 710, le résultat dépasse 10^308 (limite d'Excel) et tu obtiens #NOMBRE!. C'est l'erreur la plus fréquente avec les fonctions hyperboliques.
Solution : Si tu dois travailler avec de grandes valeurs, utilise l'approximation =EXP(A1)/2 pour x > 5, ou passe en échelle logarithmique avec =LN(COSH(A1)) qui équivaut à =A1 - LN(2) pour les grandes valeurs.
Confusion entre COS et COSH
COS(0) = 1 et COSH(0) = 1, ce qui prête à confusion. Mais COS(1) ≈ 0,54 alors que COSH(1) ≈ 1,54. Ce sont deux fonctions complètement différentes !
Solution : Rappelle-toi que COS oscille entre -1 et +1 (cercle), tandis que COSH est toujours ≥ 1 et croît exponentiellement (hyperbole). Si tu obtiens un résultat supérieur à 1, c'est forcément COSH, pas COS.
Erreur #VALEUR! - Argument non numérique
Si tu passes du texte ou une cellule vide à COSH, Excel renvoie #VALEUR!. Cette erreur survient souvent quand tu copies une formule vers une zone avec des cellules vides.
Solution : Utilise SIERREUR pour gérer les cas problématiques : =SIERREUR(COSH(A1); "") affiche un résultat vide si A1 contient du texte ou est vide.
COSH vs SINH vs TANH vs ACOSH
| Critère | COSH | SINH | TANH | ACOSH |
|---|---|---|---|---|
| Définition | (e^x + e^(-x))/2 | (e^x - e^(-x))/2 | SINH/COSH | Inverse de COSH |
| Valeur en 0 | 1 | 0 | 0 | Erreur (min=1) |
| Plage de sortie | [1; +∞[ | ]-∞; +∞[ | ]-1; +1[ | [0; +∞[ |
| Symétrie | Paire: COSH(-x)=COSH(x) | Impaire: SINH(-x)=-SINH(x) | Impaire: TANH(-x)=-TANH(x) | N/A (définie sur [1;+∞[) |
| Usage typique | Chaînettes, câbles | Ondes, croissance | Réseaux neurones, normalisation | Résolution d'équations |
| Croissance | Exponentielle (e^x/2) | Exponentielle (e^x/2) | Tend vers ±1 | Logarithmique |
COSH et SINH sont liées par l'identité fondamentale COSH²(x) - SINH²(x) = 1. TANH = SINH/COSH est bornée entre -1 et +1, ce qui la rend utile en intelligence artificielle comme fonction d'activation. ACOSH est la réciproque de COSH : ACOSH(COSH(x)) = |x|.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que le cosinus hyperbolique et à quoi ça sert ?
COSH(x) calcule (e^x + e^(-x)) / 2. C'est une fonction mathématique fondamentale utilisée en ingénierie pour modéliser les câbles suspendus (chaînettes), en physique pour les phénomènes de propagation d'ondes, et en mathématiques pour résoudre certaines équations différentielles.
COSH peut-elle renvoyer des valeurs négatives ?
Non, jamais ! COSH(x) est toujours supérieure ou égale à 1, quel que soit x. La valeur minimale est COSH(0) = 1. Cette propriété la différencie du cosinus classique qui oscille entre -1 et +1.
Quelle est la différence entre COSH et COS ?
COS est le cosinus trigonométrique (cercle), qui oscille entre -1 et +1. COSH est le cosinus hyperbolique (hyperbole), qui croît exponentiellement et reste toujours ≥ 1. COS modélise des phénomènes périodiques, COSH modélise la croissance et les formes de chaînettes.
Comment vérifier l'identité COSH²(x) - SINH²(x) = 1 dans Excel ?
Calcule =COSH(A1)^2 - SINH(A1)^2 pour n'importe quelle valeur dans A1. Tu obtiendras toujours 1 (aux erreurs d'arrondi près). C'est l'équivalent hyperbolique de l'identité trigonométrique cos²(x) + sin²(x) = 1.
Pourquoi COSH renvoie #NOMBRE! pour les grandes valeurs ?
COSH croît exponentiellement : COSH(710) ≈ 5,5 × 10^307. Au-delà de 710 environ, le résultat dépasse la capacité maximale d'Excel (10^308). Si tu travailles avec de très grandes valeurs, utilise des échelles logarithmiques ou des approximations.
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