Qu'est-ce que la fonction MULTINOMIALE ?
MULTINOMIALE (MULTINOMIAL en anglais) t'évite de compter à la main toutes les façons de répartir un ensemble d'éléments en plusieurs groupes distincts, que ce soit des cartes à distribuer, des équipes à former ou des lettres à réarranger.
C'est la généralisation du coefficient binomial à plusieurs groupes. Elle répond à des questions du type : de combien de façons peut-on distribuer 10 cartes en 3 mains de 3, 4 et 3 cartes ? Combien d'anagrammes distincts contient le mot MISSISSIPPI ? De combien de façons peut-on former 3 équipes de 4 à partir de 12 personnes ? Utile en probabilités, en combinatoire et pour calculer les coefficients dans les expansions polynomiales.
Syntaxe
Clique sur un argument pour aller à son explication.
Les décimaux sont tronqués vers le bas avant le calcul : MULTINOMIALE(2,7; 3) est traité comme MULTINOMIALE(2; 3). Les coefficients multinomiaux croissent très vite : avec de grands nombres, le résultat peut dépasser la capacité maximale d'Excel (environ 10^308) et déclencher #NOMBRE!.
Comprendre chaque paramètre de la fonction MULTINOMIALE
Seul le premier nombre est obligatoire ; tu ajoutes ensuite autant de groupes que tu veux, jusqu'à 255 en tout. L'ordre dans lequel tu les listes ne change rien au résultat, puisque chaque taille passe au dénominateur de la même façon.
Garde en tête qu'avec un seul argument la fonction renvoie 1, et qu'avec deux elle retombe sur un simple COMBIN : c'est à partir de trois groupes qu'elle prend tout son sens.
nombre1
: premier entier positif représentant la taille du premier groupeC'est le premier dénominateur dans le calcul du coefficient : nombre1! figure au dénominateur de la fraction (nombre1 + nombre2 + ...)! / (nombre1! × nombre2! × ...).
Tu peux passer une valeur directe, une référence de cellule ou une expression numérique.
Attention : Les arguments négatifs provoquent une erreur #NOMBRE!. Assure-toi que tous tes arguments sont des entiers positifs ou nuls.
nombre2, nombre3, ...
: entiers supplémentaires représentant la taille de chacun des autres groupes(facultatif)Tu peux en passer jusqu'à 255 au total (en comptant nombre1).
Avec un seul argument, MULTINOMIALE renvoie 1 (la factorielle d'un nombre divisée par elle-même). Avec deux arguments a et b, le résultat est identique à COMBIN(a+b; a). C'est à partir de trois arguments que MULTINOMIALE devient indispensable.
Exemples pratiques pas à pas
Comment compter le nombre de répartitions possibles en plusieurs groupes avec la fonction MULTINOMIALE
Une partie se prépare autour de la table et les cartes doivent être réparties en trois mains inégales, une par joueur. La question qui se pose avant de battre le paquet est celle du nombre de donnes différentes que ce découpage autorise, parce que c'est elle qui dit si la partie est rejouable et à quel point une donne identique est improbable. Les cartes se distinguent les unes des autres, les mains aussi puisqu'elles ont chacune leur joueur, mais l'ordre dans lequel une main arrive n'a aucune importance. La fonction MULTINOMIALE compte exactement ces répartitions.
- 1Dans une cellule, écris
=MULTINOMIALE(. - 2En 1er argument : clique sur la cellule qui porte la taille de la première main,
B2. Elle vaut3cartes pour la distributionD1, et cette taille rejoint le dénominateur sous forme de factorielle, la façon mathématique de dire que l'ordre des cartes à l'intérieur d'une main ne compte pas. - 3En 2ᵉ argument : clique sur la cellule de la deuxième main,
C2, qui vaut4cartes. Ce groupe est facultatif au sens du schéma, mais s'en passer n'aurait aucun intérêt, puisqu'avec une seule main la fonction renvoie invariablement1. - 4En 3ᵉ argument : clique sur la cellule de la dernière main,
D2, qui vaut3cartes. Tu peux empiler jusqu'à255groupes en tout, et c'est à partir du troisième que la fonction devient irremplaçable. L'ordre dans lequel tu listes les groupes reste sans effet, ce que confirment les lignesD4etD5avec leurs tailles rangées autrement pour le même2520. - 5Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
=MULTINOMIALE(B2; C2; D2)10 cartes distinctes en trois mains de 3, 4 et 3 se fait de 4200 façons, la fonction calculant 10! divisé par 3! × 4! × 3!. Le détail qui surprend à la lecture de la colonne, c'est que le total des cartes ne se lit nulle part : la fonction l'additionne elle-même à partir des groupes, si bien que les distributions D2, D3 et D9 tombent toutes sur 1260 en brassant 9 cartes, et que l'ordre des trois mains ne change jamais rien au résultat.
Comment compter le nombre d'anagrammes d'un mot à lettres répétées avec la fonction MULTINOMIALE
Le mot MISSISSIPPI compte 11 lettres, et l'envie de répondre 11! à la question du nombre d'anagrammes est immédiate. Elle est fausse, et largement : le mot ne contient que quatre lettres différentes, dont trois reviennent plusieurs fois, si bien que la plupart des arrangements comptés par 11! redonnent le même mot à l'écran. Il faut donc compter les arrangements réellement distincts, ce qui est exactement le problème que résout un coefficient multinomial quand les groupes ne sont plus des contenants mais des lettres identiques entre elles. La fonction MULTINOMIALE prend les effectifs de chaque lettre et rend le compte exact.
- 1Dans une cellule, écris
=MULTINOMIALE(. - 2En 1er argument : clique sur la cellule qui compte les M,
A2, qui ne vaut que1. Une lettre présente une seule fois ne change pas le résultat, mais elle reste indispensable au total, car c'est la somme des arguments qui fixe la longueur du mot. - 3En 2ᵉ argument : clique sur la cellule des I,
B2, qui vaut4. C'est le premier gros diviseur, les24permutations des quatre I entre eux produisant chaque fois le même mot. - 4En 3ᵉ argument : clique sur la cellule des S,
C2, qui vaut4également. Elle divise le compte par24à son tour, pour exactement la même raison que les I. - 5En 4ᵉ argument : clique sur la cellule des P,
D2, qui vaut2. Compte bien tes lettres avant de valider, car rien ne t'avertira d'un oubli, la fonction calculant sans broncher les anagrammes d'un mot plus court que le tien. - 6Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
=MULTINOMIALE(A2; B2; C2; D2)34650 anagrammes distincts, quand ses 11 lettres promettaient les 39 916 800 arrangements de 11!. Le rapport est de 1 à 1152, et il vient entièrement des répétitions : intervertir deux I redonne le même mot, et la fonction élimine ces doublons en divisant par 4! pour les I, 4! pour les S et 2! pour les P. Le M est seul mais mérite son argument, car 1! valant 1 il ne change pas le résultat tout en gardant le compte des 11 lettres juste.
Comment corriger un résultat non entier de la fonction MULTINOMIALE avec la fonction ARRONDI
Les répartitions calculées servent de dénominateur à des probabilités et alimentent un test qui compare le résultat à une valeur de référence. Le test échoue sur certaines lignes alors que la colonne affiche exactement le nombre attendu, ce qui est le genre de bug dont on accuse tout le monde sauf le vrai coupable. En réalité, la fonction passe par des logarithmes et rend un flottant qui frôle l'entier sans toujours l'atteindre, et l'affichage masque l'écart. La fonction ARRONDI referme l'écart et rend le résultat comparable et sûr.
- 1Dans une cellule, écris
=ARRONDI(. - 2En 1er argument : écris l'appel à corriger et referme-le,
MULTINOMIALE(A2; B2; C2). Ses trois cellules portent les tailles des trois groupes, et c'est bien sa sortie qu'on corrige, jamais ces tailles en entrée qui sont déjà des entiers. - 3En 2ᵉ argument : saisis le nombre de décimales à conserver,
0, puisqu'un nombre de répartitions est un entier par nature. Prends ARRONDI et surtout pas ENT, car ENT tronque vers le bas et transformerait839,999999999999en839, aggravant le problème au lieu de le régler. - 4Ferme la parenthèse et appuie sur Entrée.
=ARRONDI(MULTINOMIALE(A2; B2; C2); 0)MULTINOMIALE(3; 6; 1) vaut 839,999999999999 et non 840 : la cellule affiche bien 840 parce qu'Excel arrondit à l'écran, mais un test d'égalité avec 840 renvoie FAUX et la fonction ENT rendrait 839. La ligne 4; 4; 4 est logée à la même enseigne avec 34649,9999999999, tandis que 3; 4; 3 tombe juste : le défaut est irrégulier, ce qui le rend d'autant plus traître. La fonction ARRONDI à 0 décimale remet chaque ligne sur l'entier attendu.
Les erreurs fréquentes avec la fonction MULTINOMIALE
Avec MULTINOMIALE, tout finit par le même code : #NOMBRE!. Le plus souvent il vient d'un argument négatif, parce qu'une factorielle n'existe pas pour un nombre sous zéro. Vérifie d'abord la cellule qui passe en dessous.
L'autre coupable est plus sournois : tes nombres sont parfaitement valides, mais leur coefficient explose au-delà de la limite d'Excel (environ 10^308). Là, le calcul est bon, c'est juste qu'il ne tient plus dans une cellule.
Erreur #NOMBRE! due à des arguments négatifs
MULTINOMIALE n'accepte pas les nombres négatifs. Si un argument est négatif, la factorielle n'est pas définie et Excel déclenche #NOMBRE!.
Solution : Assure-toi que tous les arguments sont des entiers positifs ou nuls. Utilise ABS() si tu travailles avec des données pouvant contenir des valeurs négatives : =MULTINOMIALE(ABS(A1); ABS(B1); ABS(C1)).
Erreur #NOMBRE! due à un résultat trop grand
Les coefficients multinomiaux croissent très vite. Avec de grands nombres (par exemple MULTINOMIALE(50; 50; 50)), le résultat dépasse les limites d'Excel (environ 10^308) et la fonction retourne #NOMBRE!.
Solution : Travaille en logarithme pour les grands nombres : =EXP(LGAMMA(A1+B1+C1+1) - LGAMMA(A1+1) - LGAMMA(B1+1) - LGAMMA(C1+1)) donne le logarithme naturel du coefficient, plus stable numériquement pour les grandes valeurs.
Questions fréquentes
Le coefficient multinomial calcule le nombre de façons de répartir n objets distinguables en groupes de tailles données, quand l'ordre à l'intérieur de chaque groupe ne compte pas.
Par exemple, combien de façons de distribuer 10 cartes en 3 mains de 3, 4 et 3 cartes, ou combien d'anagrammes distincts comporte un mot avec des lettres répétées.
COMBIN calcule les combinaisons de 2 groupes (k parmi n). MULTINOMIALE généralise à plusieurs groupes simultanément.
Avec 2 arguments, MULTINOMIALE(a; b) = COMBIN(a+b; a). Mais dès qu'il y a 3 groupes ou plus, seule MULTINOMIALE gère la situation en une seule formule.
Le résultat est un entier qui représente le nombre de façons distinctes de répartir les éléments en groupes. Par exemple, MULTINOMIALE(2; 3; 1) = 60 signifie qu'il y a 60 façons différentes d'arranger ces groupes.
C'est aussi le coefficient qui apparaît devant chaque terme dans l'expansion du polynôme (x₁ + x₂ + ... + xₖ)^n.
Non, MULTINOMIALE n'accepte que des entiers positifs. Les décimaux sont tronqués vers le bas avant le calcul : si tu passes 2,7, Excel utilise 2.
Il n'y a pas d'avertissement pour ce comportement de troncature. Si tu travailles avec des valeurs pouvant être décimales, arrondis-les explicitement avec ENT() ou ARRONDI.INF() avant de les passer à la fonction.
Oui, 0 est une valeur valide : 0! = 1, donc un argument nul ne change pas le résultat. MULTINOMIALE(3; 0; 2) = MULTINOMIALE(3; 2) = 10.
C'est utile quand tu construis tes arguments dynamiquement depuis un tableau et que certains groupes peuvent être vides.
Tu peux utiliser jusqu'à 255 arguments au total. La limite pratique est la taille du résultat : avec de grands nombres, le coefficient multinomial peut dépasser la capacité d'Excel (environ 10^308) et déclencher une erreur #NOMBRE!.
Pour les calculs avec de très grands coefficients, utilise des approximations logarithmiques via la fonction LGAMMA.
Pour aller plus loin
Continue sur ta lancée après la fonction MULTINOMIALE : la leçon associée, un modèle prêt à l'emploi et le guide pour progresser.
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