Qu'est-ce que la fonction LOI.
Tu dois calculer des probabilités d'échantillonnage quand tu ne remets pas les éléments tirés ? La fonction LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N est faite pour ça. Contrairement à la loi binomiale, elle tient compte du fait que retirer un élément modifie la composition de la population pour les tirages suivants.
Cette fonction est fondamentale en contrôle qualité pour évaluer les plans d'échantillonnage. Quand tu inspectes un échantillon d'un lot, tu ne remets pas les pièces. LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N te donne la probabilité exacte de trouver un certain nombre de défauts dans ton échantillon, et tu peux ainsi dimensionner tes audits avec précision.
Syntaxe
=LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N(nb_succes; taille_echantillon; nb_succes_pop; taille_pop; cumulative)Clique sur un argument pour aller à son explication.
Comprendre chaque paramètre de la fonction LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N
Les cinq arguments se lisent « du petit vers le grand » et tous sont obligatoires : d'abord les succès observés dans ton échantillon, puis la taille de l'échantillon, ensuite les succès présents dans la population, et la taille totale de la population. Vérifie toujours que ce dernier nombre est le plus grand des quatre, sinon tu inverses tout.
Le cinquième, cumulative, change la nature du résultat : FAUX te donne la probabilité d'un nombre exact de succès, VRAI celle d'en obtenir « au plus » autant.
nb_succes
: le nombre de succès observés dans l'échantillonPar exemple, le nombre de pièces défectueuses trouvées lors de l'inspection. Cette valeur doit être comprise entre 0 et le minimum de (taille_echantillon, nb_succes_pop).
Attention : Si nb_succes dépasse taille_echantillon ou nb_succes_pop, Excel renvoie l'erreur #NOMBRE!. Le terme « succès » peut représenter un événement indésirable (un défaut) selon le contexte : c'est simplement l'événement dont tu mesures la probabilité.
taille_echantillon
: le nombre d'éléments prélevés de la populationDoit être inférieur ou égal à taille_pop. Par exemple, le nombre de pièces inspectées dans un lot de production.
nb_succes_pop
: le nombre total de succès dans la population entièrePar exemple, le nombre total de pièces défectueuses dans le lot à contrôler.
taille_pop
: la taille totale de la populationPar exemple, le nombre total de pièces dans le lot de production.
cumulative
: `VRAI` pour la fonction de distribution cumulée P(X <= nb_succes), `FAUX` pour la fonction de masse P(X = nb_succes) exactement. `FAUX` donne la probabilité exacte d'observer ce nombre de succèsVRAI est utile pour les règles de décision du type « accepter le lot si au plus 2 défauts sont trouvés ». Pour calculer P(X >= k), utilise 1 - LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N(k-1; ...; VRAI).
Exemples pratiques pas à pas
Comment calculer la probabilité cumulée de défauts avec la fonction LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N
Tu contrôles un lot de 200 composants qui en contient 6 défectueux, en n'en prélevant que 20. Ta règle de décision est d'accepter le lot tant que le prélèvement ne révèle pas plus de 2 défauts, et tu veux savoir à quelle fréquence cette règle laissera passer un lot pareil. La fonction LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N cumule les cas favorables d'un seul coup, sans que tu aies à les additionner.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N(. - 2En 1er argument : clique sur la cellule qui porte le nombre de défauts à tester,
B2. Elle vaut 2 pour le lot LOI-01. Comme le cumul est activé au dernier argument, ce chiffre devient un plafond plutôt qu'une cible, et tu demandes en réalité « 2 défauts ou moins ». - 3En 2ᵉ argument : saisis le nombre de pièces que tu prélèves,
20. Cette valeur est écrite en dur dans la formule et reste la même sur toutes les lignes, car chaque lot du tableau est contrôlé avec un échantillon identique. - 4En 3ᵉ argument : saisis le nombre de défauts que compte le lot entier,
6. La fonction s'appuie sur ce total pour connaître la proportion de pièces défectueuses avant le moindre prélèvement. - 5En 4ᵉ argument : saisis la taille totale du lot,
200. C'est parce qu'elle connaît cette population finie que la fonction diminue les chances au fil des tirages, sans jamais remettre les pièces déjà sorties. - 6En 5ᵉ argument : saisis la valeur qui active le cumul,
VRAI. Tu ne demandes plus « exactement 2 défauts » mais « au plus 2 défauts », c'est-à-dire les cas 0, 1 et 2 empilés. - 7Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée, puis recopie la formule vers le bas. La cellule
B2devientB3puisB4, si bien que chaque ligne teste son propre nombre de défauts.
=LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N(B2; 20; 6; 200; VRAI)98,6 % de la première ligne. Une colonne cumulée ne redescend jamais, et ça se lit tout de suite : 52,7 % pour aucun défaut, 88,8 % pour au plus un, puis 100 % dès quatre.
Comment passer du cumul à la probabilité exacte avec la fonction LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N
Ton fournisseur lit le rapport de contrôle et comprend que 98,6 % des prélèvements ramèneront 2 défauts, ce qui l'inquiète beaucoup. C'est un contresens classique, et le seul moyen de le lever est de lui montrer le vrai chiffre pour « exactement 2 ». La fonction LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N donne les deux réponses sur les mêmes données, selon la valeur de son dernier argument.
- 1Dans une cellule, écris
=LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N(. - 2En 1er argument : saisis le nombre de défauts que tu testes,
2. C'est volontairement le même que dans l'exemple précédent, pour que les deux résultats ne diffèrent que par le dernier argument. - 3En 2ᵉ argument : clique sur la cellule des pièces prélevées,
B3. Elle vaut 20, et c'est bien la taille de l'échantillon qui vient en deuxième position, avant le nombre de défauts du lot. - 4En 3ᵉ argument : clique sur la cellule des défauts du lot,
B2. Elle vaut 6 et se trouve au-dessus de la précédente dans le tableau. L'ordre des arguments ne suit pas celui des lignes, c'est à toi de le tenir. - 5En 4ᵉ argument : clique sur la cellule de la taille du lot,
B4. Ses 200 pièces forment la population finie sur laquelle porte tout le calcul. - 6En 5ᵉ argument : saisis la valeur qui coupe le cumul,
FAUX. La fonction rend alors la probabilité du seul cas « 2 défauts » au lieu d'empiler les cas 0, 1 et 2. - 7Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
=LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N(2; B3; B2; B4; FAUX)VRAI répondait 98,6 % (au plus 2 défauts) là où FAUX répond 9,8 % (exactement 2). L'écart n'a rien d'une nuance, puisque le cumul ajoute les cas 0 et 1, qui pèsent à eux seuls près de 89 %.
Comment calculer la probabilité d'au moins 3 défauts avec la fonction LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N
Il faut maintenant défendre la règle d'acceptation devant le service qualité, qui veut connaître non pas les cas où le lot passe, mais ceux où il est refusé. Un refus se déclenche dès 3 défauts trouvés, et aucun argument de la fonction ne répond directement à « au moins ». La fonction LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N donne le cumul inverse, qu'il suffit de retrancher de 1.
- 1Dans une cellule, écris
=1-LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N(. - 2En 1er argument : clique sur la cellule du critère d'acceptation,
B5. Elle vaut 2, et c'est bien jusqu'à 2 qu'il faut cumuler. Pour « au moins 3 défauts », on cumule jusqu'à 2 et jamais jusqu'à 3, attention à ce décalage d'un rang. - 3En 2ᵉ argument : clique sur la cellule des pièces prélevées,
B3. Elle vaut 20, comme dans les deux exemples précédents. - 4En 3ᵉ argument : clique sur la cellule des défauts du lot,
B2. Elle vaut 6, soit les pièces défectueuses présentes dans la population avant le prélèvement. - 5En 4ᵉ argument : clique sur la cellule de la taille du lot,
B4. Ses 200 pièces bornent la population finie du calcul. - 6En 5ᵉ argument : saisis la valeur qui garde le cumul,
VRAI. Le complément à 1 ne fonctionne que sur une probabilité cumulée et jamais sur une probabilité exacte, donc ce dernier argument doit rester àVRAI. - 7Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée. Le
1-écrit au départ retourne la question et transforme le cumul « au plus 2 défauts » en son complément « au moins 3 », c'est-à-dire la probabilité que le contrôle refuse le lot.
=1-LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N(B5; B3; B2; B4; VRAI)1,4 % obtenu est la probabilité que ton contrôle refuse ce lot, ce qui revient à dire qu'un lot à 3 % de défauts franchit ta règle dans 98,6 % des cas.
Les erreurs fréquentes avec la fonction LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N
Le plus gros risque ici est mathématique : si tu demandes plus de succès que ce que ton échantillon ou ta population peut contenir, Excel renvoie #NOMBRE! car le calcul est impossible. C'est le signe que nb_succes dépasse taille_echantillon ou nb_succes_pop.
L'autre piège est silencieux : intervertir les deux nombres de la population et de l'échantillon ne déclenche aucune erreur, mais te sort une probabilité fausse qui paraît tout à fait crédible.
Erreur #NOMBRE! avec des paramètres incohérents
Cette erreur survient quand les paramètres sont mathématiquement impossibles : nb_succes > taille_echantillon, taille_echantillon > taille_pop, ou nb_succes > nb_succes_pop.
Solution : Vérifie les contraintes : nb_succes <= min(taille_echantillon, nb_succes_pop) et taille_echantillon <= taille_pop. En pratique, tu ne peux pas trouver plus de défauts que tu n'en as inspecté ni plus que la population n'en contient.
Confusion dans l'ordre des paramètres
L'ordre des quatre paramètres est une source d'erreur fréquente. Inverser nb_succes_pop et taille_pop (ou nb_succes et taille_echantillon) donne un résultat plausible mais faux.
Solution : Retiens l'ordre « du petit vers le grand » : (succès dans l'échantillon ; taille de l'échantillon ; succès dans la population ; taille de la population). Vérifie toujours que le dernier argument est le plus grand des quatre.
Utiliser la loi hypergeométrique quand la loi binomiale suffit
Pour les très grandes populations, l'hypergeométrique et la binomiale donnent des résultats quasi identiques mais l'hypergeométrique est plus complexe à paramétrer.
Solution : Applique la règle des 10% : si ton échantillon représente moins de 10% de la population, la loi binomiale est une bonne approximation et suffit pour la plupart des calculs. Utilise l'hypergeométrique pour les petites populations ou les grands échantillons relatifs.
Questions fréquentes
La différence fondamentale est le mode de tirage. La loi binomiale suppose un tirage avec remise : la probabilité reste constante à chaque tirage. La loi hypergéométrique modélise le tirage sans remise : après chaque tirage, la composition de la population change. Si ton échantillon représente moins de 10% de la population, la loi binomiale est une bonne approximation. Au-delà de ce seuil, utilise impérativement la loi hypergéométrique pour avoir des résultats justes.
taille_pop = taille totale du lot ; nb_succes_pop = nombre de pièces défectueuses dans le lot ; taille_echantillon = nombre de pièces inspectées ; nb_succes = nombre de défauts trouvés dans l'échantillon.
Le terme « succès » peut représenter un défaut selon le contexte : il désigne simplement l'événement dont on mesure la fréquence. Cette terminologie héritée des mathématiques peut sembler contre-intuitive au premier abord.
FAUX donne P(X = k), la probabilité exacte d'observer exactement k succès. VRAI donne P(X <= k), la probabilité d'observer au plus k succès, utile pour les règles de décision du type « accepter le lot si au plus 2 défauts ».
Pour P(X >= k), calcule 1 - LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N(k-1; ...; VRAI). C'est la soustraction classique en probabilités.
Fixe ton critère d'acceptation (par exemple, trouver au moins 1 défaut) et cherche la taille d'échantillon qui atteint le niveau de confiance souhaité (typiquement 95%).
Teste différentes tailles : calcule P(X >= 1) = 1 - LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N(0; n; défauts; population; FAUX) et ajuste n jusqu'à atteindre ton seuil. C'est la base des plans d'acceptation-rejet ISO 2859.
Pour le poker, la probabilité de recevoir exactement 2 as en 5 cartes depuis un jeu de 52 est =LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N(2;5;4;52;FAUX) = environ 3.99%. La loi hypergéométrique modélise exactement ce processus de sélection sans remise.
La formule se lit : « parmi les 52 cartes (taille_pop), il y en a 4 qui sont des as (nb_succes_pop) ; dans ma main de 5 cartes (taille_echantillon), quelle est la probabilité d'en avoir exactement 2 (nb_succes) ? »
Pour aller plus loin
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