Comment calculer la probabilité de gagner à l’EuroMillions sur Excel

Combien de combinaisons possibles y a-t-il à l’EuroMillions

Il y a exactement 139 838 160 grilles différentes à l’EuroMillions, et ce nombre se retrouve en deux comptages qu’on multiplie ensuite l’un par l’autre. Une grille demande en effet cinq numéros cochés parmi cinquante et deux étoiles parmi douze. Ces deux choix sont indépendants, si bien que chaque tirage de numéros peut s’accompagner de n’importe quelle paire d’étoiles.

L’ordre dans lequel tu coches n’entre jamais en compte, puisqu’une grille reste la même que tu écrives 7 avant 12 ou l’inverse. C’est exactement ce que compte la fonction COMBIN, et c’est aussi pourquoi PERMUTATION, qui tient compte de l’ordre, donnerait ici un nombre bien plus grand et faux.

Compter les tirages de cinq numéros parmi cinquante

Le premier comptage ne regarde que les boules numérotées, en oubliant les étoiles. Sur l’onglet Grille du classeur d’exemple, les cases jaunes B2 à B5 décrivent le jeu. La première porte les cinquante numéros au tirage et la deuxième les cinq à cocher, les deux suivantes faisant de même pour les étoiles.

Le grand nombre se saisit toujours en premier, et l’inverser reviendrait à chercher combien de tirages de cinquante boules on peut former parmi cinq, une question sans solution. Excel répond alors #NOMBRE! plutôt que de rendre un résultat douteux, ce que la fiche de la fonction détaille avec ses autres cas d’erreur.

Multiplier par les soixante-six paires d’étoiles

Le second comptage suit la même logique sur un ensemble beaucoup plus petit, deux étoiles à prendre parmi douze, ce qui laisse 66 paires possibles. Ce nombre paraît modeste à côté des deux millions de la première ligne, mais il multiplie tout, donc il pèse lourd sur le résultat final.

C’est cette multiplication que beaucoup de calculs oublient, et ils s’arrêtent alors aux 2 118 760 combinaisons de numéros seuls. Le jeu devient soixante-six fois plus dur dès qu’on remet les étoiles, et l’écart entre deux millions et cent trente-neuf millions vient tout entier de ces deux petites cases.

Convertir le nombre de grilles en probabilité de gain

Une probabilité se lit toujours comme un rapport entre les cas qui te font gagner et tous les cas possibles. Une grille simple ne couvre qu’une seule des 139 838 160 combinaisons, donc sa probabilité de décrocher le rang le plus riche vaut l’inverse de ce nombre.

Ce pourcentage ne parle à personne, et c’est bien le problème de toutes les probabilités de loterie. La forme « une chance sur » se lit beaucoup mieux, et la fiche de la fonction COMBIN montre d’ailleurs comment l’écrire en toutes lettres dans une phrase avec la fonction TEXTE.

Pour se représenter ce que 139 838 160 veut dire, compare-le à quelque chose de connu. La France compte un peu plus de soixante-neuf millions d’habitants au 1er janvier 2026 selon l’Insee, soit moitié moins que le nombre de grilles. Jouer une grille revient donc à désigner au hasard une personne précise parmi deux pays de cette taille.

Calculer la probabilité de chaque rang avec LOI.HYPERGEOMETRIQUE

Un rang de gain ne demande pas une grille parfaite, mais un nombre précis de bons numéros et un nombre précis de bonnes étoiles, comme quatre numéros et une étoile. La fonction LOI.HYPERGEOMETRIQUE répond exactement à cette question, puisqu’elle chiffre la probabilité de retrouver un certain nombre de bons éléments dans un tirage sans remise.

Une boule sortie ne retourne pas dans la machine, donc chaque tirage change ce qui reste, et c’est précisément le cas que cette loi modélise. La fiche de la fonction l’explique sur du contrôle qualité, où l’on cherche des pièces défectueuses dans un lot. La loterie s’y ramène en remplaçant ces pièces défectueuses par les cinq numéros gagnants.

Multiplier la loi des numéros par celle des étoiles

Les numéros et les étoiles sortent de deux machines séparées, donc leurs probabilités se multiplient au lieu de s’additionner. Il faut deux appels de la fonction, l’un pour les numéros et l’autre pour les étoiles, ce qu’une formule unique ne peut pas faire.

Les quatre arguments se lisent comme une phrase. Tu donnes le nombre de bons éléments cherchés, la taille de ce que tu prélèves, le nombre de bons éléments qui existent, puis la taille de l’ensemble. Pour les numéros, tu coches cinq cases sur une grille de cinquante numéros dont cinq seront gagnants, d’où les valeurs 5, 5 et 50. La même lecture donne 2, 2 et 12 pour les étoiles.

Attention à ne pas ajouter de cinquième argument, car Excel refuse la formule sans l’enregistrer. Le cumulative appartient à LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N, la version récente, qui sait rendre la probabilité cumulée alors que l’ancienne ne donne que la valeur exacte.

Retrouver le même nombre en comptant les grilles gagnantes

La fonction COMBIN seule arrive au même résultat, en comptant combien de grilles remplissent la condition du rang. Pour quatre bons numéros, tu choisis quatre numéros parmi les cinq gagnants et le dernier parmi les quarante-cinq perdants, et le même raisonnement s’applique aux étoiles.

Diviser ce compte par les 139 838 160 grilles possibles redonne la probabilité du rang, au chiffre près. Les colonnes E et G de l’onglet Rangs affichent d’ailleurs les deux résultats côte à côte, et ils ne se distinguent sur aucun des treize rangs.

Chaque route a son avantage, et le classeur garde les deux pour cette raison. COMBIN montre d’où sort le nombre, avec des entiers qu’on peut recompter à la main, quand la loi hypergéométrique tient en une ligne et se transpose telle quelle à un autre jeu.

Les deux formules du fichier pointent d’ailleurs vers l’onglet Grille plutôt que vers les nombres écrits ci-dessus, avec Grille!$B$2 à la place de 50 et Grille!$B$3 à la place de 5. Rien n’y est donc figé, et corriger une seule case jaune recalcule les treize rangs d’un coup.

La dernière ligne de l’onglet Rangs additionne les treize, et le total change la lecture de toute la table. Les 10 778 691 grilles qui rapportent quelque chose représentent 7,7 % du total, soit une chance sur treize de repartir avec un gain. Le chiffre paraît encourageant tant qu’on n’a pas regardé de quel gain il s’agit.

Le rang 13 pèse à lui seul plus de la moitié de cette chance, avec ses 6 385 500 grilles, et il récompense deux bons numéros sans la moindre étoile. C’est le dernier rang de la grille des gains, donc la chance sur treize se joue presque entièrement sur les deux lots les plus modestes.

Mesurer l’espérance de gain d’une grille EuroMillions

L’espérance de gain répond à la seule question qui compte vraiment, ce qu’une grille rapporte en moyenne sur un très grand nombre de tirages. Elle s’obtient en multipliant chaque gain par sa probabilité puis en additionnant le tout, et elle tombe ici bien en dessous du prix payé.

Les montants des rangs changent pourtant à chaque tirage, puisque la somme collectée se répartit entre les gagnants, donc une table de gains figée serait fausse la semaine suivante. Le taux de redistribution annoncé, lui, ne bouge pas, et il suffit à faire le calcul global. Le règlement du jeu le fixe à 50 % des mises EuroMillions, ce qui laisse de côté la part du prix qui paie le code My Million.

Au tarif affiché par l’exploitant français, 2,50 € la grille simple, 2,20 € vont à la mise EuroMillions et 0,30 € au code My Million. Une grille rend donc en moyenne la moitié de sa mise EuroMillions, soit 1,10 €, et l’autre moitié part en taxes, en frais et en commissions, si bien que 1,40 € sont perdus à chaque validation.

Le code My Million, tiré au sort pour un million d’euros parmi tous les codes du tirage, n’entre pas dans ce calcul, puisque sa valeur moyenne dépend du nombre de grilles jouées ce soir-là. Chaque grille coûte ainsi en moyenne 1,40 € à celui qui la joue, My Million mis à part, quel que soit son talent à choisir les numéros. Aucune formule ne renverse ce rapport, et c’est bien pourquoi la case B4 porte ce taux plutôt qu’un résultat calculé.

Le jackpot n’y change rien non plus, ce qui surprend souvent. Saisis le montant annoncé dans la case jaune B5 de l’onglet Espérance, et tu vois ce que le rang 1 rapporte à lui seul. Il faut un jackpot considérable pour qu’il couvre déjà la mise.

Il faudrait donc un jackpot de près de 350 millions d’euros, au prix actuel de la grille, pour que le rang 1 rembourse en moyenne sa mise. Un jackpot de 17 millions ne rapporte à ce titre que 12 centimes par grille, ce que la cellule B8 affiche dès que tu changes le montant.

Ce seuil ne sera pourtant jamais atteint, parce que le règlement du jeu plafonne la cagnotte à 250 millions d’euros. Le jackpot le plus élevé que l’EuroMillions puisse afficher reste donc près de cent millions en dessous du montant qui rendrait une grille rentable sur son seul rang 1.

Deux gagnants qui partagent la même cagnotte divisent encore ce chiffre par deux, et les gros jackpots attirent justement plus de joueurs. L’espérance ne remonte donc jamais vraiment, même quand la cagnotte s’approche de son plafond.

Pourquoi les numéros qui sortent souvent ne changent rien au calcul

Un numéro sorti trente fois l’an dernier a exactement la même chance qu’un autre au prochain tirage, parce que les boules n’ont aucune mémoire. Chaque tirage repart d’une machine complète, et les statistiques du passé décrivent ce qui s’est produit sans rien annoncer de ce qui va se produire.

Un relevé des tirages passés dans Excel montre pourtant toujours des écarts, et c’est normal. Sur quelques centaines de tirages, un numéro parfaitement équitable sort forcément un peu plus ou un peu moins que sa part théorique. Ces bosses ne s’aplatissent qu’au bout d’un très grand nombre de tirages.

Compter les sorties avec NB.SI reste un bon exercice de tableur, et c’est d’ailleurs ce que cherchent la plupart des fichiers de tirages qui circulent. Cela raconte l’histoire de la machine, sans améliorer d’un millionième la probabilité calculée plus haut.

Comparer l’EuroMillions au Loto avec les mêmes formules

Le Loto français se joue avec cinq numéros parmi quarante-neuf plus un numéro chance parmi dix, donc les mêmes deux comptages s’appliquent en remplaçant simplement ses quatre paramètres. Le résultat tient dans une seule multiplication, et il est bien plus accessible que celui de l’EuroMillions.

Le rang le plus riche du Loto se joue donc sur une chance sur 19 068 840, contre une sur 139 838 160 à l’EuroMillions. En divisant l’un par l’autre, le rapport tombe pile sur 22 tiers, soit environ 7,33 fois plus difficile du côté de l’EuroMillions.

Les jackpots ne se comparent évidemment pas de la même façon, et c’est tout l’intérêt de garder les deux calculs dans le même fichier. Remplace les quatre cases jaunes de l’onglet Grille par 49, 5, 10 et 1, et il affiche aussitôt les 19 068 840 grilles du Loto, puisque rien n’y est écrit en dur. L’onglet Rangs garde en revanche les treize rangs de l’EuroMillions, et ceux qui demandent deux bonnes étoiles y passent en #NOMBRE!, faute de pouvoir choisir deux numéros chance parmi un seul.

Les deux fonctions employées ici méritent enfin un détour par leur fiche. Celle de COMBIN détaille ses messages d’erreur et sa différence avec PERMUTATION, quand celle de LOI.HYPERGEOMETRIQUE reprend le même raisonnement sur un contrôle qualité.