MULTINOMIALE (MULTINOMIAL en anglais) calcule le coefficient multinomial : la factorielle de la somme de tes arguments divisée par le produit des factorielles de chacun. Pour MULTINOMIALE(3; 4; 3), elle calcule 10! / (3! × 4! × 3!) = 4 200.
C'est la généralisation du coefficient binomial à plusieurs groupes. Elle répond à des questions du type : de combien de façons peut-on distribuer 10 cartes en 3 mains de 3, 4 et 3 cartes ? Combien d'anagrammes distincts contient le mot MISSISSIPPI ? De combien de façons peut-on former 3 équipes de 4 à partir de 12 personnes ? Utile en probabilités, en combinatoire et pour calculer les coefficients dans les expansions polynomiales.
Syntaxe de la fonction MULTINOMIALE
=MULTINOMIALE(nombre1; [nombre2]; ...)Les décimaux sont tronqués vers le bas avant le calcul : MULTINOMIALE(2,7; 3) est traité comme MULTINOMIALE(2; 3). Les coefficients multinomiaux croissent très vite : avec de grands nombres, le résultat peut dépasser la capacité maximale d'Excel (environ 10^308) et déclencher #NOMBRE!.
Comprendre chaque paramètre de la fonction MULTINOMIALE
Seul le premier nombre est obligatoire ; tu ajoutes ensuite autant de groupes que tu veux, jusqu'à 255 en tout. L'ordre dans lequel tu les listes ne change rien au résultat, puisque chaque taille passe au dénominateur de la même façon.
Garde en tête qu'avec un seul argument la fonction renvoie 1, et qu'avec deux elle retombe sur un simple COMBIN : c'est à partir de trois groupes qu'elle prend tout son sens.
nombre1
: premier entier positif représentant la taille du premier groupeC'est le premier dénominateur dans le calcul du coefficient : nombre1! figure au dénominateur de la fraction (nombre1 + nombre2 + ...)! / (nombre1! × nombre2! × ...).
Tu peux passer une valeur directe, une référence de cellule ou une expression numérique.
Attention : Les arguments négatifs provoquent une erreur #NOMBRE!. Assure-toi que tous tes arguments sont des entiers positifs ou nuls.
nombre2, nombre3, ...
: entiers supplémentaires représentant la taille de chacun des autres groupes(facultatif)Tu peux en passer jusqu'à 255 au total (en comptant nombre1).
Avec un seul argument, MULTINOMIALE renvoie 1 (la factorielle d'un nombre divisée par elle-même). Avec deux arguments a et b, le résultat est identique à COMBIN(a+b; a). C'est à partir de trois arguments que MULTINOMIALE devient indispensable.
Astuce : Avec seulement 2 arguments, MULTINOMIALE(a; b) équivaut à COMBIN(a+b; a). C'est une façon alternative de calculer les combinaisons.
Exemples pratiques pas à pas
Probabilités : distribution de cartes en plusieurs mains
Tu veux calculer de combien de façons on peut distribuer 10 cartes en 3 mains de 3, 4 et 3 cartes. C'est une question classique de dénombrement : les cartes sont distinguables, les mains sont distinguables, l'ordre à l'intérieur de chaque main n'a pas d'importance.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Main 1 | Main 2 | Main 3 | Combinaisons possibles |
| 2 | 3 cartes | 4 cartes | 3 cartes | 4 200 |
=MULTINOMIALE(3; 4; 3)La fonction calcule 10! / (3! × 4! × 3!) = 3 628 800 / (6 × 24 × 6) = 4 200. Il existe donc exactement 4 200 distributions distinctes de ces 10 cartes.
Combinatoire : nombre d'anagrammes d'un mot avec lettres répétées
Tu veux calculer le nombre d'anagrammes distincts du mot MISSISSIPPI. Ce mot contient 11 lettres : 1 M, 4 I, 4 S, 2 P. S'il n'y avait pas de répétitions, il y aurait 11! arrangements, mais les lettres identiques génèrent des doublons qu'il faut diviser.
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | M | I | S | P | Anagrammes distincts |
| 2 | 1 | 4 | 4 | 2 | 34 650 |
=MULTINOMIALE(1; 4; 4; 2)La fonction calcule 11! / (1! × 4! × 4! × 2!) = 39 916 800 / 1 152 = 34 650. MISSISSIPPI a donc exactement 34 650 anagrammes distincts, et cette logique s'applique à n'importe quel mot ou séquence avec des éléments répétés.
Ressources humaines : répartition de personnes en équipes
Tu organises un événement et tu dois répartir 12 personnes en 3 équipes de 4. Tu veux savoir combien de compositions d'équipes différentes sont possibles pour en tirer aléatoirement une. Les équipes sont distinguables (équipe A, B et C ont des rôles différents).
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Équipe A | Équipe B | Équipe C | Répartitions possibles |
| 2 | 4 | 4 | 4 | 34 650 |
=MULTINOMIALE(4; 4; 4)La fonction calcule 12! / (4! × 4! × 4!) = 34 650. Si au contraire les équipes étaient interchangeables (pas de rôle attribué), il faudrait diviser par 3! pour éliminer les permutations d'équipes.
Mathématiques : équivalence avec COMBIN pour 2 groupes
Tu veux vérifier que MULTINOMIALE avec 2 arguments donne le même résultat que COMBIN, la fonction de combinaisons classique.
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | MULTINOMIALE(5;3) | COMBIN(8;5) | Résultats égaux ? |
| 2 | 56 | 56 | OUI |
=MULTINOMIALE(5; 3)Avec 2 arguments, la fonction calcule 8! / (5! × 3!) = 56, soit exactement COMBIN(8; 5) = 56. Cette équivalence est utile pour valider tes formules : sur un cas à 2 groupes, les deux fonctions sont interchangeables, mais dès qu'il y a 3 groupes ou plus, MULTINOMIALE est la seule option directe.
Mathématiques : coefficients dans une expansion polynomiale
En mathématiques, tu calcules les coefficients de l'expansion de (x + y + z)⁵. Le théorème multinomial dit que le coefficient du terme x^a × y^b × z^c (avec a + b + c = 5) vaut MULTINOMIALE(a; b; c).
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | Terme x²y²z | Terme xyz³ | Terme x⁵ |
| 2 | 30 | 20 | 1 |
=MULTINOMIALE(2; 2; 1)Pour le terme x²y²z (a=2, b=2, c=1), la fonction calcule 5! / (2! × 2! × 1!) = 30. De même, MULTINOMIALE(1; 1; 3) donne 20 (terme xyz³) et MULTINOMIALE(5; 0; 0) donne 1 (terme x⁵). Ces coefficients apparaissent dans les calculs de distributions multinomiales en probabilités.
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Les erreurs fréquentes avec la fonction MULTINOMIALE
Avec MULTINOMIALE, tout finit par le même code : #NOMBRE!. Le plus souvent il vient d'un argument négatif, parce qu'une factorielle n'existe pas pour un nombre sous zéro — vérifie d'abord la cellule qui passe en dessous.
L'autre coupable est plus sournois : tes nombres sont parfaitement valides, mais leur coefficient explose au-delà de la limite d'Excel (environ 10^308). Là, le calcul est bon, c'est juste qu'il ne tient plus dans une cellule.
Erreur #NOMBRE! due à des arguments négatifs
MULTINOMIALE n'accepte pas les nombres négatifs. Si un argument est négatif, la factorielle n'est pas définie et Excel déclenche #NOMBRE!.
Solution : Assure-toi que tous les arguments sont des entiers positifs ou nuls. Utilise ABS() si tu travailles avec des données pouvant contenir des valeurs négatives : =MULTINOMIALE(ABS(A1); ABS(B1); ABS(C1)).
Erreur #NOMBRE! due à un résultat trop grand
Les coefficients multinomiaux croissent très vite. Avec de grands nombres (par exemple MULTINOMIALE(50; 50; 50)), le résultat dépasse les limites d'Excel (environ 10^308) et la fonction retourne #NOMBRE!.
Solution : Travaille en logarithme pour les grands nombres : =EXP(LGAMMA(A1+B1+C1+1) - LGAMMA(A1+1) - LGAMMA(B1+1) - LGAMMA(C1+1)) donne le logarithme naturel du coefficient, plus stable numériquement pour les grandes valeurs.
Questions fréquentes sur la fonction MULTINOMIALE
À quoi sert concrètement le coefficient multinomial ?
Le coefficient multinomial calcule le nombre de façons de répartir n objets distinguables en groupes de tailles données, quand l'ordre à l'intérieur de chaque groupe ne compte pas.
Par exemple, combien de façons de distribuer 10 cartes en 3 mains de 3, 4 et 3 cartes, ou combien d'anagrammes distincts comporte un mot avec des lettres répétées.
Quelle est la différence entre MULTINOMIALE et COMBIN ?
COMBIN calcule les combinaisons de 2 groupes (k parmi n). MULTINOMIALE généralise à plusieurs groupes simultanément.
Avec 2 arguments, MULTINOMIALE(a; b) = COMBIN(a+b; a). Mais dès qu'il y a 3 groupes ou plus, seule MULTINOMIALE gère la situation en une seule formule.
Comment interpréter le résultat de MULTINOMIALE ?
Le résultat est un entier qui représente le nombre de façons distinctes de répartir les éléments en groupes. Par exemple, MULTINOMIALE(2; 3; 1) = 60 signifie qu'il y a 60 façons différentes d'arranger ces groupes.
C'est aussi le coefficient qui apparaît devant chaque terme dans l'expansion du polynôme (x₁ + x₂ + ... + xₖ)^n.
MULTINOMIALE fonctionne-t-elle avec des décimaux ?
Non, MULTINOMIALE n'accepte que des entiers positifs. Les décimaux sont tronqués vers le bas avant le calcul : si tu passes 2,7, Excel utilise 2.
Il n'y a pas d'avertissement pour ce comportement de troncature. Si tu travailles avec des valeurs pouvant être décimales, arrondis-les explicitement avec ENT() ou ARRONDI.INF() avant de les passer à la fonction.
Peut-on passer des arguments nuls ?
Oui, 0 est une valeur valide : 0! = 1, donc un argument nul ne change pas le résultat. MULTINOMIALE(3; 0; 2) = MULTINOMIALE(3; 2) = 10.
C'est utile quand tu construis tes arguments dynamiquement depuis un tableau et que certains groupes peuvent être vides.
Existe-t-il une limite au nombre d'arguments ?
Tu peux utiliser jusqu'à 255 arguments au total. La limite pratique est la taille du résultat : avec de grands nombres, le coefficient multinomial peut dépasser la capacité d'Excel (environ 10^308) et déclencher une erreur #NOMBRE!.
Pour les calculs avec de très grands coefficients, utilise des approximations logarithmiques via la fonction LGAMMA.
Pour aller plus loin
Les fonctions similaires : COMBIN, FACT, PERMUTATION, COMBINA, LOI.BINOMIALE
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