Qu'est-ce que la fonction ATANH ?
ATANH (arc tangente hyperbolique, le nom est identique en anglais) te sert quand une valeur coincée entre -1 et 1, comme un coefficient de corrélation, résiste aux tests statistiques classiques parce que sa distribution s'écrase près des bornes. Elle étire cette échelle bornée vers une échelle sans limite, où les calculs redeviennent fiables.
Concrètement, ATANH retourne la valeur qui, passée dans TANH, te redonne le nombre de départ. Elle est particulièrement connue en statistiques sous le nom de « transformation z de Fisher », qui est l'étape incontournable pour tester la significativité des coefficients de corrélation et construire des intervalles de confiance fiables.
Syntaxe
=ATANH(nombre)Clique sur un argument pour aller à son explication.
ATANH(x) est calculé selon la formule 0,5 × LN((1+x)/(1-x)). Tu peux vérifier le résultat avec =0.5*LN((1+A1)/(1-A1)) qui donnera le même résultat qu'=ATANH(A1).
Comprendre chaque paramètre de la fonction ATANH
nombre
: le nombre dont tu veux calculer l'arc tangente hyperboliqueIl doit être strictement compris entre -1 et 1 (exclus). Ça peut être une valeur directe comme 0.5, une référence de cellule, ou le résultat d'une autre formule.
Valeurs valides : 0, 0.5, -0.8, 0.999. Valeurs invalides qui génèrent #NOMBRE! : 1, -1, 1.5, -2.
Attention : Les valeurs exactement égales à 1 ou -1 génèrent #NOMBRE! car elles correspondent à l'infini. Quand tu travailles avec des corrélations issues de données réelles, les arrondis informatiques peuvent produire exactement 1 ou -1 : borne ta valeur avec =ATANH(MIN(0.9999;MAX(-0.9999;A1))) pour éviter les erreurs.
Exemples pratiques pas à pas
Comment appliquer la transformation z de Fisher à une corrélation avec la fonction ATANH
Tu as recueilli les coefficients de corrélation de plusieurs études et tu dois dire lesquels sont significatifs, avec un intervalle de confiance à l'appui. Le problème, c'est qu'un coefficient de corrélation ne suit pas une loi normale : il est coincé entre -1 et 1, et il s'écrase d'autant plus qu'il approche des bornes, ce qui interdit les tests classiques. La fonction ATANH applique la transformation z de Fisher sur toute ta colonne et rend les données exploitables.
- 1Dans une cellule, écris
=ATANH(. - 2En 1er argument : clique sur la cellule de la corrélation à transformer,
B2. Elle contient le0,75de la première étude, et c'est ce coefficient que la transformation z de Fisher étire sur une échelle sans borne. La fonction n'accepte que des nombres strictement compris entre-1et1, et les bornes elles-mêmes déclenchent l'erreur#NOMBRE!. - 3Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée, puis recopie la formule vers le bas pour couvrir les quatre autres études. La référence
B2devientB3puisB4, donc chaque ligne transforme bien sa propre corrélation.
=ATANH(B2)r est asymétrique et bute contre 1, celle de z est à peu près normale. Une fois tes corrélations transformées, les tests d'hypothèse et les intervalles de confiance habituels redeviennent utilisables.
Comment calculer la moyenne de plusieurs corrélations avec les fonctions ATANH et TANH
Tu regroupes cinq études qui mesurent le même lien et on te demande la corrélation moyenne de l'ensemble. Le réflexe serait de faire la moyenne de la colonne, sauf que ça donne un résultat faux : les corrélations vivent sur une échelle qui se comprime à mesure qu'on approche de 1, donc les additionner revient à comparer des écarts qui n'ont pas la même valeur. La bonne méthode passe par la fonction ATANH, qui remet tout sur une échelle où la moyenne redevient légitime.
- 1Dans une cellule, écris
=TANH(. - 2En 1er argument : écris la moyenne des corrélations une fois transformées et referme-la,
MOYENNE(ATANH(B2:B6)). La fonction ATANH traite d'abord les cinq coefficients de la plageB2:B6, puis MOYENNE calcule la moyenne de ce qu'elle a produit. C'est donc la moyenne des valeurs transformées que tu obtiens à ce stade, et non celle des corrélations brutes. - 3Ferme la parenthèse de la fonction TANH et appuie sur Entrée. Celles des fonctions MOYENNE et ATANH ont déjà été refermées à l'étape précédente.
=TANH(MOYENNE(ATANH(B2:B6)))0,6200 : l'écart de 5 points vient de ce que les corrélations élevées sont mécaniquement tassées près de 1, et c'est exactement ce que le détour par ATANH corrige.
Comment éviter l'erreur #NOMBRE! de la fonction ATANH sur une corrélation de 1
Une étude de ton tableau affiche une corrélation de 1 tout rond, parce que l'échantillon était minuscule ou que l'arrondi a fait le reste. La colonne z se casse aussitôt sur cette ligne et emporte au passage toute moyenne calculée derrière. Tu veux que la fonction ATANH continue de traiter la ligne en la ramenant au bord de son domaine, plutôt que de renvoyer une erreur qui bloque le reste du calcul.
- 1Dans une cellule, écris
=ATANH(. - 2En 1er argument : écris la corrélation encadrée par ses deux bornes et referme-la,
MIN(0,9999; MAX(-0,9999; B2)). La fonction MAX écarte la borne-1et la fonction MIN écarte la borne1, les deux valeurs qui font sortir la fonction ATANH de son domaine. Le nombre de9que tu retiens n'est pas neutre, parce que plus la borne serre la valeur interdite, plus le résultat des lignes saturées grimpe. - 3Ferme la parenthèse de la fonction ATANH et appuie sur Entrée, puis recopie la formule vers le bas pour que chaque étude passe par le même garde-fou. Les parenthèses des fonctions MIN et MAX ont déjà été refermées à l'étape précédente.
=ATANH(MIN(0,9999; MAX(-0,9999; B2)))]-1 ; 1[, et les bornes 1 et -1 y valent l'infini, donc elle rend une erreur #NOMBRE! plutôt qu'un nombre. Encadrer la valeur avec MIN et MAX la ramène juste à l'intérieur du domaine (0,9999 au lieu de 1), ce qui donne un z fini et très élevé, cohérent avec une corrélation quasi parfaite.
ATANH vs ASINH vs ACOSH vs TANH
Le critère qui les départage, c'est le domaine d'entrée. ATANH n'accepte que des nombres entre -1 et 1, c'est pile ce qu'il te faut pour les corrélations et la transformation de Fisher. Dès que tes valeurs peuvent sortir de cet intervalle, bascule sur ASINH qui avale tous les réels sans broncher, ou sur ACOSH si tu travailles à partir de 1.
Et si tu cherches à faire le chemin inverse, c'est TANH qu'il te faut : elle ramène n'importe quel réel dans ]-1 ; 1[, exactement le couple miroir d'ATANH.
| Critère | ATANH | ASINH | ACOSH | TANH |
|---|---|---|---|---|
| Type de fonction | Inverse hyperbolique | Inverse hyperbolique | Inverse hyperbolique | Hyperbolique directe |
| Domaine de définition | ]-1 ; 1[ | Tous réels | [1 ; +infini[ | Tous réels |
| Valeurs de sortie | Tous réels | Tous réels | [0 ; +infini[ | ]-1 ; 1[ |
| Usage principal | Stats (Fisher) | Physique | Géométrie | ML / Sigmoid |
| Fonction inverse | TANH | SINH | COSH | ATANH |
Astuces avancées avec ATANH
Calculer la moyenne de plusieurs corrélations correctement
Pour calculer la moyenne de plusieurs coefficients de corrélation, tu ne peux pas faire la moyenne arithmétique directement : les corrélations ont une distribution asymétrique. La méthode correcte : transforme chaque corrélation avec ATANH, calcule la moyenne des valeurs transformées, puis retransforme avec TANH.
Formule matricielle sur les corrélations en A1:A5 : =TANH(MOYENNE(ATANH(A1:A5))). Le résultat est la corrélation moyenne pondérée correctement.
Construire des intervalles de confiance sur des corrélations
L'intervalle de confiance à 95% pour une corrélation r observée sur n observations utilise ATANH pour normaliser la distribution. La borne supérieure s'obtient avec =TANH(ATANH(r)+1.96/RACINE(n-3)) et la borne inférieure avec =TANH(ATANH(r)-1.96/RACINE(n-3)).
Pour r=0,7 et n=50 : =TANH(ATANH(0.7)+1.96/RACINE(47)) donne environ 0,84. Cela signifie que la vraie corrélation dans la population est vraisemblablement entre environ 0,51 et 0,84 avec 95% de confiance.
Vérifier tes calculs avec la paire ATANH/TANH
ATANH et TANH sont inverses l'une de l'autre : =TANH(ATANH(0.5)) retourne exactement 0,5, et =ATANH(TANH(2)) retourne exactement 2. C'est un test de cohérence très utile pour valider tes calculs.
Si tu obtiens une légère différence due aux arrondis flottants, c'est normal. Vérifie que tu n'as pas une erreur de logique en testant quelques valeurs avec ce couple inverse.
Les erreurs fréquentes avec la fonction ATANH
Avec ATANH, tout se joue sur l'intervalle ]-1 ; 1[. Un #NOMBRE! apparaît dès que ton nombre touche 1 ou -1 (qui correspondent à l'infini), en sort carrément, ou y arrive via un calcul intermédiaire que tu n'avais pas borné. Le dernier traquenard est plus sournois : confondre ATANH avec ATAN, qui travaille sur des angles et fausse silencieusement une transformation de Fisher.
Erreur #NOMBRE! avec une valeur égale à ±1 ou hors intervalle
Si tu obtiens #NOMBRE!, ton nombre est exactement égal à 1, -1, ou en dehors de l'intervalle ]-1;1[. Mathématiquement, ATANH(1) tend vers l'infini positif et ATANH(-1) vers l'infini négatif, qu'Excel ne peut pas représenter.
Solution : Vérifie que ton nombre est strictement compris entre -1 et 1. Si tu travailles avec des corrélations qui peuvent atteindre exactement 1 par arrondi, borne la valeur avec =ATANH(MIN(MAX(A1;-0.9999);0.9999)) pour éviter les erreurs dues aux imprécisions numériques.
Valeur hors intervalle après un calcul intermédiaire
Si tu appliques ATANH sur le résultat d'une formule qui peut théoriquement dépasser [-1;1], par exemple une division non contrôlée, Excel retourne #NOMBRE! sans t'avertir à l'avance.
Solution : Ajoute une validation avant ATANH avec SI : =SI(ET(A1>-1;A1<1);ATANH(A1);"Valeur invalide"). Cela affiche un message clair au lieu d'une erreur cryptique et facilite le débogage de ta feuille.
Confusion entre ATAN (trigonométrique) et ATANH (hyperbolique)
ATAN calcule l'arc tangente trigonométrique (un angle en radians) et accepte toutes les valeurs. ATANH calcule l'arc tangente hyperbolique et n'accepte que ]-1;1[. Si tu utilises ATAN à la place d'ATANH pour une transformation de Fisher, tes résultats statistiques seront complètement faux.
Questions fréquentes
TANH calcule la tangente hyperbolique d'un nombre : il accepte n'importe quel réel et retourne une valeur entre -1 et 1. ATANH fait l'inverse : il accepte uniquement des valeurs entre -1 et 1 (exclus) et peut retourner n'importe quel nombre réel.
Si TANH(x) = y, alors ATANH(y) = x. Ce sont des fonctions inverses l'une de l'autre, comme le logarithme et l'exponentielle.
Mathématiquement, ATANH(1) tend vers l'infini positif et ATANH(-1) vers l'infini négatif. Excel ne peut pas représenter ces valeurs infinies, donc il retourne #NOMBRE! pour signaler que le paramètre est en dehors de l'intervalle valide ]-1;1[.
Assure-toi que ton nombre est strictement entre -1 et 1. Si tes données peuvent atteindre 1 par arrondi, borne la valeur avec =ATANH(MIN(0.9999;MAX(-0.9999;A1))).
La transformation z de Fisher pour un coefficient de corrélation r est exactement ATANH(r). Cette transformation normalise la distribution du coefficient de corrélation, qui est naturellement asymétrique, pour permettre des tests d'hypothèse valides.
Par exemple, =ATANH(0.7) donne 0,867, la valeur z transformée pour une corrélation de 0,7. Tu construis ensuite l'intervalle de confiance sur z, puis tu retransformes avec TANH pour revenir à l'échelle des corrélations.
Oui. ATANH accepte toutes les valeurs entre -1 et 1, négatives ou positives. Par exemple, ATANH(-0.5) retourne environ -0,549. La fonction est antisymétrique : ATANH(-x) = -ATANH(x).
Seules les valeurs exactement égales à -1 ou 1, ou en dehors de cet intervalle, génèrent des erreurs #NOMBRE!.
ATANH est principalement utilisée en statistiques pour la transformation z de Fisher sur les coefficients de corrélation, en physique relativiste pour calculer la rapidité, et en machine learning pour certaines transformations de features bornées.
Si tu travailles avec des corrélations, des probabilités à transformer ou des signaux normalisés entre -1 et 1, ATANH est l'outil adapté. Pour les autres contextes mathématiques, ASINH est souvent plus pratique car elle n'a pas de restriction de domaine.
Pour aller plus loin
Continue sur ta lancée après la fonction ATANH : la leçon associée, un modèle prêt à l'emploi et le guide pour progresser.
Tout voir
