Fonction COMPLEXE.PUISSANCE ExcelGuide Complet 2026
La fonction COMPLEXE.PUISSANCE te permet d'élever un nombre complexe à n'importe quelle puissance (entière, fractionnaire ou décimale). Que tu sois ingénieur électricien analysant des impédances, physicien quantique manipulant des fonctions d'onde, ou data scientist explorant des transformations mathématiques, cette fonction te donne accès à des calculs puissants qui vont bien au-delà des exponentielles réelles.
Syntaxe de la fonction COMPLEXE.PUISSANCE
La syntaxe de COMPLEXE.PUISSANCE est simple : tu lui donnes un nombre complexe et une puissance, et elle te retourne le résultat de l'élévation à cette puissance. La formule mathématique est z^n où z est le nombre complexe et n la puissance.
=COMPLEXE.PUISSANCE(nombre_complexe; puissance)Comprendre chaque paramètre de COMPLEXE.PUISSANCE
nombre_complexe
(obligatoire)Le nombre complexe que tu veux élever à une puissance. Il doit être fourni sous forme de texte au format "a+bi" ou "a+bj" (par exemple "3+4i" ou "5-2j"). Tu peux aussi utiliser une cellule contenant un nombre complexe créé avec la fonction COMPLEXE, ou le résultat d'une autre fonction de nombre complexe.
Astuce : Si ton nombre complexe contient des décimales, assure-toi d'utiliser le bon séparateur décimal (virgule en français, point en anglais). Par exemple : "3,5+4,2i" en format français.
puissance
(obligatoire)La puissance à laquelle tu veux élever le nombre complexe. Ce paramètre doit être un nombre réel (pas complexe). Il peut être un entier positif (2, 3, 4...), négatif (-1, -2...), nul (0), ou fractionnaire (0,5 pour une racine carrée, 1/3 pour une racine cubique...).
Astuce : Pour calculer la racine n-ième d'un nombre complexe, utilise puissance = 1/n. Par exemple, la racine cubique de z s'obtient avec COMPLEXE.PUISSANCE(z;1/3).
Attention : Le paramètre puissance doit être un nombre réel. Tu ne peux pas utiliser un nombre complexe comme puissance. Si tu as besoin de calculer z^w avec w complexe, il faut utiliser la formule z^w = e^(w×ln(z)) avec les fonctions IMEXP, IMLN et IMPRODUCT.
Comprendre l'élévation à une puissance complexe
Élever un nombre complexe z = a+bi à une puissance n utilise la forme polaire. Si z a un module r et un argument θ, alors z^n a pour module r^n et pour argument n×θ. Voici les propriétés essentielles :
Puissances entières positives
z^n multiplie l'argument par n et élève le module à la puissance n
Racines (puissances fractionnaires)
z^(1/n) divise l'argument par n et prend la racine n-ième du module
Puissances négatives
z^(-n) = 1 / z^n donne l'inverse du nombre élevé à la puissance n
Puissance nulle
z^0 = 1 pour tout nombre complexe z non nul
Formule mathématique
Pour z = r × e^(iθ) (forme polaire), on a : z^n = r^n × e^(inθ)
En coordonnées rectangulaires, si z = a+bi, alors r = √(a²+b²) et θ = arctan(b/a). Excel effectue automatiquement ces conversions pour toi.
Exemples pratiques pas à pas
Exemple 1 – Ingénieur électricien : calcul d'impédances en série
Tu es ingénieur électricien et tu analyses un circuit avec des impédances complexes. Pour calculer la chute de tension au carré (utile pour les calculs de puissance), tu dois élever une impédance à la puissance 2.
Pour Z = 3+4j ohms, Z² = -7+24j ohms². Utile pour calculer la puissance dissipée dans des circuits AC complexes.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Impédance Z | Formule | Z² | Interprétation |
| 2 | 3+4j | =COMPLEXE.PUISSANCE("3+4j";2) | -7+24j | Impédance au carré |
| 3 | 5+0j | =COMPLEXE.PUISSANCE("5+0j";2) | 25 | Résistance pure |
| 4 | 0+2j | =COMPLEXE.PUISSANCE("0+2j";2) | -4 | Réactance pure |
| 5 | 1+1j | =COMPLEXE.PUISSANCE("1+1j";2) | 0+2j | Impédance équilibrée |
=COMPLEXE.PUISSANCE("3+4j";2)Le résultat -7+24j montre que le carré d'une impédance complexe peut avoir une partie réelle négative. Dans les calculs de puissance P = I²×Z, cette élévation au carré est essentielle pour déterminer les pertes et le facteur de puissance.
Exemple 2 – Physicien quantique : évolution temporelle d'états
Tu es physicien quantique et tu calcules l'évolution d'une fonction d'onde. L'opérateur d'évolution temporelle implique des exponentielles complexes qui peuvent être exprimées comme des puissances de nombres complexes.
i³ = -i. Les puissances de i sont cycliques : i¹=i, i²=-1, i³=-i, i⁴=1. Fondamental en mécanique quantique.
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Amplitude ψ | Phase n | Formule | ψⁿ | Module |
| 2 | 1+0i | 2 | =COMPLEXE.PUISSANCE("1+0i";2) | 1+0i | 1 |
| 3 | 0+1i | 3 | =COMPLEXE.PUISSANCE("0+1i";3) | 0-1i | 1 |
| 4 | 0,707+0,707i | 4 | =COMPLEXE.PUISSANCE("0,707+0,707i";4) | -1+0i | 1 |
| 5 | 3+4i | 0,5 | =COMPLEXE.PUISSANCE("3+4i";0,5) | 2+1i | 2,236 |
=COMPLEXE.PUISSANCE("0+1i";3)En mécanique quantique, les états |ψ⟩ évoluent selon e^(-iEt/ℏ). Les puissances de nombres complexes sont essentielles pour calculer les probabilités de transition et les coefficients d'expansion dans différentes bases. Note que pour un état normalisé, |ψ|² = 1 quelle que soit la puissance appliquée à la phase.
Exemple 3 – Data scientist : transformations fractales et itérations
Tu es data scientist et tu explores des transformations complexes pour générer des fractales ou analyser des séries temporelles avec des exposants non entiers (comportements fractionnaires).
√(-1) = i. La racine carrée principale de -1 est le nombre imaginaire i, base de l'analyse complexe.
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Point z | Exposant | Formule | Résultat | Application |
| 2 | -1+0i | 0,5 | =COMPLEXE.PUISSANCE("-1+0i";0,5) | 0+1i | Racine carrée de -1 |
| 3 | 2+2i | 1,5 | =COMPLEXE.PUISSANCE("2+2i";1,5) | 0+5,66i | Exposant fractionnaire |
| 4 | 1+1i | -1 | =COMPLEXE.PUISSANCE("1+1i";-1) | 0,5-0,5i | Inverse |
| 5 | 3+4i | 0,333 | =COMPLEXE.PUISSANCE("3+4i";0,333) | 1,63+0,52i | Racine cubique |
=COMPLEXE.PUISSANCE("-1+0i";0,5)Les transformations z → z^α avec α non entier sont utilisées dans l'analyse fractale (ensemble de Mandelbrot), le traitement de signaux avec mémoire longue (exposant de Hurst), et les modèles de diffusion anormale. Par exemple, un exposant α = 1,5 indique une superdiffusion, tandis que α = 0,5 correspond à une sous-diffusion.
Cas d'usage avancés
Racines multiples d'un nombre complexe
Un nombre complexe z a exactement n racines n-ièmes distinctes. Excel retourne toujours la racine principale (celle avec le plus petit argument positif), mais tu peux calculer les autres en ajoutant des multiples de 2π/n à l'argument.
La racine cubique de 8 est 2. Les deux autres racines (1-√3i et -1+√3i) nécessitent un calcul manuel.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Nombre | Racine | Formule | Résultat principal |
| 2 | 8+0i | Cubique (1/3) | =COMPLEXE.PUISSANCE("8+0i";1/3) | 2+0i |
| 3 | 0+8i | Cubique (1/3) | =COMPLEXE.PUISSANCE("0+8i";1/3) | 1,73+1i |
| 4 | -1+0i | Carrée (1/2) | =COMPLEXE.PUISSANCE("-1+0i";0,5) | 0+1i |
=COMPLEXE.PUISSANCE("8+0i";1/3)Pour obtenir les n racines de z, calcule z^(1/n) × e^(2πik/n) pour k = 0, 1, 2, ..., n-1.
Analyse de stabilité en contrôle automatique
En théorie du contrôle, la stabilité d'un système dépend des pôles de sa fonction de transfert. Les puissances de nombres complexes apparaissent dans les réponses temporelles.
Pour un pôle de module < 1, λⁿ → 0 quand n → ∞, indiquant un système stable.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Pôle λ | Temps n | e^(λn) | Stabilité |
| 2 | -0,5+0,866i | 1 | =COMPLEXE.PUISSANCE("-0,5+0,866i";1) | Stable (|λ|<1) |
| 3 | -0,5+0,866i | 5 | =COMPLEXE.PUISSANCE("-0,5+0,866i";5) | Décroissance |
| 4 | 1,1+0i | 5 | =COMPLEXE.PUISSANCE("1,1+0i";5) | Instable (|λ|>1) |
=COMPLEXE.PUISSANCE("-0,5+0,866i";5)Formule d'Euler et identités trigonométriques
Les puissances de e^(iθ) génèrent des identités trigonométriques via la formule d'Euler : e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ).
(e^(iπ/4))² = e^(iπ/2) = i. Démonstration numérique de la formule d'Euler.
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Angle θ | e^(iθ) | Puissance n | e^(inθ) | Vérification |
| 2 | π/4 | 0,707+0,707i | 2 | =COMPLEXE.PUISSANCE("0,707+0,707i";2) | 0+1i ≈ e^(iπ/2) |
| 3 | π/3 | 0,5+0,866i | 3 | =COMPLEXE.PUISSANCE("0,5+0,866i";3) | -1+0i ≈ e^(iπ) |
=COMPLEXE.PUISSANCE("0,707+0,707i";2)Application : Cette propriété est utilisée pour dériver des formules trigonométriques (cos(nθ), sin(nθ)) et analyser des signaux périodiques en traitement du signal.
Les erreurs fréquentes et comment les éviter
Oublier les guillemets autour du nombre complexe
Le nombre complexe doit être fourni sous forme de texte (entre guillemets), sauf s'il provient d'une cellule ou d'une fonction retournant un nombre complexe.
Utiliser un nombre complexe comme puissance
La puissance doit être un nombre réel. Tu ne peux pas utiliser un nombre complexe comme exposant avec COMPLEXE.PUISSANCE.
Solution : Pour z^w avec w complexe, utilise la formule z^w = e^(w×ln(z)) avec les fonctions IMEXP, IMLN et IMPRODUCT.
Confusion entre suffixes i et j
Si ton nombre complexe utilise le suffixe "j", assure-toi que toutes tes fonctions utilisent le même suffixe pour la cohérence.
Ne pas comprendre le résultat des racines multiples
Excel retourne toujours la racine principale. Si tu cherches toutes les racines n-ièmes, tu dois les calculer manuellement en ajoutant des phases.
Puissance de zéro
0^n = 0 pour tout n supérieur à 0, mais 0^0 est indéfini mathématiquement. Excel retourne 1 pour 0^0 par convention (comme pour les nombres réels).
Cas d'usage de COMPLEXE.PUISSANCE en pratique
La fonction COMPLEXE.PUISSANCE n'est pas qu'un outil théorique. Elle a des applications concrètes dans plusieurs domaines techniques et scientifiques :
Analyse de circuits AC en électricité
Calcul d'impédances élevées au carré pour déterminer les pertes de puissance P = I²Z, analyse d'harmoniques (Z^n pour la n-ième harmonique), et étude des résonances.
Traitement du signal et FFT
Élévation de coefficients de Fourier à des puissances pour l'analyse spectrale, filtrage non-linéaire, et démodulation de signaux. Les racines carrées sont utilisées pour normaliser des spectres de puissance.
Mécanique quantique et physique
Évolution temporelle de fonctions d'onde (e^(-iEt/ℏ) implique des puissances), calcul d'amplitudes de transition, et analyse de coefficients dans les bases d'états propres.
Génération de fractales
L'ensemble de Mandelbrot utilise l'itération z → z² + c. Les puissances fractionnaires génèrent des variantes (Multibrot, Julia sets). Analyse de dimensions fractales.
Théorie du contrôle et stabilité
Analyse de la stabilité de systèmes discrets via les puissances de pôles (λ^n). Si |λ| est inférieur à 1, alors λ^n → 0, indiquant un système stable. Calcul de réponses impulsionnelles.
Modèles de diffusion anormale
En physique statistique, les exposants fractionnaires α ≠ 1 modélisent des diffusions non-browniennes : superdiffusion (α supérieur à 1) ou sous-diffusion (α inférieur à 1). Analyse de séries temporelles avec mémoire longue.
Questions fréquentes
COMPLEXE.PUISSANCE peut-elle gérer des puissances fractionnaires ?
Oui ! Tu peux utiliser des puissances fractionnaires comme 0,5 (racine carrée), 1/3 (racine cubique) ou même des puissances décimales. Par exemple, COMPLEXE.PUISSANCE('3+4i';0,5) calcule la racine carrée principale de 3+4i.
Quelle est la différence entre COMPLEXE.PUISSANCE et IMRACINE ?
IMRACINE calcule uniquement la racine carrée (puissance 1/2) d'un nombre complexe, tandis que COMPLEXE.PUISSANCE te permet d'élever un nombre complexe à n'importe quelle puissance. IMRACINE('3+4i') équivaut à COMPLEXE.PUISSANCE('3+4i';0,5).
Comment Excel gère-t-il les puissances négatives de nombres complexes ?
Excel gère parfaitement les puissances négatives. COMPLEXE.PUISSANCE(z;-n) calcule 1/z^n. Par exemple, COMPLEXE.PUISSANCE('2+3i';-1) donne l'inverse de 2+3i, soit environ 0,154-0,231i.
Peut-on élever un nombre complexe à une puissance complexe ?
Non, COMPLEXE.PUISSANCE n'accepte que des puissances réelles (pas complexes). Le paramètre puissance doit être un nombre réel. Pour z^w avec w complexe, il faudrait utiliser la formule z^w = e^(w×ln(z)) avec IMEXP, IMLN et IMPRODUCT.
Pourquoi obtiens-je des résultats différents pour des racines multiples ?
Les nombres complexes ont plusieurs racines n-ièmes. Excel retourne toujours la racine principale (celle avec l'argument le plus petit en valeur absolue). Pour z = -1, COMPLEXE.PUISSANCE('-1';0,5) retourne i (et non -i qui est également une racine carrée de -1).
Les fonctions similaires à COMPLEXE.PUISSANCE
COMPLEXE
Crée un nombre complexe à partir de parties réelle et imaginaire
IMRACINE
Calcule la racine carrée d'un nombre complexe
IMEXP
Calcule l'exponentielle d'un nombre complexe
IMLN
Calcule le logarithme népérien d'un nombre complexe
IMPRODUCT
Multiplie des nombres complexes
IMABS
Calcule le module (valeur absolue) d'un nombre complexe
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