Qu'est-ce que la fonction COSH ?
COSH (cosinus hyperbolique, ou cosh en notation mathématique internationale) te sert dès que ton phénomène ne revient jamais sur lui-même : contrairement à un cosinus qui oscille, tu as besoin d'une courbe qui ne redescend jamais sous 1 et qui accélère à mesure qu'elle s'éloigne du centre.
Contrairement au cosinus classique qui oscille entre -1 et +1, COSH croît exponentiellement et reste toujours supérieure ou égale à 1. C'est cette propriété qui la rend incontournable pour les calculs de génie civil (dimensionner une ligne électrique), de physique des ondes (atténuation sur une longue ligne de transmission), ou encore de mécanique des structures (toits et ponts suspendus).
Comprendre chaque paramètre de la fonction COSH
nombre
: c'est la valeur numérique pour laquelle tu veux calculer le cosinus hyperboliqueÇa peut être une valeur directe comme 2, une référence à une cellule comme A1, ou une formule comme B1/10.
Le nombre peut être positif, négatif ou nul. COSH est une fonction paire, ce qui signifie que COSH(x) = COSH(-x). Par exemple, COSH(2) et COSH(-2) donnent exactement le même résultat : environ 3,762.
Exemples pratiques pas à pas
Comment calculer la hauteur d'un câble suspendu avec la fonction COSH
Le tracé d'une ligne te donne, pour chaque câble, un paramètre de tension et une série de positions relevées depuis son point le plus bas. Un câble suspendu ne tombe pas en parabole mais en chaînette, et tu dois connaître sa hauteur à chaque position pour vérifier qu'il garde sa distance au sol. La fonction COSH est ce qui donne sa forme à la chaînette : elle transforme la position en hauteur, ligne après ligne.
- 1Dans une cellule, écris
=puis clique sur le paramètre de tension,B2, et complète par*COSH(. Ce facteur reste en dehors de la parenthèse. Glissé à l'intérieur, il modifierait l'argument de la fonction COSH au lieu de mettre son résultat à l'échelle. - 2En 1er argument : écris le rapport entre la position relevée et ce même paramètre,
A2/B2. La fonction COSH n'accepte qu'un nombre sans unité, et diviser des mètres par des mètres le lui fournit. Sur la première ligne,10/20vaut0,5. - 3Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée, puis recopie la formule vers le bas. Chaque ligne reprend alors sa propre position et son propre paramètre de tension.
=B2*COSH(A2/B2)a × COSH(x/a) : à 10 m du point bas, avec un paramètre de 20, le câble est remonté à 22,55 m. Comme la fonction COSH ne descend jamais sous 1, la hauteur ne peut jamais passer sous le paramètre a lui-même, qui est donc exactement la hauteur du point le plus bas.
Comment calculer la flèche d'un câble avec la fonction COSH
Avant de valider une portée, tu dois savoir de combien le câble va descendre entre ses deux supports. Cet écart entre le point d'accroche et le point le plus bas s'appelle la flèche, et il se déduit de la portée et du paramètre de tension sans jamais monter sur un pylône. La fonction COSH donne la hauteur aux supports, et il suffit d'en retirer la hauteur du point bas pour obtenir la flèche.
- 1Dans une cellule, écris
=puis clique sur le paramètre de tension,C2, et complète par*COSH(. La flèche part d'une hauteur, donc le calcul démarre exactement comme celui d'un point de la chaînette. - 2En 1er argument : écris la demi-portée rapportée à ce même paramètre,
B2/(2*C2). Chaque support se trouve à une demi-portée du point le plus bas, d'où le2au dénominateur. Avec100m de portée et un paramètre de400, l'argument vaut0,125. - 3Ferme la parenthèse, complète par
-C2, puis appuie sur Entrée. Cette soustraction retire la hauteur du point le plus bas et ne laisse que la descente.
=C2*COSH(B2/(2*C2))-C2a, qui est justement la hauteur de ce point bas. Il ne reste que l'écart entre les deux : 3,13 m de descente sur une portée de 100 m.
Comment éviter l'erreur #DIV/0! avec la fonction COSH
Ton relevé arrive d'un autre service et tous les paramètres de tension ne sont pas renseignés. Là où la case est restée vide, la division par le paramètre casse et l'erreur #DIV/0! remonte sur la ligne, ce qui rend le tableau impossible à présenter en revue. La fonction SIERREUR autour du calcul remplace l'erreur par un message qui dit quoi corriger, et laisse les lignes valides s'afficher normalement.
- 1Dans une cellule, écris
=SIERREUR(. - 2En 1er argument : écris le calcul de hauteur à tenter,
C2*COSH(B2/C2). Il s'écrit comme s'il n'y avait aucune erreur à craindre, et il s'exécute normalement dès que le paramètre de tension est renseigné. - 3En 2ᵉ argument : saisis le message à afficher si ce calcul échoue,
"Paramètre a manquant". Les guillemets sont obligatoires pour qu'Excel affiche le texte tel quel. Ce message nomme la case restée vide, quand#DIV/0!laisse chercher la cause. - 4Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée. Celle de la fonction COSH a déjà été refermée dans l'étape du calcul.
=SIERREUR(C2*COSH(B2/C2); "Paramètre a manquant")B2/C2 qui bute sur un paramètre vide, lu comme un zéro, et renvoie #DIV/0! avant même que la fonction COSH soit appelée. SIERREUR intercepte cette erreur et affiche le message à la place, pendant que les lignes complètes gardent leur hauteur.
Les erreurs fréquentes avec la fonction COSH
Erreur #NOMBRE! pour les grandes valeurs de x
COSH croît exponentiellement. À partir de x ≈ 710, le résultat dépasse 10^308 (limite maximale d'Excel) et la cellule affiche #NOMBRE!. C'est l'erreur la plus fréquente avec les fonctions hyperboliques.
Solution : Utilise l'approximation =EXP(A1)/2 pour x > 5, ou passe en échelle logarithmique avec =LN(COSH(A1)) qui équivaut à =A1 - LN(2) pour les grandes valeurs. Vérifie aussi que tes données d'entrée sont cohérentes avec l'application que tu modélises.
Résultats inattendus par confusion entre COS et COSH
COS(0) = 1 et COSH(0) = 1, ce qui prête à confusion. Mais COS(1) ≈ 0,54 alors que COSH(1) ≈ 1,54. Ce sont deux fonctions complètement différentes : COS oscille entre -1 et +1, COSH est toujours supérieure ou égale à 1.
Solution : Rappelle-toi que si tu obtiens un résultat compris entre -1 et 1, tu as utilisé COS (trigonométrique, cercle). Si le résultat est toujours supérieur ou égal à 1 et croît exponentiellement, c'est bien COSH (hyperbolique, hyperbole).
Erreur #VALEUR! avec un argument non numérique
Si tu passes à COSH un texte qu'Excel ne sait pas convertir en nombre, il renvoie #VALEUR!. Cette erreur survient souvent quand tu copies une formule vers une zone qui contient des libellés. Une cellule vide, en revanche, est lue comme un zéro et renvoie 1.
Solution : Utilise SIERREUR pour gérer les cas problématiques : =SIERREUR(COSH(A1); "") affiche un résultat vide si A1 contient du texte. Ou filtre en amont avec =SI(ESTNUM(A1); COSH(A1); ""), qui écarte aussi les cellules vides.
COSH vs SINH vs TANH vs ACOSH
COSH, SINH et TANH forment la triade des fonctions hyperboliques principales. ACOSH est leur inverse. Chacune a un rôle distinct selon le phénomène à modéliser.
| Critère | COSH | SINH | TANH | ACOSH |
|---|---|---|---|---|
| Définition | (e^x + e^(-x))/2 | (e^x - e^(-x))/2 | SINH/COSH | Inverse de COSH |
| Valeur en x=0 | 1 | 0 | 0 | Erreur (min. x=1) |
| Plage de sortie | [1 ; +infini[ | ]-infini ; +infini[ | ]-1 ; +1[ | [0 ; +infini[ |
| Symétrie | Paire : COSH(-x) = COSH(x) | Impaire : SINH(-x) = -SINH(x) | Impaire : TANH(-x) = -TANH(x) | Non applicable (définie sur [1 ; +infini[) |
| Usage typique | Chaînettes, câbles | Ondes, croissance | Réseaux de neurones, normalisation | Résolution d'équations |
| Croissance | Exponentielle (e^x/2) | Exponentielle (e^x/2) | Tend vers ±1 | Logarithmique |
Astuces avancées avec COSH
Approximation pour les très grandes valeurs
Quand x est grand (x > 5), COSH(x) ≈ e^x / 2. Tu peux utiliser =EXP(A1)/2 pour gagner en précision numérique et éviter les dépassements de capacité qui donnent #NOMBRE!.
Cette approximation est fiable à mieux que 0,01 % dès x = 5.
Vérifier le calcul manuellement avec les exponentielles
Si tu veux comprendre le résultat de COSH ou le recalculer sans la fonction native, utilise =(EXP(A1)+EXP(-A1))/2. Le résultat est identique à =COSH(A1) pour toute valeur d'entrée.
Pratique aussi pour expliquer à un collègue ce que fait la fonction.
Tracer une courbe chaînette dans Excel
Pour visualiser la courbe de COSH, génère une série de valeurs x de -5 à 5 avec un pas de 0,5 dans une colonne, puis calcule =COSH(A2) pour chaque point dans la colonne suivante. Insère ensuite un graphique en nuage de points avec courbe lisse.
Le résultat est la forme naturelle d'un câble suspendu entre deux points de même hauteur.
Questions fréquentes
Le cosinus hyperbolique de x se calcule comme (e^x + e^(-x)) / 2. C'est une fonction mathématique utilisée en ingénierie pour modéliser les câbles suspendus (chaînettes), en physique pour les phénomènes de propagation d'ondes, et en mathématiques pour résoudre certaines équations différentielles.
Non, jamais. Le résultat est toujours supérieur ou égal à 1, quel que soit x. La valeur minimale est atteinte en x = 0 : COSH(0) = 1. Cette propriété la différencie du cosinus classique qui oscille entre -1 et +1.
COS est le cosinus trigonométrique (lié au cercle), qui oscille entre -1 et +1. COSH est le cosinus hyperbolique (lié à l'hyperbole), qui croît exponentiellement et reste toujours supérieur ou égal à 1. COS modélise des phénomènes périodiques comme les ondes sonores. COSH modélise la croissance et les formes de chaînettes.
Calcule =COSH(A1)^2 - SINH(A1)^2 pour n'importe quelle valeur dans A1. Tu obtiendras toujours 1 (aux erreurs d'arrondi près).
C'est l'équivalent hyperbolique de l'identité trigonométrique cos²(x) + sin²(x) = 1.
COSH croît exponentiellement : COSH(710) est de l'ordre de 5,5 × 10^307. Au-delà de 710 environ, le résultat dépasse la capacité maximale d'Excel (10^308).
Si tu travailles avec de très grandes valeurs, utilise des échelles logarithmiques (=LN(COSH(A1))) ou l'approximation =EXP(A1)/2 qui évite le dépassement.
Pour aller plus loin
Continue sur ta lancée après la fonction COSH : la leçon associée, un modèle prêt à l'emploi et le guide pour progresser.
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