Qu'est-ce que la fonction COS ?
Tu sors COS chaque fois qu'un angle doit se traduire en une position ou une force sur l'axe horizontal, sans ressortir un rapporteur ou une calculatrice scientifique. C'est le réflexe dès qu'une rotation, un mouvement périodique ou une structure inclinée entre dans ton tableau.
Concrètement, c'est elle qui calcule la composante horizontale d'une force en mécanique, la portée d'une rampe en architecture, la position d'un pendule en physique, ou les coordonnées d'un personnage en rotation dans un jeu vidéo. Partout où un angle intervient dans un calcul de projection sur l'axe horizontal, COS est là.
Comprendre chaque paramètre de la fonction COS
nombre
: l'angle en radians dont tu veux calculer le cosinusExcel attend exclusivement des radians : si ton angle est en degrés, convertis-le avec RADIANS avant de le passer à COS.
Par exemple, pour calculer le cosinus de 60°, écris =COS(RADIANS(60)) et non =COS(60). Cette dernière formule calculerait le cosinus de 60 radians, ce qui équivaut à environ 3437° et donne -0,95.
Exemples pratiques pas à pas
Comment calculer la composante horizontale d'une force avec la fonction COS
Le bureau d'études te transmet dix-huit pièces avec, pour chacune, l'intensité de la force appliquée et son angle par rapport à l'horizontale. Avant de dimensionner les fixations, il te faut la seule part de cette force qui tire vraiment à l'horizontale, pièce par pièce. La fonction COS transforme l'angle en coefficient de projection, et la colonne entière se remplit d'un coup.
- 1Dans une cellule, écris
=puis clique sur l'intensité de la force appliquée à la pièce,B2, et complète par*COS(. La composante horizontale vaut la force multipliée par le cosinus de son angle, donc le calcul démarre sur ces 500 N. - 2En 1er argument : écris la conversion de l'angle en radians et referme-la,
RADIANS(C2). La fonction COS ne sait interpréter que des radians, alors que la colonne Angle contient des degrés. Lui passerC2tel quel calculerait le cosinus de 30 radians et renverrait un résultat faux sans le moindre message d'erreur, là où la conversion donne 0,5236 radian. - 3Ferme la parenthèse de la fonction COS et appuie sur Entrée. Celle de la fonction RADIANS a déjà été refermée à l'étape précédente. Un double-clic sur la poignée de recopie propage ensuite le calcul aux autres pièces.
=B2*COS(RADIANS(C2))
Comment modéliser une variation saisonnière avec les fonctions COS et PI
Le budget énergie de l'année prochaine doit être bouclé, et tu sais déjà que le chauffage suit un cycle : au plus haut en janvier, au plus bas en juillet, autour d'une moyenne de 850 kWh avec un écart de 400 kWh. Plutôt que de saisir douze valeurs au jugé, tu veux une courbe qui monte et redescend toute seule d'un mois sur l'autre. La fonction COS fait exactement ça, parce qu'elle décrit un cycle qui revient à son point de départ au bout d'un tour complet.
- 1Dans une cellule, écris
=puis clique sur la moyenne de consommation,B2. Complète par+, clique sur l'amplitude,C2, et écris*COS(. La moyenne de 850 kWh est le niveau autour duquel la courbe oscille, et jamais le maximum. L'amplitude de 400 kWh mesure l'écart atteint au pic comme au creux, puisque le cosinus ne sort jamais de l'intervalle [-1 ; 1]. - 2En 1er argument : écris le cycle annuel exprimé en radians,
2*PI()*(A2-1)/12. Le2*PI()vaut un tour complet, soit 6,2832 radians, et le diviser par 12 découpe ce tour en douze mois égaux. Le(A2-1)cale le départ du cycle sur janvier, où le compte tombe à zéro et le cosinus vaut 1. La fonction RADIANS n'a rien à faire ici, puisque cet angle se construit déjà en radians. - 3Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée. La prévision de janvier grimpe à 1 250 kWh, et un double-clic sur la poignée de recopie déroule les mois suivants.
=B2+C2*COS(2*PI()*(A2-1)/12)
Comment calculer la distance entre deux points GPS avec les fonctions COS et ACOS
Un client t'appelle pour savoir ce que lui coûterait une tournée entre deux villes, et tu n'as que des coordonnées GPS sous la main. Le kilométrage routier viendra plus tard, mais tu veux d'abord la distance à vol d'oiseau, celle qui sert de base à toute estimation rapide. La formule de Haversine s'en charge, et la fonction COS y tient le rôle principal : c'est elle qui tient compte du fait que la Terre est ronde, et que deux degrés de longitude ne couvrent pas la même distance à Lille et à Marseille.
- 1Dans une cellule, écris
=ACOS(. - 2En 1er argument : écris le cosinus de l'angle qui sépare les deux villes,
SIN(RADIANS(B2))*SIN(RADIANS(D2))+COS(RADIANS(B2))*COS(RADIANS(D2))*COS(RADIANS(E2-C2)). Le premier produit croise les deux latitudes et pèse l'écart nord-sud. Le second appelle la fonction COS trois fois, deux pour le rayon du parallèle sur lequel se trouve chaque ville, une pour l'écart de longitudeE2-C2. La fonction RADIANS reste obligatoire à chaque appel, parce que les coordonnées du tableau sont en degrés décimaux. - 3Ferme la parenthèse de la fonction ACOS, complète par
*6371, puis appuie sur Entrée. Les parenthèses des fonctions SIN, COS et RADIANS ont déjà été refermées à l'étape précédente. Le nombre 6371 est le rayon moyen de la Terre en kilomètres, et multiplier par lui un angle exprimé en radians donne la longueur de l'arc, soit 391,50 km entre Paris et Lyon.
=ACOS(SIN(RADIANS(B2))*SIN(RADIANS(D2))+COS(RADIANS(B2))*COS(RADIANS(D2))*COS(RADIANS(E2-C2)))*6371
Les erreurs fréquentes avec la fonction COS
Neuf fois sur dix, ton cosinus est faux parce que tu as donné des degrés à une fonction qui ne parle que radians : =COS(60) calcule en réalité le cosinus de 60 radians et te sort -0,95 au lieu du 0,5 attendu. Les deux autres pièges sont plus discrets : prendre COS pour ACOS (qui fait le chemin inverse) ne déclenche aucune alerte, et un résultat qui sort de l'intervalle [-1, 1] trahit toujours une parenthèse mal placée.
Utiliser des degrés au lieu de radians : résultat complètement faux
Si tu écris =COS(60) en pensant calculer le cosinus de 60°, tu obtiens environ -0,95 au lieu de 0,5. Excel interprète 60 comme 60 radians, ce qui équivaut à environ 3437°. C'est l'erreur n°1 avec toutes les fonctions trigonométriques.
Solution : Utilise toujours =COS(RADIANS(60)) quand ton angle est en degrés. Ou convertis manuellement : 60° = 60 × π/180 ≈ 1,047 radians. La présence de RADIANS dans la formule est le signe qu'on travaille avec des degrés.
Confondre COS et ACOS : mauvaise direction du calcul
COS calcule le cosinus d'un angle (entrée : angle en radians, sortie : valeur entre -1 et 1). ACOS fait l'inverse : elle calcule l'angle dont le cosinus vaut une certaine valeur. Les confondre donne des résultats inattendus sans erreur visible.
Solution : Demande-toi ce que tu cherches : si tu pars d'un angle pour trouver une valeur, utilise COS. Si tu pars d'une valeur (entre -1 et 1) pour trouver l'angle correspondant, utilise ACOS.
Résultat supérieur à 1 ou inférieur à -1
Si ton résultat dépasse l'intervalle [-1, 1], c'est que tu as inversé les opérations dans ta formule. Par exemple, tu as peut-être mis le facteur multiplicatif à l'intérieur de COS au lieu de le mettre en dehors.
Solution : Vérifie que tu multiplies bien le résultat de COS par ton facteur et non l'inverse : =Force*COS(RADIANS(angle)) et non =COS(Force*RADIANS(angle)). COS seule ne renvoie jamais de valeur en dehors de [-1, 1].
COS vs SIN vs TAN vs ACOS
Tu pars d'un angle pour le projeter sur l'axe horizontal : c'est COS. Si tu cherches la composante verticale, bascule sur SIN ; pour une pente ou une inclinaison (le rapport des deux), prends TAN, mais attention, elle explose à 90°. ACOS fait le trajet à l'envers : à partir d'une valeur entre -1 et 1, elle te redonne l'angle correspondant.
| Critère | COS | SIN | TAN | ACOS |
|---|---|---|---|---|
| Entrée | Angle (radians) | Angle (radians) | Angle (radians) | Nombre [-1, 1] |
| Sortie | Nombre [-1, 1] | Nombre [-1, 1] | Nombre [-∞, +∞] | Angle [0, π] |
| Utilité principale | Projection axe X | Projection axe Y | Pente / inclinaison | Retrouver un angle |
| Valeur à 0° | 1 | 0 | 0 | - |
| Valeur à 45° | ≈ 0,707 | ≈ 0,707 | = 1 | - |
| Valeur à 90° | 0 | 1 | ∞ (indéfini) | - |
Astuces avancées avec COS
Calculer la distance entre deux points GPS avec la formule de Haversine
La formule de Haversine utilise COS pour calculer la distance orthodromique entre deux coordonnées GPS. Si lat1, lat2, lon1, lon2 sont les latitudes et longitudes en radians, la distance en km est : =ACOS(SIN(lat1)*SIN(lat2)+COS(lat1)*COS(lat2)*COS(lon2-lon1))*6371.
C'est utile en logistique pour estimer les distances à vol d'oiseau entre entrepôts ou points de livraison.
Rotation de coordonnées en 2D
Pour faire tourner un point (x, y) autour de l'origine d'un angle θ en radians, les nouvelles coordonnées sont : x' = x*COS(θ) - y*SIN(θ) et y' = x*SIN(θ) + y*COS(θ). Avec =A1*COS(RADIANS(B1)) - A2*COS(RADIANS(B1)) tu obtiens la nouvelle coordonnée X.
C'est la base de toute transformation géométrique en infographie, robotique et mécanique.
Générer une courbe cosinusoïdale pour un graphique
Pour créer un graphique de signal périodique, place les angles de 0° à 360° par pas de 5° en colonne A, puis =COS(RADIANS(A1)) en colonne B. Insère un graphique en courbe sur la colonne B : tu obtiens immédiatement une onde cosinusoïdale propre.
En ajoutant une amplitude et un décalage, =amplitude*COS(RADIANS(A1)+déphasage), tu modélises n'importe quel signal sinusoïdal.
Questions fréquentes
Excel attend des radians pour COS. Pour un angle en degrés, utilise =COS(RADIANS(angle)). Par exemple, =COS(RADIANS(60)) retourne 0,5. RADIANS convertit automatiquement tes degrés en radians en les multipliant par π/180.
COS calcule le cosinus d'un angle (entrée : angle en radians, sortie : valeur entre -1 et 1). ACOS fait l'inverse : il calcule l'angle dont le cosinus vaut une certaine valeur (entrée : nombre entre -1 et 1, sortie : angle en radians entre 0 et π).
=COS(0) = 1, =COS(RADIANS(30)) ≈ 0,866, =COS(RADIANS(45)) ≈ 0,707, =COS(RADIANS(60)) = 0,5, =COS(RADIANS(90)) = 0, =COS(RADIANS(180)) = -1. Le cosinus oscille toujours entre -1 et 1 et se répète tous les 360°.
Si tu as une force F à un angle θ par rapport à l'horizontale, la composante horizontale est =F*COS(RADIANS(θ)). Par exemple, une force de 100 N à 30° a une composante horizontale de =100*COS(RADIANS(30)) ≈ 86,6 N. La composante verticale utilise SIN à la place.
Ils sont complémentaires : sin²(x) + cos²(x) = 1 pour tout x. Aussi, COS(x) = SIN(π/2 - x) et SIN(x) = COS(π/2 - x). Le cosinus est le sinus décalé de 90° (π/2 radians). Dans un triangle rectangle, COS = côté adjacent / hypoténuse.
Pour aller plus loin
Continue sur ta lancée après la fonction COS : la leçon associée, un modèle prêt à l'emploi et le guide pour progresser.
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