ACOS (arc cosinus, ou cosinus inverse en anglais) est une fonction trigonométrique qui fait l'inverse de COS : tu lui donnes un cosinus, elle te rend l'angle correspondant. Si tu travailles en ingénierie, en géométrie, en physique ou en analyse de données spatiales, tu l'utiliseras régulièrement pour calculer des angles d'inclinaison, mesurer des déviations ou analyser des vecteurs.
Concrètement, c'est elle qui calcule l'angle d'une poutre à partir de ses dimensions, mesure la similarité entre deux séries de données (cosine similarity en machine learning), ou détermine l'inclinaison d'un terrain à partir de distances mesurées au sol.
Syntaxe de la fonction ACOS
=ACOS(nombre)ACOS renvoie toujours des radians, pas des degrés. Utilise =DEGRES(ACOS(nombre)) pour convertir immédiatement le résultat en degrés. Si le nombre fourni est hors de l'intervalle [-1 ; 1], Excel renvoie #NOMBRE!.
Comprendre chaque paramètre de la fonction ACOS
nombre
: la valeur de cosinus dont tu cherches l'angleCe paramètre doit obligatoirement être compris entre -1 et 1, qui sont les limites mathématiques du cosinus. Tu peux passer une valeur directe comme 0.5, une référence de cellule comme A1, ou le résultat d'un calcul comme B1/B2.
Quelques valeurs remarquables : =ACOS(1) renvoie 0 radian (0°), =ACOS(0) renvoie π/2 radians (90°), =ACOS(-1) renvoie π radians (180°), et =ACOS(0.5) renvoie π/3 radians (60°).
Astuce : Pour convertir instantanément le résultat en degrés, enveloppe ACOS dans DEGRES : =DEGRES(ACOS(0.5)) te donnera directement 60° au lieu de 1,047 radians.
Pas envie d'écrire la formule ACOS à la main ?
Génère-la avec notre IA
Exemples pratiques pas à pas
Ingénierie structure : calculer l'angle d'inclinaison d'une poutre
Tu es ingénieur en structure et tu dois calculer l'angle d'inclinaison d'une poutre métallique. Tu connais la projection horizontale (5 mètres) et la longueur réelle de la poutre (8 mètres). Le cosinus de l'angle est donc 5/8 = 0,625.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Projection horizontale | Longueur poutre | Cosinus | Angle (°) |
| 2 | 5 m | 8 m | 0,625 | 51,3° |
=DEGRES(ACOS(5/8))La formule part du cosinus de l'angle (la projection horizontale divisée par la longueur de la poutre, soit 0,625), en tire l'angle avec ACOS, puis le convertit en degrés : 51,3°. Tu obtiens l'inclinaison sans jamais mesurer l'angle directement sur le terrain.
Astuce de pro : En pratique, tu utiliseras souvent ACOS avec le théorème d'Al-Kashi pour calculer les angles dans des triangles non rectangles, très fréquent dans les structures métalliques complexes.
Data Scientist : calculer l'angle entre deux vecteurs de recommandation
Tu es data scientist et tu travailles sur un système de recommandation. Tu as deux vecteurs représentant les préférences de deux utilisateurs et tu veux mesurer leur similarité via l'angle entre ces vecteurs. Un produit scalaire de 48 et des normes de 8 et 10 te donnent un cosinus de 48/(8x10) = 0,6.
| A | B | C | D | E | F | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Produit scalaire | Norme A | Norme B | Cosinus | Angle (°) | Similarité |
| 2 | 48 | 8 | 10 | 0,6 | 53,1° | Moyenne |
=DEGRES(ACOS(48/(8*10)))En machine learning, on préfère souvent utiliser directement le cosinus (cosine similarity), mais l'angle te donne une interprétation géométrique intuitive : 0° = goûts identiques, 90° = goûts indépendants, 180° = goûts opposés.
Astuce de pro : Cette méthode fonctionne aussi pour comparer des documents texte convertis en vecteurs TF-IDF. Un angle proche de 0° indique des documents très similaires dans leur contenu.
Géomètre : mesurer l'angle d'un terrain en pente
Tu es géomètre et tu dois mesurer l'inclinaison d'un terrain pour un projet de construction. Tu as mesuré une distance horizontale de 50 mètres et une distance au sol (en suivant la pente) de 52 mètres. Le cosinus de l'angle est 50/52 ≈ 0,9615.
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Distance horizontale | Distance au sol | Cosinus | Angle pente (°) | Pente (%) |
| 2 | 50 m | 52 m | 0,9615 | 15,9° | 28,5% |
=DEGRES(ACOS(50/52))La formule divise la distance horizontale par la distance au sol (0,9615), récupère l'angle avec ACOS puis l'exprime en degrés : 15,9°. Cet angle te permet de vérifier d'un coup d'œil si la pente respecte les normes de construction (souvent moins de 30° pour une route).
Physicien : calculer l'angle de déviation d'une trajectoire
Tu es physicien et tu analyses la déviation d'un projectile après une collision. Le vecteur vitesse initial est (10, 0) et après collision (7, 7). Tu calcules le produit scalaire (70) divisé par le produit des normes (10 × 9,9 = 99) pour obtenir le cosinus : 70/99 ≈ 0,707.
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | v1·v2 | |v1| | |v2| | cos(θ) | Angle déviation |
| 2 | 70 | 10 | 9,9 | 0,707 | 45° |
=DEGRES(ACOS(70/99))Cette approche vectorielle avec ACOS est fondamentale en physique pour analyser les changements de direction dans les collisions, les réflexions ou les déflexions de particules.
Astuce de pro : Pour des vecteurs 3D, la formule reste identique : calcule le produit scalaire (A1×B1 + A2×B2 + A3×B3), divise par le produit des normes, puis applique ACOS.
Envie de t'entraîner sur de vrais exercices Excel ?
M'entraîner
Les erreurs fréquentes avec la fonction ACOS
Avec ACOS, presque tous les blocages tournent autour d'un nombre qui sort des clous : si ta valeur dépasse 1 ou descend sous -1, tu récoltes #NOMBRE!, parce que le cosinus ne va jamais au-delà. Le deuxième piège est plus sournois : le résultat tombe en radians, donc =ACOS(0) affiche 1,57 et non 90, et tes degrés sont faux sans DEGRES().
Et quand tu calcules un angle entre vecteurs, surveille les normes : un vecteur de longueur nulle te fait diviser par zéro et déclenche #DIV/0!.
Erreur #NOMBRE! : valeur hors de l'intervalle [-1 ; 1]
C'est l'erreur la plus fréquente avec ACOS. Si tu passes une valeur supérieure à 1 ou inférieure à -1, Excel affiche #NOMBRE! car le cosinus ne peut mathématiquement pas dépasser ces limites. Par exemple, =ACOS(1.5) génère une erreur.
Solution : Vérifie toujours tes données avant d'appliquer ACOS. Utilise une condition SI pour gérer les cas limites : =SI(ET(A1>=-1; A1<=1); ACOS(A1); "Valeur invalide"). Pour les calculs vectoriels où des erreurs d'arrondi peuvent donner 1,0000001, utilise : =ACOS(MIN(1; MAX(-1; A1))).
Résultat en radians interprété comme des degrés
ACOS renvoie toujours des radians, pas des degrés. Si tu utilises ce résultat directement sans conversion et que ton tableur attend des degrés, tes calculs seront faux. Par exemple, =ACOS(0) renvoie 1,57 (radians), pas 90.
Solution : Utilise systématiquement DEGRES() pour convertir le résultat : =DEGRES(ACOS(0.5)) te donne 60° au lieu de 1,047 radian. Si tu dois rester en radians pour d'autres calculs, documente clairement tes cellules.
Division par zéro dans les calculs vectoriels
Quand tu calcules l'angle entre vecteurs avec =ACOS(produit_scalaire/(norme_A*norme_B)), si l'un des vecteurs a une norme nulle, tu divises par zéro et obtiens #DIV/0!.
Solution : Vérifie d'abord que les normes ne sont pas nulles : =SI(OU(norme_A=0; norme_B=0); "Vecteur nul"; DEGRES(ACOS(produit/(norme_A*norme_B)))). Un vecteur nul n'a pas d'angle défini.
ACOS vs ASIN vs ATAN vs COS
Le choix dépend de ce que tu connais et de ce que tu cherches. Prends ACOS quand tu as un cosinus (typiquement un angle entre deux vecteurs) et que tu veux un résultat propre entre 0° et 180° ; ASIN fait pareil mais pour les hauteurs et élévations, avec une sortie de -90° à 90°. ATAN est ton réflexe pour les pentes et les ratios, car il avale n'importe quel nombre au lieu de te limiter à l'intervalle [-1 ; 1].
COS, lui, va dans l'autre sens : il part de l'angle pour rendre le cosinus. Et dès que tu dois distinguer un angle au-delà de 180° (navigation, direction), aucune de ces trois ne suffit : passe à ATAN2.
| Critère | ACOS | ASIN | ATAN | COS |
|---|---|---|---|---|
| Fonction inverse de | COS | SIN | TAN | ACOS |
| Plage d'entrée | -1 à 1 | -1 à 1 | Tout nombre | Tout nombre |
| Plage de sortie (radians) | 0 à π | -π/2 à π/2 | -π/2 à π/2 | -1 à 1 |
| Plage de sortie (degrés) | 0° à 180° | -90° à 90° | -90° à 90° | -1 à 1 |
| Usage principal | Angles entre vecteurs | Hauteurs, élévations | Pentes, ratios | Projections |
Astuces avancées avec ACOS
Utilise ATAN2 pour des angles de 0° à 360°
ACOS renvoie toujours un angle entre 0° et 180°. Pour obtenir un angle compris entre 0° et 360° (ce qui est nécessaire en navigation ou en analyse de direction), utilise =DEGRES(ATAN2(y; x)) qui gère automatiquement les quatre quadrants du cercle trigonométrique.
ATAN2 est le choix préféré dès que tu dois distinguer un angle au nord-est d'un angle au sud-ouest.
Protège tes formules vectorielles avec MIN et MAX
Dans les calculs de similarité cosinus, les erreurs d'arrondi d'Excel peuvent produire des valeurs comme 1,0000000000002 qui font planter ACOS avec #NOMBRE!. Protège systématiquement tes formules : =ACOS(MIN(1; MAX(-1; produit_scalaire/produit_normes))).
Cette habitude évite des erreurs silencieuses dans tes modèles de machine learning ou tes analyses vectorielles.
Questions fréquentes sur la fonction ACOS
Quelle est la différence entre ACOS et COS ?
COS prend un angle et renvoie son cosinus. ACOS fait l'inverse : elle prend un cosinus (nombre entre -1 et 1) et renvoie l'angle correspondant. Si =COS(RADIANS(60)) donne 0,5, alors =DEGRES(ACOS(0,5)) donne 60°.
Pourquoi ACOS renvoie-t-elle des valeurs en radians ?
Excel utilise les radians par défaut pour toutes les fonctions trigonométriques. C'est l'unité standard en mathématiques et en programmation. Pour convertir en degrés, utilise DEGRES() ou multiplie par 180/PI().
Comment éviter l'erreur #NOMBRE! avec ACOS ?
ACOS accepte uniquement des valeurs entre -1 et 1 (plage du cosinus). Si tu passes 1,5 ou -2, tu obtiens #NOMBRE!. Vérifie toujours que tes données sont dans cette plage avant d'appliquer ACOS. Pour les calculs vectoriels, utilise =ACOS(MIN(1; MAX(-1; A1))) comme filet de sécurité.
ACOS peut-elle calculer l'angle entre deux vecteurs ?
Oui. Utilise la formule : =ACOS(produit_scalaire / (norme_A * norme_B)). Le produit scalaire divisé par le produit des normes donne le cosinus de l'angle. ACOS te renvoie ensuite l'angle en radians. Enveloppe dans DEGRES() pour avoir le résultat en degrés.
Quelle est la plage de sortie d'ACOS ?
ACOS renvoie toujours un angle entre 0 et π radians (soit 0° à 180°). C'est la plage principale de l'arc cosinus. Pour -1, tu obtiens π (180°). Pour 1, tu obtiens 0. Pour 0, tu obtiens π/2 (90°).
Pour aller plus loin
Bloqué sur une formule Excel ?
Pose ta question à notre assistant Excel IA, il te sort la bonne formule en quelques secondes.
Essayer l'assistant IAGratuit · 10 questions par mois